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1、2011届高考数学考前必看系列之一：基本知识篇.doc高考数学考前必看系列材料之一 基本知识篇 一、集合与简易逻辑 1.研究集合问题，一定要抓住集合的代表元素，如:与及,y|y,lgxx|y,lgx,(x,y)|y,lgx2.数形结合是解集合问题的常用方法，解题要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决; 3.一个语句是否为命题，关键要看能否判断真假，陈述句、反诘问句都是命题，而祁使句、疑问句、感叹句都不是命题; 4.判断命题的真假要以真值表为依据。原命题与其逆否命题是等价命题 ，逆命题与其否命题是等价命题 ，一真俱真，
2、一假俱假，当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假; 5.判断命题充要条件的三种方法:(1)定义法;(2)利用集合间的包含关系判断，若，A,B则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B，则A是B的充要条件;(3)等价法:即利用等价关系判断，对于条件或结论是不等关系(或否定式)的A,B,B,A命题，一般运用等价法; nn226.(1)含n个元素的集合的子集个数为，真子集(非空子集)个数为,1; A,B,A:B,A,A:B,B;(2) (3)C(A:B),CA:CB,C(A:B),CA:CB;IIIIII二、函数 1.复合函数的有关问题 (1)复合函数定义域求法:若已知fx()的
3、定义域为,a，b,其复合函数fg(x)的定义域由不等式a?g(x)?b解出即可;若已知fg(x)的定义域为a,b,求 f(x)的定义域，相当于x?a,b时，求g(x)的值域(即 f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。 (2)复合函数的单调性由“同增异减”判定; 2.函数的奇偶性 (1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(,x)=; f(x)(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则(可用于求参数); f(0)0,f(,x)3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式:f(x)?f(-x)=0或(f(x)?0); (,1f(x)(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判
4、断其奇偶性; (5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性; 3.函数图像(或方程曲线的对称性) (1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上; (2)证明图像C与C的对称性，即证明C上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点121仍在C上，反之亦然; 2(3)曲线C:f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C的方程为f(y,a,x+a)=0(或f(,12y+a,x+a)=0); (4)曲线C:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C方程为:f(2a,x,2b,y)=0; 12(5)若函数y=f
5、(x)对x?R时，f(a+x)=f(a,x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称; a，b(6)函数y=f(x,a)与y=f(b,x)的图像关于直线x=对称; 24.函数的周期性 (1)y=f(x)对x?R时，f(x +a)=f(x,a) 或f(x,2a )=f(x) (a0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数; (2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2,a,的周期函数; (3)若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4,a,的周期函数; (4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为
6、2的周期函数; a,b(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a?b)对称，则函数y=f(x)是周期为2的周期函a,b数; 1(6)y=f(x)对x?R时，f(x+a)=,f(x)(或f(x+a)= ，则y=f(x)是周期为2的周期函a,f(x)数; 5.方程k=f(x)有解k?D(D为f(x)的值域); ,6.a?f(x) 恒成立a?,f(x),; a?f(x) 恒成立a?,f(x),; ,max,minlogNn+b7.(1) (a0,a?1,b0,n?R); (2) l og N=( a0,a?1,b0,b?1); logb,logba naalogablog a N(3) l
7、og b的符号由口诀“同正异负”记忆; (4) a= N ( a0,a?1,N0 ); a 8.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。 9.判断对应是否为映射时，抓住两点:(1)A中元素必须都有象且唯一;(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象; 10.对于反函数，应掌握以下一些结论:(1)定义域上的单调函数必有反函数;(2)奇函数的反函数也是奇函数;(3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;(4)周期函数-1不存在反函数;(5)互为反函数的两个函数具有相同的单调性;(5) y=f(x)与y=f(x)互为,-1-1反函数，设f(x)的定义域为
8、A，值域为B，则有ff(x)=x(x?B),ff(x)=x(x?A). 11.处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”:一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系; 12.恒成立问题的处理方法:(1)分离参数法;(2)转化为一元二次方程的根的分布列不等(组)求解; 式13.依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题:fa()0,fa()0,fugxuhx()()()0,，,(或(或); ,0)()aub,fb()0,fb()0,axbbaca，,14.掌握函数的图象和性质; yabacyxa,，,，,(0);(0)xcxc
9、x，ax，bb,aca函数 (b ac?0) ) y,a，y,x，(a,0x，cx，cx定义 (,c),(c,，,)(,0),(0,，,)域 值域 (,a),(a,，,) (,2a,2a,，,)奇偶非奇非偶函数 奇函数 性 单调当b-ac0时:分别在上单调递(,c),(c,，,)上单调递在(,a,a,，,)性 减; 增; 当b-ac0,b0)时要符合“一正二定三2ab22a，ba，ba，b22相等”;注意均值不等式的一些变形，如; ,();ab,()222七、直线和圆的方程 1.设三角形的三顶点是A(x,y)、B(x,y)、C(x,y),则?ABC的重心G为112233x，x，xy，y，y12
10、3123(); ,332.直线l:Ax+By+C=0与l: Ax+By+C=0垂直的充要条件是AA+BB=0; 111122221212C,C123.两条平行线Ax+By+C=0与 Ax+By+C=0的距离是; 12d,22A，B22224.Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件 :A=C?0且B=0且D+E,4F0; 22225.过圆x+y=r上的点M(x,y)的切线方程为:xx+yy=r; 00006.以A(x，y)、B(x,y)为直径的圆的方程是(x,x)(x,x)+(y,y)(y,y)=0; 122212127.求解线性规划问题的步骤是:(1)根据实际问题的约束条件列出
11、不等式;(2)作出可行域，写出目标函数;(3)确定目标函数的最优位置，从而获得最优解; 八、圆锥曲线方程 22xy1.椭圆焦半径公式:设P(x,y)为椭圆(ab0)上任一点，焦点为F(-c,0),F(c,0),0012，,122ab则PF,a，ex,PF,a,ex(e为离心率); 102022yx2.双曲线焦半径公式:设P(x,y)为双曲线(a0,b0)上任一点，焦点为00,122abF(-c,0),F(c,0),则:(1)当P点在右支上时，PF,a，ex,PF,a，ex; 121020(2)当P点在左支上时，;(e为离心率); PF,a,ex,PF,a,ex10202222yyxx另:双曲线
12、(a0,b0)的渐近线方程为; ,1,02222abab23.抛物线焦半径公式:设P(x,y)为抛物线y=2px(p0)上任意一点，F为焦点，则00pp2;y=-2px(p0)上任意一点，F为焦点，则; PF,x，PF,x，00224.涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题; 22byx5.共渐进线的双曲线标准方程为为参数，?0); ,y,x,(,22aab6.计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式， 一般地，若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB， A、B两点分别为A(x，y)、11222B(x,y)，则弦长 AB,1，k,x,x,(1，k)(x，x),4xx22211212112,这里体现了解析
13、几何“设而不求”的,1，,y,y,(1，),(y，y),4yy21121222kk解题思想; 22bb27.椭圆、双曲线的通径(最短弦)为，焦准距为p=，抛物线的通径为2p，焦准距ca22yx为p; 双曲线(a0，b0)的焦点到渐进线的距离为b; ,122ab228.中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为Ax+By,1; 29.抛物线y=2px(p0)的焦点弦(过焦点的弦)为AB，A(x,y)、B(x,y),则有如下结论:112222p(1),x+x+p;(2)yy=,p，xx=; AB121212422xy10.过椭圆(ab0)左焦点的焦点弦为AB，则，过右AB,2a，e(x，x
14、)，,11222ab焦点的弦; AB,2a,e(x，x)122y2011.对于y=2px(p?0)抛物线上的点的坐标可设为(，y),以简化计算; 02p12.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设A(x，y)、B(x,y)为椭1122222bxy圆(ab0)上不同的两点，M(x,y)是AB的中点，则KK=;对于,00ABOM，,1222aab222b2yx双曲线(a0，b0)，类似可得:K.K=;对于y=2px(p?0)抛物线有ABOM,1222aab2pK, ABy，y1213.求轨迹的常用方法: (1)直接法:直接通过建立x、y之间的关系，构成F(x,y),0，是求轨迹的最
15、基本的方法; (2)待定系数法:所求曲线是所学过的曲线:如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可; (3)代入法(相关点法或转移法):若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x,y)的变化而变化，11并且Q(x,y)又在某已知曲线上，则可先用x、y的代数式表示x、y，再将x、y带入111111已知曲线得要求的轨迹方程; (4)定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程; (5)参数法:当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再
16、消去参数得普通方程。 九、直线、平面、简单几何体 1.从一点O出发的三条射线OA、OB、OC，若?AOB=?AOC，则点A在平面?BOC上的射影在?BOC的平分线上; ,2. 已知:直二面角M,AB,N中，AE M，BF N,?EAB=,?ABF=，异面直线,12AE与BF所成的角为，则 cos,cos,cos,;,12A 3.立平斜公式:如图，AB和平面所成的角是，AC在平面内，AC和AB的射影AB成，,12设?BAC=,则coscos=cos,; ,31324.异面直线所成角的求法: (1)平移法:在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线; (2)补形法:把空间图形补成熟悉的
17、或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系; 5.直线与平面所成的角 斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键; 6.二面角的求法 (1)定义法:直接在二面角的棱上取一点(特殊点)，分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性; (2)三垂线法:已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角; (3)垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作
18、平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直; (4)射影法:利用面积射影公式S,Scos,其中为平面角的大小，此方法不必在图,射原形中画出平面角; 特别:对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法(尤其要考虑射影法)。 7.空间距离的求法 (1)两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线，所以一般先利用垂直作出公垂线，然后再进行计算; (2)求点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线再求解; (3)求点到平面的距离，一是用垂面法，借助面面垂直的性质来作，因此，确定已知面的垂面是关键;二是不作出公垂线，转化为求三棱锥
19、的高，利用等体积法列方程求解; 8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为，则Scos=S; ,侧底9.已知:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为,因此有222cos+cos+cos=1; 若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为,222,则有cos+cos+cos=2; ,10.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长; 11.欧拉公式:如果简单多面体的顶点数为V,面数为F,棱数为E.那么V+F,E=2;并且棱数E,各顶点连着的棱数和的一半,各面边数和的一半; 4232.球的体积公式V=，表面积公式;掌握球面上两点A、B间的距离求法:1S,4,R,R3(1)计算
20、线段AB的长，(2)计算球心角?AOB的弧度数;(3)用弧长公式计算劣弧AB的长; 十、排列组合二项式定理和概率 n!m1.排列数公式:=n(n-1)(n-2)(n-m，1)=(m?n,m、n?N*),当m=n时为全排列A(n,m)!nn=n(n-1)21; ,Anm0nAnnnm,，(1)(1)mn2.组合数公式:(m?n),; C,C,1C,nnnmmmm!(1)(2)321,mnmrrr,1C,C;C，C,C3.组合数性质:; nnnnn，1nn，1nrrrr，14.常用性质:n.n!=(n+1)!-n!;即(1?r?n); C，C，,，C,C;nA,A,A;nn，1nrr，1nr，1r
21、n,rr5.二项式定理:(1)掌握二项展开式的通项: T,Cab(r,0,1,2,.,n);1r，n(2)注意第r，1项二项式系数与第r，1系数的区别; 6.二项式系数具有下列性质: (1) 与首末两端等距离的二项式系数相等; n(2) 若n为偶数，中间一项(第，1项)的二项式系数最大;若n为奇数，中间两项(第2n，1n，1和，1项)的二项式系数最大; 22012nn0213n,1(3)C，C，C，,，C,2;C，C，,C，C，,2; nnnnnnnn1n7.F(x)=(ax+b)展开式的各项系数和为f(1);奇数项系数和为;偶数项的系f(1),f(,1)21数和为; f(1)，f(,1)2n
22、8.等可能事件的概率公式:(1)P(A),;(2)互斥事件分别发生的概率公式为:mP(A+B)=P(A)+P(B);(3)相互独立事件同时发生的概率公式为P(AB),P(A)P(B);(4)抛物线的顶点在(0，0)，对称轴是y轴(或称直线x0)。kkn,k独立重复试验概率公式Pn(k)=(5)如果事件A、B互斥，那么事件AC,p(1,p);n与、与及事件与也都是互斥事件;(6)如果事件A、B相互独立，那么事BABAB抛物线的顶点在(0，0)，对称轴是y轴(或称直线x0)。件A、B至少有一个不发生的概率是1,P(AB),1,P(A)P(B);(7)如果事件A、B,P(),1,P()P(); 相互
23、独立，那么事件A、B至少有一个发生的概率是1ABAB,十一、抽样方法、总体分布的估计与总体的期望和方差 1.掌握抽样的二种方法:(1)简单随机抽样(包括抽签符和随机数表法);(2)分层抽样，常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形; 2.总体分布的估计:用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图; 8、从作业上严格要求学生，不但书写工整，且准确率高。对每天的作业老师要及时批改，并让学生养成改错的好习惯。n113.总体特征数的估计:(1)学会用样本平均数去估计总体平x,x，x，,，x,x(),12ninn,1i
24、均数;(2)学会用样本nn1112222222去估计总体方差S,(x,x)，(x,x)，,，(x,x),(x,x),(x,nx)n,12iinnn,11ii2及总体标准差; ,tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中A的对边与邻边的比；十二、导数及应用 1、开展一帮一活动，让优秀学生带动后进生，促使他们的转化。fx，,x,fx()()001.导数的定义:f(x)在点x处的导数记作; ,y,fx,0()limx,x00,x,0,x2.根据导数的定义，求函数的导数步骤为:(1)求函数的增量(2)求,y,f(x，,x),f(x);,yf(x，,x),f(x),y平均变化率;(3)取极限,得导
25、数; ,fx,()lim,x,0,x,x,x互余关系sinA=cos(90A)、cosA=sin(90A),3.导数的几何意义:曲线y,f(x)在点P(x,f(x)处的切线的斜率是f(x).相应地，000（1）圆周角：:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.,切线方程是y,y,f(x)(x,x); 000第一章 直角三角形边的关系mm-1,4.常见函数的导数公式:C,0(C为常数);(x),mx(m,Q); 2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角5.导数的应用:(1)利用导数判断函数的单调性:设函数y,f(x)在某个区间内可导，如当a0时，抛物线开口向上
26、，并且向上方无限伸展。当a0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。,果那么f(x)为增函数;如果那么f(x)为减函数;如果在某个区间内f(x),0,f(x),0,恒有那么f(x)为常数; f(x),0,(2)求可导函数极值的步骤:?求导数;?求方程的根;?检验在f(x)f(x),0f(x),方程根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得最大值;f(x),0如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根处取得最小值; (3)求可导函数最大值与最小值的步骤:?求y=f(x)在(a,b)内的极值;?将y=f(x)在各极值点的极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值。