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1、第二讲参数方程测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.若直线l的参数方程为x=2 017+3t,y=2 016-t(t为参数),则直线l的斜率等于()A.3B.-3C.13D.-13解析由参数方程可得直线l的斜率k=-13=-13.答案D2.直线3x-4y-9=0与圆:x=2cos,y=2sin(为参数)的位置关系是()A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心解析由圆的参数方程可知圆心为(0,0),半径为2,圆心到直线3x-4y-9=0的距离d=950,由此可知t1,t2均小于零,则|AP1|+|AP2|=|t1|+|t2|=|
2、t1+t2|=4(2+3).答案C11.若曲线C的参数方程为x=2+3cos,y=-1+3sin(为参数),直线l的方程为x-3y+2=0,则曲线C上到直线l的距离为71010的点的个数为()A.1B.2C.3D.4解析曲线C的普通方程为(x-2)2+(y+1)2=9,它表示以(2,-1)为圆心,半径为3的圆,其中圆心(2,-1)到直线x-3y+2=0的距离d=|2+3+2|10=71010,且3-7101071010,故过圆心且与l平行的直线与圆交于两点,满足题意的点即为该两点.答案B12.导学号73574066过抛物线x=2t2,y=3t(t为参数)的焦点的弦长为2,则弦长所在直线的倾斜角
3、为()A.3B.3或23C.6D.6或56解析将抛物线的参数方程化成普通方程为y2=32x,它的焦点坐标为38,0.设弦所在直线的方程为y=kx-38,由y2=32x,y=kx-38消去y,得64k2x2-48(k2+2)x+9k2=0.设弦的两个端点的坐标为(x1,y1),(x2,y2),则|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=34k2+2k22-916=21+k2,解得k=3.故倾斜角为3或23.答案B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.在平面直角坐标系xOy中,若直线l1:x=2s+1,y=s(s为参数)和直线l2:x=at,y=2t-1(t为参数)平行,则常
4、数a的值为.解析l1的普通方程为x=2y+1,l2的普通方程为x=ay+12,即x=a2y+a2,因为l1l2,所以2=a2,故a=4.答案414.设P(x,y)是圆C:(x-2)2+y2=4上的动点,记以射线Ox为始边、以射线OP为终边的最小正角为,则以为参数的圆C的参数方程为.解析圆C的圆心坐标为(2,0),半径为2,如图,由圆的性质知以射线Cx为始边、以射线CP为终边的最小正角为2,所以圆C的参数方程为x=2+2cos2,y=2sin2(为参数).答案x=2+2cos2,y=2sin2(为参数)15.在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为
5、cos =4的直线与曲线x=t2,y=t3(t为参数)相交于A,B两点,则|AB|=.解析将极坐标方程cos =4化为直角坐标方程是x=4,而由曲线的参数方程消参得x3=y2,所以y2=43=64,即y=8.所以|AB|=|8-(-8)|=16.答案1616.若直线x=tcos,y=tsin(t为参数)与圆x=4+2cos,y=2sin(为参数)相切,则此直线的倾斜角=.解析将直线的参数方程化为普通方程为y=xtan ,圆(x-4)2+y2=4,如图所示,sin =24=12,则=6或=56.答案6或56三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17
6、.(本小题满分10分)把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线:(1)x=7cos,y=4sin(为参数);(2)x=1-5t,y=7t(t为参数).解(1)因为x=7cos,y=4sin,所以x7=cos,y4=sin.两边平方相加,得x249+y216=cos2+sin2=1,故所求的普通方程为x249+y216=1,它表示焦点在x轴上,且长轴长为14,短轴长为8,中心在原点的椭圆.(2)因为x=1-5t,y=7t,所以将t=y7代入x=1-5t,得x=1-5y7,即7x+5y-7=0.故所求的普通方程为7x+5y-7=0,它表示过0,75和(1,0)的一条直线.18.(本小题
7、满分12分)已知直线l1的方程为x=1+t,y=-5+3t (t为参数),直线l2的方程为x-y-23=0.求直线l1和直线l2的交点P的坐标及点P与点Q(23,-5)间的距离.解将x=1+t,y=-5+3t代入x-y-23=0,得t=23,点P的坐标为(1+23,1).又点Q为(23,-5),|PQ|=12+62=37.19.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为x=1+3cost,y=-2+3sint(t为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,直线l的方程为2sin-4=m(mR).(1)求圆C的普通
8、方程及直线l的直角坐标方程;(2)设圆心C到直线l的距离等于2,求m的值.解(1)消去参数t,得圆C的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=9.由2sin-4=m,得sin -cos -m=0.所以直线l的直角坐标方程为x-y+m=0.(2)依题意,圆心C到直线l的距离等于2,即|1-(-2)+m|2=2,解得m=-322.20.(本小题满分12分)已知在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为x=3+2cos,y=-4+2sin(为参数).(1)以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求圆C的极坐标方程;(2)若A(-2,0),B(0,2),圆C上任意一点M(x,y),求ABM面积的最
9、大值.解(1)因为圆C的参数方程为x=3+2cos,y=-4+2sin(为参数),所以其普通方程为(x-3)2+(y+4)2=4.将x=cos ,y=sin 代入,得(cos -3)2+(sin +4)2=4,化简得2-6cos +8sin +21=0.故圆C的极坐标方程为2-6cos +8sin +21=0.(2)由题意知直线AB的方程为x-y+2=0,点M(x,y)到直线AB:x-y+2=0的距离d=|2cos-2sin+9|2,ABM的面积S=12|AB|d=|2cos -2sin +9|=22sin4-+9.所以ABM面积的最大值为9+22.21.导学号73574067(本小题满分12
10、分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1:x=tcos,y=tsin(t为参数,t0),其中 0.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=2sin ,C3:=23cos .(1)求C2与C3交点的直角坐标;(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.解(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-23x=0.联立x2+y2-2y=0,x2+y2-23x=0,解得x=0,y=0或x=32,y=32.所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和32,32.(2)曲线C1的极坐标方程为=(R,0),其中0.因此点A的极
11、坐标为(2sin ,),点B的极坐标为(23cos ,).所以|AB|=|2sin -23cos |=4sin-3.当=56时,|AB|取得最大值,且最大值为4.22.导学号73574068(本小题满分12分)已知曲线C1的参数方程是x=2cos,y=3sin(为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是=2.正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为2,3.(1)求点A,B,C,D的直角坐标;(2)设P为C1上的任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.解(1)由已知可得A,B,C,D的直角坐标分别为A2cos3,2sin3,B2cos3+2,2sin3+2,C2cos3+,2sin3+,D2cos3+32,2sin3+32,即A(1,3),B(-3,1),C(-1,-3),D(3,-1).(2)设P(2cos ,3sin ),令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,则S=16cos2+36sin2+16=32+20sin2.因为0sin21,所以S的取值范围是32,52.8