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1、2013中考数学试题分类汇编之相似三角形2013中考全国100份试卷分类汇编 相似三角形 1、(2013昆明)如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点(不与A，B重合)，对角线AC，BDF，交AD，BC于点M，N(下列相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，结论: 222?APE?AME;?PM+PN=AC;?PE+PF=PO;?POF?BNF;?当?PMN?AMP时，点P是AB的中点( 其中正确的结论有( ) A( 5 个 B( 4个 C( 3个 D(2 个 2、(2013新疆)如图，Rt?ABC中，?ACB=90?，?ABC=60?，BC=2cm，D为BC的中
2、点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A?B?A的方向运动，设E点的运动时间为t秒(0?t,6)，连接DE，当?BDE是直角三角形时，t的值为( ) A( 2 B( 2.5或3.5 C( 3.5或4.5 D(2 或3.5或4.5 3、(2013新疆)如图，?ABC中，DE?BC，DE=1，AD=2，DB=3，则BC的长是( ) 4、(2013内江)如图，在?ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S:S=4:?DEF?ABF25，则DE:EC=( ) A( 2 :5 B( 2:3 C( 3:5 D(3 :2 5、(2013自贡)如图，在平行四边形ABCD中，A
3、B=6，AD=9，?BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG?AE于G，BG=，则?EFC的周长为( ) A( 11 B( 10 C( 9 D(8 6、(2013雅安)如图，在?ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE:BE=4:3，且BF=2，则DF= 7、(2013雅安)如图，DE是?ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则S:S四边形?CEFBCED的值为( ) A( 1 :3 B( 2:3 C( 1:4 D(2 :5 8、(2013聊城)如图，D是?ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2(?DAC=?B，若?ABD的面积为a，则?ACD的面积为(
4、) A(a B( C( D( 9、(2013菏泽)如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S，S，则12S+S的值为( ) 12A(16 B(17 C(18 D(19 10、(2013孝感)如图，在?ABC中，AB=AC=a，BC=b(a,b)(在?ABC内依次作?CBD=?A，?DCE=?CBD，?EDF=?DCE(则EF等于( ) A( B( C( D( 11、(2013宜昌)如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以C，D，E为顶点的三角形与?ABC相似，则点E的坐标不可能是( ) A( ( 6，0) B( (6，3)
5、 C( (6，5) D( 4，2) 12、(2013咸宁)如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃(已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为( ) 1 A( B( C( D( 213、(2013恩施州)如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF:FC=( ) A( 1 :4 B( 1:3 C( 2:3 D(1 :2 14、(9-2图形的相似?2013东营中考)如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值( )
6、A. 只有1个 B. 可以有2个 C. 可以有3个 D. 有无数个 16、(2013绥化)如图，点A，B，C，D为?O上的四个点，AC平分?BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为( ) A( 4 B( 5 C( 6 D(7 17、(2013牡丹江)如图，在?ABC中?A=60?，BM?AC于点M，CN?AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论:?PM=PN;?;?PMN为等边三角形;?当?ABC=45?时，BN=PC(其中正确的个数是( ) A( 1 个 B( 2个 C( 3个 D(4 个 19、(2013年河北)如图4，菱形ABCD中，点M，N在AC上，M
7、E?AD， NF?AB. 若NF = NM = 2，ME = 3，则AN = A(3 B(4 C(5 D(6 23、(2013黔东南州)将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是 ( 24、(2013台湾、33)如图，将一张三角形纸片沿虚线剪成甲、乙、丙三块，其中甲、丙为梯形，乙为三角形(根据图中标示的边长数据，比较甲、乙、丙的面积大小，下列判断何者正确,( ) A(甲,乙，乙,丙 B(甲,乙，乙,丙 C(甲,乙，乙,丙 D(甲,乙，乙,丙 26、(2013牡丹江)劳技课上小敏拿出了一个腰长为8厘米，底边为6厘米的等腰三角形，她想用这个等腰三角形加工成一个边长比是1:2的平行四边形，平行四边形的
8、一个内角恰好是这个等腰三角形的底角，平行四边形的其它顶点均在三角形的边上，则这个平行四边形的较短的边长为 2.4cm或cm ( 29、(2013苏州)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上(点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P(则点P的坐标为 ( 30、(2013眉山)如图，?BAC=?DAF=90?，AB=AC，AD=AF，点D、E为BC边上的两点，且?DAE=45?，连接EF、BF，则下列结论: 222?AED?AEF;?ABE?ACD;?BE+DC,DE;?BE+DC=DE， 其中正确的有( )个( A
9、( 1 B( 2 C( 3 D(4 考点:相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理( 分析:根据 ?DAF=90?，?DAE=45?，得出?FAE=45?，利用SAS证明?AED?AEF，判定?正确; 如果?ABE?ACD，那么?BAE=?CAD，由?ABE=?C=45?，则?AED=?ADE，AD=AE，而由已知不能得出此条件，判定?错误; 先由?BAC=?DAF=90?，得出?CAD=?BAF，再利用SAS证明?ACD?ABF，得出CD=BF，又?知DE=EF，那么在?BEF中根据三角形两边之和大于第三边可得BE+BF,EF，等量代换后判定?正确; 先由?ACD?ABF，得
10、出?C=?ABF=45?，进而得出?EBF=90?，然后在Rt?BEF222中，运用勾股定理得出BE+BF=EF，等量代换后判定?正确( 解答:解: ?DAF=90?，?DAE=45?， ?FAE=?DAF,?DAE=45?( 在?AED与?AEF中， ， ?AED?AEF(SAS)，?正确; ?BAC=90?，AB=AC， ?ABE=?C=45?( ?点D、E为BC边上的两点，?DAE=45?， ?AD与AE不一定相等，?AED与?ADE不一定相等， ?AED=45?+?BAE，?ADE=45?+?CAD， ?BAE与?CAD不一定相等， ?ABE与?ACD不一定相似，?错误; ?BAC=?
11、DAF=90?， ?BAC,?BAD=?DAF,?BAD，即?CAD=?BAF( 在?ACD与?ABF中， ， ?ACD?ABF(SAS)， ?CD=BF， 由?知?AED?AEF， ?DE=EF( 在?BEF中，?BE+BF,EF， ?BE+DC,DE，?正确; ?由?知?ACD?ABF， ?C=?ABF=45?， ?ABE=45?， ?EBF=?ABE+?ABF=90?( 222在Rt?BEF中，由勾股定理，得BE+BF=EF， ?BF=DC，EF=DE， 222?BE+DC=DE，?正确( 所以正确的结论有?( 故选C( 点评:本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角直角三角
12、形的性质，三角 形三边关系定理，相似三角形的判定，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，有一定难度( 31、(2013天津)如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，?ADE=60?，则AE的长为 7 ( 考点:相似三角形的判定与性质;等边三角形的性质( 3718684 分析:先根据边长为 9，BD=3，求出CD的长度，然后根据?ADE=60?和等边三角形的性质，证明?ABD?DCE，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得CE的长度，即可求出AE的长度( 解答:解: ?ABC是等边三角形， ?B=?C=60?，AB=BC; ?CD=BC,BD=9,3=6; ?BAD+?ADB=12
13、0? ?ADE=60?， ?ADB+?EDC=120?， ?DAB=?EDC， 又?B=?C=60?， ?ABD?DCE， 则=， 即=， 解得:CE=2， 故AE=AC,CE=9,2=7( 故答案为:7( 点评:此题主要考查了相似三角形的判定和性质以及等边三角形的性质，根据等边三角形的 性质证得?ABD?DCE是解答此题的关键( 32、(2013安顺)在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE:EC=1:2，则BF:BE= ( 考点:相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质( 分析:由题可知?ABF?CEF，然后根据相似比求解( 解答:解:?DE:EC=1:2 ?EC:CD=2:3即EC:A
14、B=2:3 ?AB?CD， ?ABF?CEF， ?BF:EF=AB:EC=3:2( ?BF:BE=3:5( 点评:此题主要考查了平行四边形、相似三角形的性质( 34、(13年安徽省4分、13)如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点，PEF、PDC、PAB的面积分别为S、S、S。若S=2，则S+S= 121236、(2013年潍坊市)如图，直角三角形中，ABC，ACB,90:， ，在线段上取一点，作交于AB,10BC,6ACABDDF,AB点.现将沿折叠，使点落在线段上，对应点记为;AF,ADFDFADB1的中点的对应点记为.若?，则=_. E,EFA,EBFAD
15、EAD111137、(2013益阳)如图，在?ABC中，AB=AC，BD=CD，CE?AB于E(求证:?ABD?CBE( 考点:相似三角形的判定( 专题:证明题( 分析:根据等腰三角形三线合一的性质可得 AD?BC，然后求出?ADB=?CEB=90?，再根据两组角对应相等的两个三角形相似证明( 解答:证明:在 ?ABC中，AB=AC，BD=CD， ?AD?BC， ?CE?AB， ?ADB=?CEB=90?， 又?B=?B， ?ABD?CBE( 点评:本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形三线合一的性质，比较简单，确定出两组 对应相等的角是解题的关键( 38、(2013年佛山市)网格图中每个方格
16、都是边长为1的正方形( 若A，B，C，D，E，F都是格点， D E 试说明?ABC?DEF( C F A B 第17题图 分析:利用图形与勾股定理可以推知图中两个三角形的三条对应边成比例，由此可以证得?ABC?DEF( 解:证明:?AC=，BC=，AB=4，DF=2，EF=2，ED=8， ?=2， ?ABC?DEF( 点评:本题考查了相似三角形的判定、勾股定理(相似三角形相似的判定方法有: (1)平行线法:平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似; 这是判定三角形相似的一种基本方法(相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象
17、出这些基本图形; (2)三边法:三组对应边的比相等的两个三角形相似; (3)两边及其夹角法:两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似; (4)两角法:有两组角对应相等的两个三角形相似( ,BD,BE39、(2013成都市)如图，点,在线段AC上，点D,E在AC同侧，,，,AC90，AD=BC. 1)求证:AC=AD+CE; (2)若AD=3,CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作，交直线BE于点Q. PQDP,DPi)若点P与A,B两点不重合，求的值; PQii)当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径(线段)长。(直接写出结果，不必写出解答 )。 解析:
18、(1)证明:?A=?C=90?DB?BE 有?ADB+?ABD=90?以及?ABD+?EBC=90? ?ADB=?EBC 又AD=BC ?Rt?ADB?Rt?EBC ?AB=EC ?AC=AB+BC=EC+AD (2) ?)连结DQ, ?DPQ=?DBQ=90?, ?D,PB,Q四点共圆. 且DQ为该圆直径，那么就有?DQP=?DBP ?Rt?DPQ?Rt?DAB DPDA3 ,PQAB5?)P到AC中点时，AP=4，AD=3，由勾股定理得DP=5 25534DP3PQ,DB,34 由?. 又 ,DQ,3PQ534341234,MM ? 即为中点运动轨迹。 BQ,MMBQ,32340、(201
19、3巴中)如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE?BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且?AFE=?B 1)求证:?ADF?DEC; (2)若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长( 考点:相似三角形的判定与性质;勾股定理;平行四边形的性质( 分析:( 1)利用对应两角相等，证明两个三角形相似?ADF?DEC; (2)利用?ADF?DEC，可以求出线段DE的长度;然后在在Rt?ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度( 解答:( 1)证明:?ABCD，?AB?CD，AD?BC， ?C+?B=180?，?ADF=?DEC( ?AFD+?AFE=180?，?AFE=?B， ?AFD=
20、?C( 在?ADF与?DEC中， ?ADF?DEC( (2)解:?ABCD，?CD=AB=8( 由(1)知?ADF?DEC， ?，?DE=12( 在Rt?ADE中，由勾股定理得:AE=6( 点评:本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质和勾股定理三个知识 点(题目难度不大，注意仔细分析题意，认真计算，避免出错( 41、(2013徐州)如图，在Rt?ABC中，?C=90?，翻折?C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF(点E、F分别在边AC、BC上) (1)若?CEF与?ABC相似( ?当AC=BC=2时，AD的长为 ; ?当AC=3，BC=4时，AD的长为 1.8或2.5
21、; (2)当点D是AB的中点时，?CEF与?ABC相似吗,请说明理由( 考点:相似三角形的判定与性质;翻折变换(折叠问题)( 分析:( 1)若?CEF与?ABC相似( ?当AC=BC=2时，?ABC为等腰直角三角形; ?当AC=3，BC=4时，分两种情况: (I)若CE:CF=3:4，如答图2所示，此时EF?AB，CD为AB边上的高; (II)若CF:CE=3:4，如答图3所示(由相似三角形角之间的关系，可以推出?A=?ECD与?B=?FCD，从而得到CD=AD=BD，即D点为AB的中点; (2)当点D是AB的中点时，?CEF与?ABC相似(可以推出?CFE=?A，?C=?C，从而可以证明两个
22、三角形相似( 解答:解:( 1)若?CEF与?ABC相似( ?当AC=BC=2时，?ABC为等腰直角三角形，如答图1所示( 此时D为AB边中点，AD=AC=( ?当AC=3，BC=4时，有两种情况: (I)若CE:CF=3:4，如答图2所示( ?CE:CF=AC:BC，?EF?BC( 由折叠性质可知，CD?EF，?CD?AB，即此时CD为AB边上的高( 在Rt?ABC中，AC=3，BC=4，?BC=5，?cosA=( AD=ACcosA=3=1.8; (II)若CF:CE=3:4，如答图3所示( ?CEF?CAB，?CEF=?B( 由折叠性质可知，?CEF+?ECD=90?， 又?A+?B=9
23、0?， ?A=?ECD，?AD=CD( 同理可得:?B=?FCD，CD=BD， ?此时AD=AB=5=2.5( 综上所述，当AC=3，BC=4时，AD的长为1.8或2.5( (2)当点D是AB的中点时，?CEF与?ABC相似(理由如下: 如答图3所示，连接CD，与EF交于点Q( ?CD是Rt?ABC的中线，?CD=DB=AB，?DCB=?B( 由折叠性质可知，?CQF=?DQF=90?，?DCB+?CFE=90?， ?B+?A=90?，?CFE=?A， 又?C=?C，?CEF?CBA( 点评:本题是几何综合题，考查了几何图形折叠问题和相似三角形的判定与性质(第( 1)?问需要分两种情况分别计算
24、，此处容易漏解，需要引起注意( 42、(2013滨州)某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA=CD，BC=20cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40cm、8cm(为使板凳两腿底端A、D之间的距离为50cm，那么横梁EF应为多长,(材质及其厚度等暂忽略不计)( 考点:相似三角形的应用;等腰梯形的性质( 分析:根据等腰梯形的性质，可得 AH=DG，EM=NF，先求出AH、GD的长度，再由?BEM?BAH，可得出EM，继而得出EF的长度( 解答:解:由题意得， MH=8cm，BH=40cm，则BM=32cm， ?四边形ABCD是等腰梯形，AD=50cm，B
25、C=20cm， ?AH=(AD,BC)=15cm( ?EF?CD， ?BEM?BAH， ?=，即=， 解得:EM=12， 故EF=EM+NF+BC=2EM+BC=44cm( 答:横梁EF应为44cm( 点评:本题考查了相似三角形的应用及等腰梯形的性质，解答本题的关键是熟练掌握等腰梯 形的性质，这些是需要我们熟练记忆的内容( 43、(2013眉山)在矩形ABCD中，DC=2，CF?BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF( (1)求证:?DEC?FDC; (2)当F为AD的中点时，求sin?FBD的值及BC的长度( 考点:相似三角形的判定与性质;矩形的性质;解直角三角形( 分析:( 1)根据题意
26、可得?DEC=?FDC，利用两角法即可进行相似的判定; (2)根据F为AD的中点，可得FB=FC，根据AD?BC，可得FE:EC=FD:BC=1:2，再由sin?FBD=EF:BF=EF:FC，即可得出答案，设EF=x，则EC=2x，利用(1)的结论求出x，在Rt?CFD中求出FD，继而得出BC( 解答:解:( 1)?DEC=?FDC=90?，?DCE=?FCD， ?DEC?FDC( (2)?F为AD的中点，AD?BC， ?FE:EC=FD:BC=1:2，FB=FC， ?FE:FC=1:3， ?sin?FBD=EF:BF=EF:FC=; 设EF=x，则FC=3x， ?DEC?FDC， 2?=，
27、即可得:6x=12， 解得:x=， 则CF=3， 在Rt?CFD中，DF=， ?BC=2DF=2( 点评:本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定定理 及相似三角形的性质:对应边成比例( 44、(2013株洲)已知在?ABC中，?ABC=90?，AB=3，BC=4(点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB(如图1)或线段AB的延长线(如图2)于点P( (1)当点P在线段AB上时，求证:?APQ?ABC; (2)当?PQB为等腰三角形时，求AP的长( 考点:相似三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;直角三角形斜边上的中线;勾股定理( 3718684
28、分析:( 1)由两对角相等(?APQ=?C，?A=?A)，证明?APQ?ABC; (2)当?PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论( (I)当点P在线段AB上时，如题图1所示(由三角形相似(?APQ?ABC)关系计算AP的长; (II)当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示(利用角之间的关系，证明点B为线段AP的中点，从而可以求出AP( 解答:( 1)证明:?A+?APQ=90?，?A+?C=90?， ?APQ=?C( 在?APQ与?ABC中， ?APQ=?C，?A=?A， ?APQ?ABC( (2)解:在Rt?ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得:AC=5( ?BPQ为钝角
29、， ?当?PQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ( (I)当点P在线段AB上时，如题图1所示( 由(1)可知，?APQ?ABC， ?，即，解得:PB=， ?AP=AB,PB=3,=; (II)当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示( ?BP=BQ，?BQP=?P， ?BQP+?AQB=90?，?A+?P=90?， ?AQB=?A， ?BQ=AB， ?AB=BP，点B为线段AB中点， ?AP=2AB=23=6( 综上所述，当?PQB为等腰三角形时，AP的长为或6( 点评:本题考查相似三角形及分类讨论的数学思想，难度不大(第( 2)问中，当?PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论，避
30、免漏解( 45、(2013福省福州21)如图，等腰梯形ABCD中，AD?BC，?B=45?，P是BC边上一点，?PAD的面积为，设AB=x，AD=y (1)求y与x的函数关系式; (2)若?APD=45?，当y=1时，求PBPC的值; (3)若?APD=90?，求y的最小值( 考点:相似形综合题( 专题:综合题( 分析:(1)如图1，过A作AE垂直于BC，在直角三角形ABE中，由?B=45?，AB=x，利用锐角三角函数定义表示出AE，三角形PAD的面积以AD为底，AE为高，利用三角形面积公式表示出，根据已知的面积即可列出y与x的函数关系式; (2)根据?APC=?APD+?CPD，以及?APC
31、为三角形ABP的外角，利用外角性质得到关系式，等量代换得到?BAP=?CPD，再由四边形ABCD为等腰梯形，得到一对底角相等及AB=CD，可得出三角形ABP与三角形PDC相似，由相似得比例，将CD换为AB，由y的值求出x的值，即为AB的值，即可求出PBPC的值; (3)取AD的中点F，过P作PH垂直于AD，由直角三角形PF大于等于PH，当PF=PH时，PF最小，此时F与H重合，由三角形APD为直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到PF等于AD的一半，表示出PF即为PH，三角形APD面积以AD为底，PH为高，利用三角形面积公式表示出三角形APD面积，由已知的面积求出y的值，即为
32、最小值( 解答:解:(1)如图1，过A作AE?BC于点E， 在Rt?ABE中，?B=45?，AB=x， ?AE=ABsinB=x， 11?S=ADAE=， ?APD2211?yx=， 22则y=; (2)?APC=?APD+?CPD=?B+?BAP，?APD=?B=45?， ?BAP=?CPD， ?四边形ABCD为等腰梯形， ?B=?C，AB=CD， ?ABP?PCD， ?=， 2?PBPC=ABDC=AB， 当y=1时，x=，即AB=， 2则PBPC=()=2; (3)如图2，取AD的中点F，连接PF， 过P作PH?AD，可得PF?PH， 当PF=PH时，PF有最小值， ?APD=90?，
33、?PF=AD=y， ?PH=y， 11?S=ADPH=， ?APD221112?yy=，即y=2， 222?y,0，?y=， ( 则y的最小值为点评:此题考查了相似形综合题，涉及的知识有:等腰梯形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，以及三角形的面积求法，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键( 46、(2013苏州)如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长交边AD于点F，交CD的延长线于点G( (1)求证:?APB?APD; (2)已知DF:FA=1:2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y( ?求y与x的函数关
34、系式; ?当x=6时，求线段FG的长( 考点:相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;菱形的性质( 3718684 分析:( 1)根据菱形的性质得出?DAP=?PAB，AD=AB，再利用全等三角形的判定得出?APB?APD; (2)?首先证明?DFP?BEP，进而得出=，=，进而得出=，即=，即可得出答案; ?根据?中所求得出PF=PE=4，DP=PB=6，进而得出=，求出即可( 解答:( 1)证明:?点P是菱形ABCD对角线AC上的一点， ?DAP=?PAB，AD=AB， ?在?APB和?APD中 ， ?APB?APD(SAS); (2)解:?APB?APD， ?DP=PB，?ADP
35、=?ABP， ?在?DFP和?BEP中， ， ?DFP?BEP(ASA)， ?PF=PE，DF=BE， ?GD?AB， ?=， ?DF:FA=1:2， ?=，=， ?=， ?=，即=， ?y=x; ?当x=6时，y=6=4， ?PF=PE=4，DP=PB=6， ?=， ?=， 解得:FG=5， 故线段FG的长为5( 点评:此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，根据 平行关系得出=，=是解题关键( 47、(2013衢州)【提出问题】 (1)如图1，在等边?ABC中，点M是BC上的任意一点(不含端点B、C)，连结AM，以AM为边作等边?AMN，连结CN(求证:?AB
36、C=?ACN( 【类比探究】 (2)如图2，在等边?ABC中，点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C)，其它条件不变，(1)中结论?ABC=?ACN还成立吗,请说明理由( 【拓展延伸】 (3)如图3，在等腰?ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点(不含端点B、C)，连结AM，以AM为边作等腰?AMN，使顶角?AMN=?ABC(连结CN(试探究?ABC与?ACN的数量关系，并说明理由( 考点:相似三 角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质( 分析:( 1)利用SAS可证明?BAM?CAN，继而得出结论; (2)也可以通过证明?BAM?CAN，得出结论，和(1)的思路完
37、全一样( (3)首先得出?BAC=?MAN，从而判定?ABC?AMN，得到=，根据?BAM=?BAC,?MAC，?CAN=?MAN,?MAC，得到?BAM=?CAN，从而判定?BAM?CAN，得出结论( 解答:( 1)证明:?ABC、?AMN是等边三角形， ?AB=AC，AM=AN，?BAC=?MAN=60?， ?BAM=?CAN， ?在?BAM和?CAN中， ?BAM?CAN(SAS)， ?ABC=?ACN( (2)解:结论?ABC=?ACN仍成立( 理由如下:?ABC、?AMN是等边三角形， ?AB=AC，AM=AN，?BAC=?MAN=60?， ?BAM=?CAN， ?在?BAM和?CA
38、N中， ?BAM?CAN(SAS)， ?ABC=?ACN( (3)解:?ABC=?ACN( 理由如下:?BA=BC，MA=MN，顶角?ABC=?AMN， ?底角?BAC=?MAN， ?ABC?AMN， ?=， 又?BAM=?BAC,?MAC，?CAN=?MAN,?MAC， ?BAM=?CAN， ?BAM?CAN， ?ABC=?ACN( 点评:本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是 仔细观察图形，找到全等(相似)的条件，利用全等(相似)的性质证明结论( 48、(2013绍兴)在?ABC中，?CAB=90?，AD?BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G
39、，点F在BC上( (1)如图1，AC:AB=1:2，EF?CB，求证:EF=CD( (2)如图2，AC:AB=1:，EF?CE，求EF:EG的值( 考点:相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质( 3718684 分析:( 1)根据同角的余角相等得出?CAD=?B，根据AC:AB=1:2及点E为AB的中点，得出AC=BE，再利用AAS证明?ACD?BEF，即可得出EF=CD; (2)作EH?AD于H，EQ?BC于Q，先证明四边形EQDH是矩形，得出?QEH=90?，则?FEQ=?GEH，再由两角对应相等的两三角形相似证明?EFQ?EGH，得出EF:EG=EQ:EH，然后在?BEQ中，根据
40、正弦函数的定义得出EQ=BE，在?AEH中，根据余弦函数的定义得出EH=AE，又BE=AE，进而求出EF:EG的值( 解答:( 1)证明:如图1， 在?ABC中，?CAB=90?，AD?BC于点D， ?CAD=?B=90?,?ACB( ?AC:AB=1:2，?AB=2AC， ?点E为AB的中点，?AB=2BE， ?AC=BE( 在?ACD与?BEF中， ， ?ACD?BEF， ?CD=EF，即EF=CD; (2)解:如图2，作EH?AD于H，EQ?BC于Q， ?EH?AD，EQ?BC，AD?BC， ?四边形EQDH是矩形， ?QEH=90?， ?FEQ=?GEH=90?,?QEG， 又?EQF
41、=?EHG=90?， ?EFQ?EGH， ?EF:EG=EQ:EH( ?AC:AB=1:，?CAB=90?， ?B=30?( 在?BEQ中，?BQE=90?， ?sin?B=， ?EQ=BE( 在?AEH中，?AHE=90?，?AEH=?B=30?， ?cos?AEH=， ?EH=AE( ?点E为AB的中点，?BE=AE， ?EF:EG=EQ:EH=BE:AE=1:( 点评:本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质， 解直角三角形，综合性较强，有一定难度(解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，并且证明四边形EQDH是矩形( 49、(2013年广东省8分、22)
42、如题22图，矩形ABCD中,以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF,使得另一边EF过原矩形的顶点C. (1)设Rt?CBD的面积为S, Rt?BFC的面积为S, Rt?DCE的面积为S, 123 则S_ S+ S(用“”、“=”、“”填空); 123(2)写出题22图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明. 解析: (1) S= S+ S;123 (2)?BCF?DBC?CDE; 选?BCF?CDE 在矩形ABCD中,?BCD=90?且点C在边EF上,?BCF+?DCE=90? 证明:在矩形BDEF中,?F=?E=90?,?在Rt?BCF中，?CBF+?BCF=90? ?CDE. ?CBF
43、=?DCE,?BCF50、(2013年广东省9分、25压轴题)有一副直角三角板,在三角板ABC中,?BAC=90?,AB=AC=6,在三角板DEF中, 43?FDE=90?,DF=4,DE=.将这副直角三角板按如题25图(1)所示位置摆放,点B与点F重合,直角边BA与FD在同一条直线上.现固定三角板ABC,将三角板DEF沿射线BA方向平行移动,当点F运动到点A时停止运动. (1)如题25图(2),当三角板DEF运动到点D与点A重合时,设EF与BC交于点M, 则?EMC=_度; (2)如题25图(3)，在三角板DEF运动过程中,当EF经过点C时,求FC的长; (3)在三角板DEF运动过程中,设B
44、F=,两块三角板重叠部分面积为,求与的函数解析式,并求出对应xxyy的取值范围. x解析: 3AC,43(1)15;(2)在Rt?CFA中,AC=6,?ACF=?E=30?,?FC=6? ,cos302(3)如图(4),设过点M作MN?AB于点N,则MN?DE,?NMB=?B=45?,?NB=NM,NF=NB-FB=MN-x MN?DE ?MNFN3，3MNMN,x?FMN?FED,?,即，? ,MN,x,DEFD24430,x,2?当时,如图(4) ,设DE与BC相交于点G ,则DG=DB=4+x CAGDE111133，2?ySSDBDGBFMN(4x)xx ,，,BGDBMF22222N
45、MF1，32y,x，4x，8即; B4题25图(4) 2,x,6,23?当时,如图(5), DECANM111133，2ySSACBFMN36xx,，, ,BCABMF22222F3，32y,x，18即; 4B题25图(5) ?当时, 如图(6) 设AC与EF交于点H， 6,23,x,4DEHAC?AF=6,x，?AHF=?E=30? ?AH= 3AF,3(6,x)F132 y,S,(6,x),3(6,x),(6,x),FHAB221，32综上所述，当时， 0,x,2y,x，4x，843，322,x,6,23当， y,x，184326,23,x,4当时， y,(6,x)251、(2013遵义)如图，在Rt?ABC中，?C=90?，AC=4cm，BC=3cm(动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，