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1、常用逻辑用语中数学思想的应用 一、分类讨论思想 分类讨论思想是中学数学中的常用数学思想之一，也是高考中常考常新的数学思想，在常用逻辑用语一章中当然少不了它的身影. 例1若命题p对x-1，+），x2-2ax+2a为真命题，求a的取值范围. 解令f（x）=x2-2ax+2-a.则由题意知，x-1，+）时，f（x）0恒成立.易知f（x）的对称轴为x=a，故 （1）若a-1，则f（x）min=f（-1）=a+30， 解得a-3.所以-3a-1. （2）若a-1，则f（x）min=f（a）=-a2-a+20， 解得-2a1.所以-1综上，a的取值范围是-3a1. 例2已知an是等差数列，d为公差且不为0
2、，a1和d均为实数，它的前n项和为Sn，设集合A=（an，Snn）|nN*，集合B=（x，y）|14x2-y2=1，x，yR.试问下列命题是否为真命题，如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请举反例说明. （1）AB至多有一个元素； （2）当a1不等于0时，一定有AB. 解（1）真命题.设（x，y）AB， 则（x，y）应是方程组y=12x+1xa1， 14x2-y2=1的解. 由方程组消去y得2a1x+a21=-4.（*） 当a1=0时，方程（*）无解，此时AB=； 当a10时，方程（*）只有一个解x=-4-a212a1， 此时方程组也只有一个解x=-4-a212a1， y=a21-44a1
3、. 综上所述，上述方程组至多有一解. 所以，AB至多有一个元素. （2）假命题.取a1=1，d=1. 对一切nN*，有an=a1+（n-1）d=n0，Snn0. 这时集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正. 另外，由于a1=10，如果AB，那么由（1）知AB中至多有一个元素（x0，y0），而 x0=-4-a212a1=-523或m0或m16， m3，解得30， f（1）0k2-k-20， k2-2k-80. 解得-2x2+1x2.若其中至多有两个不等式的解集为空集，试求实数a的取值范围. 解因为|x-1|+|x+4|（x-1）-（x+4）|=5，所以不等式的解集为空集时a5. 对于不等式，当a=3时，由原不等式得x1，显然不空；当a3时，要使不等式的解集为空集，则a-3x2+1x2的解集为空集时，a2. 所以，当三个不等式的解集都为空时，-22a2. 所以，三个不等式的解集至多有两个的解集为空集的实数a的取值范围是a2.