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1、2012年长春市高中毕业班第一次调研测试数学试题卷(理科)考生须知：1.本试卷分试题卷和答题纸，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题纸密封区内填写学校、班级、姓名和准考证号.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束，只需上交答题纸.参考公式：柱体体积公式：,其中为底面面积,为高锥体体积公式：,其中为底面面积,为高第卷 (选择题,共60分）一、选择题（本大题包括12小题,每小题5分,共60分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填写在答题纸上）1. 设集合，则R等于A.B.C.D.2. 若复数在复平面内对应的点在轴负半轴上，则实数的值是
2、A.B.C.D.3. “”是“函数在区间上存在零点”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4. 阅读右侧程序框图，输出的结果的值为A. B.C.D.5. 在中，则A.或 B.C.D.6. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列四个命题： 若ab，a，b，则b； 若a，a，则；若a，则a或a； 若ab，a，b，则.其中正确命题的个数为A.1B.2C.3D.47. 一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为 A. B. C.D.8. 函数为奇函数，该函数的部分图像如图所示，、分别为最高点与最低
3、点，且，则该函数图象的一条对称轴为A.B.C.D.9. 在中，是边中点，角的对边分别是，若，则的形状为A.直角三角形B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形但不是等边三角形.10. 类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：，其中，且，下面正确的运算公式是；2；2.A.B.C.D.11. 设、分别为具有公共焦点、的椭圆和双曲线的离心率，是两曲线的一个公共点，且满足,则的值为A.B.2C.D.112. 设是定义在上的增函数，且对于任意的都有恒成立. 如果实数满足不等式组，那么的取值范围是 A.(3, 7)B.(9, 25)C.(13, 49)D. (9, 49)第卷（非选择题
4、，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题纸中的横线上).13. 若等差数列an的前5项和=25，且，则 .14. 已知直线与圆相切，且与直线平行，则直线的方程是 .15. 设(为自然对数的底数)，则的值为.16. 已知函数，则关于的方程给出下列四个命题：存在实数，使得方程恰有1个实根；存在实数，使得方程恰有2个不相等的实根；存在实数，使得方程恰有3个不相等的实根；存在实数，使得方程恰有4个不相等的实根.其中正确命题的序号是 （把所有满
5、足要求的命题序号都填上）.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17. （本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于，两点如果、两点的纵坐标分别为、，求和；在的条件下，求的值；已知点，求函数的值域18. （本小题满分12分）已知数列满足，.求数列的通项公式；若数列满足，求数列的通项公式.19. （本小题满分12分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，平面，求证：；求直线与平面所成的角；设点在棱上，若平面，求的值.20. （本小题满分12分）已知点，动点的轨迹曲线满足，过点的直线交曲线于、两点.(1)求的值，并写出曲线的
6、方程；(2)求面积的最大值.21. （本小题满分12分）已知函数.求函数的最小值；若0对任意的恒成立，求实数a的值；在的条件下，证明：.请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修41：几何证明选讲.如图，O内切ABC的边于D、E、F，AB=AC，连接AD交O于点H，直线HF交BC的延长线于点G.证明：圆心O在直线AD上；证明：点C是线段GD的中点.23. （本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程选讲.在极坐标系中, O为极点, 半径为2的圆C的圆心的极坐标为.求圆C的极坐标方程；是圆上一动点，点满足，以极点O为原点，以极轴
7、为x轴正半轴建立直角坐标系，求点Q的轨迹的直角坐标方程.24. （本小题满分10分）选修45：不等式选讲.已知函数解不等式；若不等式的解集为空集，求的取值范围.2012年长春市高中毕业班第一次调研测试数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分）1B2B3A4 B5 C6 D 7A 8D9C10B11A12C简答与提示：1. B化简为，化简为，故.2. B在复平面内对应的点在轴负半轴上，则且，3. A在区间上存在零点，则，即，或，“”是“或”的充分不必要条件，“”是“函数在区间上存在零点”的充分不必要条件.4. B的函数值构成周期为6的数列，且，则5.
8、C由正弦定理，又，则为锐角，故.6. D由空间线面位置关系容易判断均正确.7. A几何体为底面半径为，高为1的圆柱，全面积为.8. D由为奇函数，得，又，.结合图象知，当时，是其一条对称轴.9. C由题意知，又、不共线，10. B经验证，只有正确.11. A设，不妨设.由知，,则,，.12. C由得，又，.是上的增函数， 又，结合图象知为半圆内的点到原点的距离，故，二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）13. 7 14. 或15. 16. 简答与提示：13. 7依题意，则，14. 或设直线，与圆相切，故或所求直线方程为或.15. 16. 由的图象知,则,根据的图象(如图)可知，正确
9、. 三、解答题（本大题必做题5小题,三选一中任选1小题,共70分）17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查三角函数的定义，两角和、差的正余弦公式的运用，以及三角函数的值域的有关知识，同时还考查了向量的数量积的运算等知识.【试题解析】解：（1）根据三角函数的定义，得，又是锐角，所以 ( 4分)（2）由（1）知因为是钝角，所以所以 ( 8分)（3）由题意可知，所以，因为，所以，从而，因此函数的值域为 ( 12分)18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查运用数列基础知识求解数列的通项公式.【试题解析】解：（1），而，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，因此 ( 5分)（
10、2），( 7分)，即，当时，得，（10分）可验证也满足此式，因此 （12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题将直四棱锥的底面设计为梯形，考查平面几何的基础知识.同时题目指出一条侧棱与底面垂直，搭建了空间直角坐标系的基本架构.本题通过分层设计，考查了空间平行、垂直，以及线面成角等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】解：【方法一】（1）证明：由题意知 则 （4分）（2），又平面. 平面平面. 过作/交于 过点作交于,则 为直线与平面所成的角. 在Rt中，.即直线与平面所成角为. （8分） （3）连结，平面.又平面，平面平面，.又，即（12分）【方法二
11、】如图，在平面ABCD内过D作直线DF/AB，交BC于F，分别以DA、DF、DP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.（1）设，则， ，. （4分）（2）由（1）知.由条件知A（1，0，0），B（1，0），.设，则 即直线为.（8分）（3）由（2）知C（3，0），记P（0，0，a），则，而，所以，=设为平面PAB的法向量，则，即，即. 进而得， 由,得（12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的定义及标准方程，直线和椭圆的综合应用，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】解：(1)设，在中，根据余弦定理得. （2分）即.而，所以. 所以. （4分）又，因此
12、点的轨迹是以、为焦点的椭圆（点在轴上也符合题意），.所以曲线的方程为. （6分）(2)设直线的方程为.由，消去x并整理得.显然方程的,设,则由韦达定理得，. （9分）所以.令，则，.由于函数在上是增函数.所以，当，即时取等号.所以，即的最大值为3.所以面积的最大值为3，此时直线的方程为. （12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性、极值等，以及函数与不等式知识的综合应用，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：（1）由题意，由得.当时, ；当时，.在单调递减，在单调递增.即在处取得极小值，且为最小值，其最
13、小值为（4分）（2）对任意的恒成立，即在上，.由（1），设，所以.由得.在区间上单调递增，在区间上单调递减，在处取得极大值.因此的解为，.（8分）（3）由（2）知，因为，所以对任意实数均有，即.令 ，则.（12分）22. (本小题满分10分) 选修4-1：几何证明选讲【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到三角形内心的定义，以及弦切角定理等知识.【试题解析】证明：.又又是等腰三角形，,是角的平分线.内切圆圆心O在直线AD上. (5分)连接DF，由知，DH是O的直径， 点C是线段GD的中点. (10分)23.24. B、当a0时(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲【命
14、题意图】本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程的求解，以及轨迹方程等内容.【试题解析】解：（1）设是圆上任一点，过作于点，则在中，而，所以，即7.同角的三角函数间的关系： 为所求的圆的极坐标方程. ( 5分)（2）设，由于，所以代入中方程得，即，（2）交点式：y=a(x-x1)(x-x2)，,点的轨迹的直角坐标方程为. (10分)25. (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式的解法及性质等内容.第三章 圆【试题解析】解：(1)根据条件 如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则当时，推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.当时，当时，综上，的解集为或. （5分）七、学困生辅导和转化措施(2)由于可得的值域为.tanA的值越大，梯子越陡，A越大；A越大，梯子越陡，tanA的值越大。又不等式的解集为空集，所以. （10分）抛物线的顶点在(0，0)，对称轴是y轴(或称直线x0)。