1、 一、直一、直 线线 和和 平平 面面三垂线定理第第 九九 章章天马行空官方博客：http:/ 已知已知 PA、PO分分别是平面别是平面 的垂线、的垂线、斜线，斜线，AO是是PO在平在平面面 上的射影。上的射影。a ，aAO。求证：求证：aPO在平面内的一条直线在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。三垂线定理A aOP证明：证明：aPOPA a AOaa平面平面PAOPO 平面平面PAOPA aA aOPcde三垂线定理三垂线定理是平面是平面的一条斜线与的一条斜线与平面内平面内的的直线垂
2、直的判定定理，直线垂直的判定定理，相交直线相交直线异面直线异面直线注意：注意：bAoaP这两条直线这两条直线可以是可以是：PCBA例例1 已知已知P 是平面是平面ABC 外一点，外一点，PA平面平面ABC，AC BC，求证：求证：PC BC证明：证明：PA平面平面ABC PC是平面是平面ABC的斜线的斜线 AC是是PC在平面在平面ABC上的射影上的射影 BC 平面平面ABC 且且AC BC 由三垂线定理得由三垂线定理得 PC BC例例2 直接利用三垂线定理证明下列各题：直接利用三垂线定理证明下列各题：(1)PA正方形正方形ABCD所在平面，所在平面，O为对角线为对角线BD的中点的中点求证：求证
3、POBD，PCBD(3)在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：中，求证：A1CB1D1，A1CBC1(2)已知：已知：PA平面平面PBC，PB=PC，M是是BC的中点，的中点，求证：求证：BCAM(1)B(2)PMCAC A D B A1D1B1C1(3)POABCDPMCABPAOa 我们要学会从纷繁的已知条件中找出我们要学会从纷繁的已知条件中找出或者创造出符合三垂线定理的条件，或者创造出符合三垂线定理的条件，怎么找？怎么找？解解题题回回顾顾ACBDOPCAoDBP三垂线定理解题的关键：找三垂！怎么找？怎么找？一找直线和平面垂直一找直线和平面垂直二找平面的斜线在平面二找平面的
4、斜线在平面 内的射影和平面内的内的射影和平面内的 一条直线垂直一条直线垂直注意：注意：由一垂、二垂直接得出第三垂由一垂、二垂直接得出第三垂并不是三垂都作为已知条件并不是三垂都作为已知条件解解题题回回顾顾PAOa直线直线a a 一定要在平面内，如果一定要在平面内，如果a a不在不在平面内，定理就不一定成立。平面内，定理就不一定成立。例如：当例如：当 a 时，时，aOA，但但a不垂不垂直于直于OP 注意：如果将定理中如果将定理中“在平面内在平面内”的条的条 件去掉，结论仍然成立吗？件去掉，结论仍然成立吗？PAOaa解解题题回回顾顾若若a a是平面是平面的斜线，直线的斜线，直线b b垂直于垂直于 a
5、 a在平面在平面内的射影，则内的射影，则 aab b（）若若a a是平面是平面的斜线的斜线,b,b,直线直线 b b垂直于垂直于a a在平面在平面内的射影，则内的射影，则 aab b （）若若a a是平面是平面的斜线，直线的斜线，直线b b 且且b b垂直于垂直于a a在另一平面在另一平面内的射影内的射影则则aab b （）若若 a a是平面是平面的斜线，平面的斜线，平面内内 的直线的直线b b垂直于垂直于a a在平面在平面内的射内的射 影，则影，则 aab b （）练习：练习：判断下列命题的真假：判断下列命题的真假：ADCBA1D1C1B1面面ABCD ABCD 面面面面B B1 1BCCB
6、CC1 1面面直线直线A A1 1C C 斜线斜线 a a直线直线AB AB 垂线垂线 b b 一、直一、直 线线 和和 平平 面面三垂线定理的逆定理第第 九九 章章三垂线定理包含几种垂直关系？三垂线定理包含几种垂直关系？线射垂直线射垂直线面垂直线面垂直 线斜垂直线斜垂直PAOa直直 线线 和和平平面面垂直垂直平面内的直平面内的直线线和平面一条斜和平面一条斜线的线的射射影垂直影垂直平面内的直平面内的直线线和平面的一条和平面的一条斜斜线垂直线垂直PAOaPAOa线射垂直线射垂直线斜垂直线斜垂直PAOaPAOa平面内的一条直平面内的一条直线线和和平面的一条斜线在平平面的一条斜线在平面内的面内的射射
7、影影垂直垂直平面内的一条直平面内的一条直线线和平面的一条和平面的一条斜斜线线垂直垂直三垂线定理的逆定理？在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。PAOa 已知：已知：PAPA，POPO分别是平分别是平面面 的垂线和斜线，的垂线和斜线，AOAO是是POPO在平面在平面 的射影的射影,a a ,a a POPO求证：求证：a a AOAO三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理例例3 如果一个角所在平面外一点到角的两边如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射
8、影在这距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。个角的平分线上。C B A P O F E 已知：已知：BACBAC在平面在平面 内，点内，点P P，PEPEABAB，PFPFACAC，POPO ，垂足分别是垂足分别是E E、F F、O O，PE=PFPE=PF求证：求证：BAOBAO=CAOCAO例例4 4 在四面体在四面体ABCDABCD中，已知中，已知ABABCDCD，ACACBDBD求证：求证：ADADBCBCDOBCDOBC，于是于是ADBC.ADBC.证明：作证明：作AOAO平面平面BCDBCD于点于点O O，连接连接BOBO，COCO，DODO，则，则BOBO，COC
9、O，DODO分别为分别为ABAB，ACAC，ADAD在平面在平面BCDBCD上的射影。上的射影。OADCBABCDABCD，CD CD 平面平面BCDBOCDBOCD，同理同理COBDCOBD，于是于是O O是是BCDBCD的垂心，的垂心，1.1.在正方体在正方体ACAC1 1中，中，E E、G G分别是分别是AAAA1 1和和CCCC1 1的中的中点，点，F F在在ABAB上，且上，且C C1 1E EEFEF，则，则EFEF与与GDGD所成的所成的角的大小为（角的大小为（）A 30A 30B 45B 45 C 60C 60D 90D 90DF A D C B A1D1B1C1G E M E
10、B1是是EC1在平面在平面AB1内的射影内的射影EBEB1 1 EFEFDGDGAMAMEBEB1 1EFEF DGDG练练 习习2.2.已知已知 PAPA、PBPB、PCPC两两垂直，两两垂直，求证：求证：P P在平面在平面ABCABC内的射影是内的射影是ABCABC的垂心。的垂心。CBPAH3.3.经过一个角的顶点引这个角经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线和所在平面的斜线，如果斜线和这个角两边的夹角相等，那么这个角两边的夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在的直线。的平分线所在的直线。4.4.在在ABCDABCDA A1 1B B1 1
11、C C1 1D D1 1中，中，求证：求证：ACAC1 1平面平面A A1 1BDBDD1DCBAC1B1A1三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。它也和这条斜线的射影垂直。三垂线定理三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直，那么，它就和这条斜线垂直。直。线射垂直线射垂直线斜垂直线斜垂直定定理理逆逆定定理理线射垂直线射垂直 线斜垂直线斜垂直 定定 理理逆定理逆定理
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