《2019届高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.6正弦定理和余弦定理学案理北师大版201805.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.6正弦定理和余弦定理学案理北师大版201805.wps（33页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、4.64.6 正弦定理和余弦定理 最新考纲 考情考向分析 以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简 三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三 单的三角形度量问题. 角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合 思想的应用意识题型多样，中档难度. 1正弦定理、余弦定理 在ABC中，若角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，R为ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 a b c 2R sin A sin B sin C a2b2c22bccos A； b2c2a22cacos B； c2a2b22abcos C (1)a2Rsin A， b2Rsin
2、B， b2c2a2 (4)cos A ； 2bc c2Rsin C； c2a2b2 cos B ； 2ac 变形 a b c (2)sin A ，sin B ，sin C ； 2R 2R 2R (3)abcsin Asin Bsin C； a2b2c2 2ab cos C asin Bbsin A， bsin Ccsin B， asin Ccsin A 2.在ABC中，已知 a，b和 A时，解的情况 A为锐角 A为钝角或直角 图形 1 关系式 absin A bsin Ab 解的个数 一解 两解 一解 一解 3.三角形常用面积公式 1 (1)S aha(ha表示边 a上的高)； 2 1 1 1
3、 (2)S absin C acsin B bcsin A； 2 2 2 1 (3)S r(abc)(r为三角形内切圆半径) 2 知识拓展 1三角形内角和定理 在ABC中，ABC； AB C 变形： . 2 2 2 2三角形中的三角函数关系 (1)sin(AB)sin C；(2)cos(AB)cos C； AB C AB C (3)sin cos ；(4)cos sin . 2 2 2 2 3三角形中的射影定理 在ABC中，abcos Cccos B； bacos Cccos A； cbcos Aacos B. 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(“”“请在括号中打或 ”) (1)三角形
4、中三边之比等于相应的三个内角之比( ) (2)在ABC中，若 sin Asin B，则 AB.( ) (3)当 b2c2a20时，三角形 ABC为锐角三角形( ) a abc (4)在ABC中， .( ) sin A sin Asin Bsin C (5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积( ) 题组二 教材改编 2在ABC中，acos Abcos B，则这个三角形的形状为 答案 等腰三角形或直角三角形 解析 由正弦定理，得 sin Acos Asin Bcos B， 2 即 sin 2Asin 2B，所以 2A2B 或 2A2B， 即 AB 或 AB ， 2 所以这个三角形为等腰三
5、角形或直角三角形 3在ABC 中，A60，AC4，BC2 3，则ABC 的面积为 答案 2 3 2 3 4 解析 ，sin B1，B90， sin 60 sin B 1 AB2，SABC 22 32 3. 2 题组三 易错自纠 4在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 c0，cos B1. c 20 角 B 不存在，即满足条件的三角形不存在 6(2018包头模拟)设ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c.若 bc2a,3sin A5sin B，则角 C . 2 答案 3 解析 由 3sin A5sin B，得 3a5b.又因为 bc2a， 5 7 所以
6、a b，c b， 3 3 3 5 7 (b )2b2(b )2 a2b2 c2 1 3 3 所以 cos C . 2ab 5 2 2 b b 3 2 因为 C(0，)，所以 C . 3 题型一 利用正、余弦定理解三角形 1(2016山东)ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 bc，a22b2(1sin A)，则 A 等于( ) 3 A. B. C. D. 4 3 4 6 答案 C 解析 在ABC 中，由余弦定理得 a2b2c22bccos A， bc，a22b2(1cos A)，又a22b2(1sin A)， cos Asin A，tan A1， A(0，)，A ，故选
7、C. 4 2在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.已知 8b5c，C2B，则 cos C 等于( ) 7 7 7 24 A. B C D. 25 25 25 25 答案 A 解析 8b5c，由正弦定理，得 8sin B5sin C. 又C2B，8sin B5sin 2B， 8sin B10sin Bcos B. 4 sin B0，cos B ， 5 7 cos Ccos 2B2cos2B1 . 25 1 3设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a 3，sin B ，C ，则 b 2 6 . 答案 1 1 解析 因为 sin B 且 B(0，)， 2 4
8、 5 所以 B 或 B . 6 6 2 又 C ，BC0，sin A1， 即 A ，ABC 为直角三角形 2 引申探究 1本例(2)中，若将条件变为 2sin Acos Bsin C，判断ABC 的形状 解 2sin Acos Bsin Csin(AB)， 2sin Acos Bsin Acos Bcos Asin B， sin(AB)0. 又 A，B 为ABC 的内角 AB，ABC 为等腰三角形 2本例(2)中，若将条件变为 a2b2c2ab，且 2cos Asin Bsin C，判断ABC 的形状 a2b2c2 1 解 a2b2c2ab，cos C ， 2ab 2 又 00，sin A 3
9、cos A， 即 tan A 3. 0A，A . 3 由余弦定理得 a216b2c22bccos A bc (bc)23bc(bc)23( 2 )2， 则(bc)264，即 bc8(当且仅当 bc4 时等号成立)， ABC 周长abc4bc12，即最大值为 12. 7 15在ABC 中，若 AB4，AC7，BC 边的中线 AD ，则 BC . 2 答案 9 解析 如图所示，延长 AD 到 E，使 DEAD，连接 BE，EC. 因为 AD 是 BC 边上的中线， 所以 AE 与 BC 互相平分， 所以四边形 ACEB 是平行四边形，所以 BEAC7. 又 AB4，AE2AD7， 所以在ABE 中
10、，由余弦定理得， AE249AB2BE22ABBEcosABE AB2AC22ABACcosABE. 在ABC 中，由余弦定理得， BC2AB2AC22ABACcos(ABE)， 49BC22(AB2AC2)2(1649)， BC281，BC9. 16(2018贵阳质检)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a2(bc)2(2 C 3)bc，sin Asin Bcos2 ，BC 边上的中线 AM 的长为 7. 2 16 (1)求角 A 和角 B 的大小； (2)求ABC 的面积 解 (1)由 a2(bc)2(2 3)bc， 得 a2b2c2 3bc， b2c2a2 3 cos A ， 2bc 2 又 0A，A . 6 C 由 sin Asin Bcos2 ， 2 1 1cos C 得 sin B ， 2 2 即 sin B1cos C， 则 cos C0，即 C 为钝角， 5 B 为锐角，且 BC ， 6 5 则 sin( C)1cos C， 6 化简得 cos(C 3)1， 2 解得 C ，B . 3 6 (2)由(1)知，ab，在ACM 中， a a 由余弦 定理得 AM 2b2(2 )22b cos C 2 b2 b2 b2 ( 7)2， 4 2 解得 b2， 1 1 3 故 SABC absin C 22 . 3 2 2 2 17