[工学]数值分析考试题.doc

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1、数值分析试题 院系,专业： 分数：姓名,学号： 日期：2005.1. 注：计算题取小数点后四位。一、 填空题(每小题3分，共15分) 1. 若是三次样条函数，则a=_,b=_,c=_.2. 以n + 1个 整 数 点k ( k =0,1,2,n) 为 节 点 的 Lagrange 插 值 基 函 数 为lk(x)( k =0,1,2,n)，则 3. 序列满足递推关系：，若有误差, 这个计算过程是否稳定？_. 4. 5. 下面Matlab程序所描述的数学表达式为 for j = 1 : n for i = 1 : m y ( i ) = A ( i , j )x ( j ) + y( i ) e

2、nd end二、 简单计算题(每小题6分，共18分) 1. 已知矩阵，求Givens 变换阵G 使GAGT 为三对角阵。（不用计算GAGT）2.设，求3.确定数值求积公式的代数精度.三、 (12分)已知矩阵， 用施密特正交化方法求矩阵A的正交分解，即A=QR.四、(10分) 应用Lagrange插值基函数法，求满足下面插值条件的 Hermite 插值多项式。五、 (10分)设三阶连续可导，试推导如下数值微分公式的截断误差 六、(10分)利用求积公式 七、(15分) 用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线，使之拟合下列数据 并求最小二乘拟合误差。八、(10分) 数值分析答案一、 填空题(每小题3

3、分，共15分)1. a= 3 , b= 3 , c= 0 . 2. 3. 不稳定 4. 5. 二、 简单计算题(每小题6分，共18分) 2. 3. 代数精度为2。五、 (10分)六、(10分)七、(15分)数值分析试题(A)院系,专业： 分数：姓名,学号： 日期：2005.6.29. 注：计算题取小数点后5位。一、 填空题(每空3分，共15分) 1. 形如的插值型求积公式，其代数精度至少可达次，至多可达次。2以n + 1个 整 数 点k ( k =1,2,n，n+1) 为 节 点 的 Lagrange 插 值 基 函 数 为lk(x)( k =1,2,n,n+1)，则 3. 4. 下面Matl

4、ab程序所描述的数学表达式为 for j = 1 : n - 1 b ( j ) = b ( j ) / L ( j , j );b ( j + 1 : n ) = b ( j + 1 : n ) - b ( j ) * L ( j + 1 :n, j ) ; end b ( n ) = b ( n ) / L ( n ,n );二、 简单计算题(每小题6分，共18分) 1. 已知矩阵，求Householder 变换阵H 使HAH 为三对角阵。（不用计算HAH）2. 设，求3. 设，求A的LU分解。三、 (12分) 四、(12分) 应用Lagrange插值基函数法，求满足下面插值条件的 Her

5、mite 插值多项式,并写出截断误差。五、(12分)设线性方程组为 (1) 写出用SOR迭代法求解此方程组的分量计算格式；(2) 当取时，SOR迭代法是否收敛，为什么？(3) 当取时，SOR迭代法是否收敛，为什么？ 六、(12分)已知高斯求积公式 将区间0,1二等分，用复化高斯求积法求定积分的近似值。七、(12分)用最小二乘法确定一条经过点(-1,0)的二次曲线，使之拟合下列数据数值分析答案一、 填空题(每空3分，共15分)1. n , 2n+1 . 2. 3. 4. 二、 简单计算题(每小题6分，共18分)2. ，3. 六、（12分）数值分析试题(A) 院系： 专业： 分数：姓名： 学号 日

6、期：2006.1.5。 注：计算题取小数点后四位。一、 填空题(每小题3分，共15分) 2. 已知x=62.1341是由准确数a经四舍五入得到的a的近似值，试给出x的绝对误差界_.3. 已知矩阵，则A的奇异值为 3. 设x和y的相对误差均为0.001，则xy的相对误差约为_. 4. 5. 下面Matlab程序所描述的数学表达式为a=10,3,4,6;t=1/(x-1);n=length(a) 二、(10分)设。（1）写出解的迭代格式；（2）证明此迭代格式是线性收敛的。三、 (15分)已知矛盾方程组Ax=b，其中，（1）用Householder方法求矩阵A的正交分解，即A=QR。（2）用此正交分

7、解求矛盾方程组Ax=b的最小二乘解。 四、(15分) 给出数据点： （1）用构造三次Newton插值多项式，并计算的近似值。（2）用事后误差估计方法估计的误差。五、(15分) （1）设是定义于-1，1上关于权函数的首项系数为1的正交多项式组，若已知，试求出。 （2）利用正交多项式组，求在上的二次最佳平方逼近多项式。六、(15分) 设是的以为插值节点的一次插值多项式，试由导出求积分的一个插值型求积公式，并推导此求积公式的截断误差。七、(15分) 已知求解线性方程组Ax=b的分量迭代格式（1）试导出其矩阵迭代格式及迭代矩阵；（2）证明当A是严格对角占优阵，时此迭代格式收敛。数值分析答案三、 填空题

8、(每小题3分，共15分)1. . 2. 3. 0.002 4. 120 5. 二、（10分) 解：（1）因，故。由迭代公式：得 （2）上述迭代格式对应的迭代函数为，于是，又，则有且，故此迭代格式是线性收敛的。五、(15分) （1）设 则利用和的正交性得 故 （2）首先做变量代换，将区间从变换到-1，1，则 对，取，有 所以 故在上的二次最佳平方逼近多项式。六、(15分) 数值分析试题院系： 专业： 分数：姓名： 学号： 日期：2006.5.27一、 填空题(每空2分，共20分) 1设，则A的奇异值 2. 已知是用极小化插值法得到的sinx在上的二次插值多项式，则的截断误差上界为. 3. 设和节

9、点则 和. 4如下两种计算近似值的方法中哪种方法能够提供较好的近似。方法1： 方法2：5. 已知是非线性方程f(x)=0的二重根，试构造至少二阶收敛的迭代格式.6给出求解线性方程组 的收敛的Jacobi迭代格式（分量形式）及相应的迭代矩阵。7. 解线性方程组Ax=b的简单迭代格式收敛的充要条件是8. 下面Matlab程序所解决的数学问题为 function x=fun(A,b)n=length(b);x=zeros(n,1);x(n)=b(n)/A(n,n);for i=n-1:-1:1 x(i)=(b(i)-A(i,i+1:n)* x(i+1:n)/A(i,i);end二、(15分) 已知方

10、程组Ax=b，即有解=（2，0）T，(1) 求；(2) 求右端项有小扰动的方程组的解；(3) 计算和，结果说明了什么问题。三、(15分) 已知函数值表 在函数空间中求最佳平方逼近多项式，并估计误差。（注：取小数点后四位）四、(15分) 已知函数值表 用二次多项式计算x=0.26时函数的较好近似值,并估计误差.五、(15分) （1）求0，1区间上关于权函数的首项系数为1的正交多项式 。 （2）构造带权的高斯型求积公式(3) 导出此高斯型求积公式的截断误差。六、(10分)已知近似数x=10的绝对误差限为0.05,试求函数的相对误差限.七、(10分) 用Householder方法求矩阵的正交分解，即

11、A=QR。数值分析答案一、 填空题(每空2分，共20分)1. 3 . 2. 3. 和 4. 方法2 5. 6。Jacobi迭代格式迭代矩阵 7. 8解上三角形方程组Ax=b二、 (15分)(1) (2) (3) 和虽然方程组右端项扰动的相对误差仅为0.005%，然而此小扰动引起解的相对误差却高达50%，这是由于”系数矩阵的条件数比较大,方程组是病态的”,从而导致上述结果.三、(15分)四、(15分)(1)建立如下差商表 (2) 五、 (15分) (1)由首正交多项式的构造公式，可得，, (2) (3) Gauss型求积公式的截断误差为六、(10分) n=20七、(10分) 中国石油大学（北京）

12、2006-2007学年第一学期研究生期末考试试题A (闭卷考试)课程名称：数值分析 所有试题答案写在答题纸上，答案写在试卷上无效 注：计算题取小数点后四位题号一二三四五六七总分得分一、填空题(每空2分，共20分) (1) 设为真值的近似，则有 位有效数字。(2) 设数据的绝对误差分别为0.0005和0.0002，那么的绝对误差约为 _ _。(3) 设则差商。(4) 设求积公式是Gauss型求积公式，则 。(5) 设,则= 。(6) 数值微分公式的截断误差为 。(7) 是以为节点的拉格朗日插值基函数，则 。(8) 利用两点Gauss求积公式，则 。（9）解初值问题 的改进的欧拉法是 阶方法。(1

13、0) 下面Matlab程序所求解的数学问题是 。 （输入A , b , 输出X） X=zeros(n,1);X(n)=b(n)/A(n,n);for i=n-1:-1:1 X(i)=(b(i)-A(i,i+1:n)* X(i+1:n)/A(i,i);end二、(15分) 已知函数值表 （1）用构造二次Newton插值多项式，计算当时的近似值；（2）用事后误差估计方法估计的误差。三、（10分）试建立下述形式的求积公式，并确定它的代数精度。四、（15分） 已知数据表如下 ， （1）构造关于点集和权的正交函数组（2）利用拟合已知数据点，并求最小二乘拟合误差。五、(15分) 设线性方程组为 ，（1）写

14、出解此方程组的雅可比迭代格式和高斯-赛德尔迭代格式（分量形式）；（2）证明用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解此方程组要么同时收敛，要么同时发散；（3）当同时收敛时试比较其收敛速度。 六、(10分) （1）证明对任何初值 ，由迭代公式所产生的序列都收敛于方程的根。（2）写出求方程根的牛顿迭代格式。七、(15分)已知矛盾方程组Ax=b，其中，（1）用Householder方法求矩阵A的正交分解，即A=QR。（2）用此正交分解求矛盾方程组Ax=b的最小二乘解。数值分析试卷A答案三、 填空题(每空2分，共20分)（1） 5 （2）0.0007 （3）4 （4）1/4 （5） 2 （6） （7） （8

15、） （9） 2 （10） 解上三角形方程组二、 (15分) (1)建立如下差商表 （4分） 三、解：令公式对都准确成立，则有 (4分)解之可得，故所求积分公式为 (4分)当时，左边=，右边=右边左边，所以原公式只具有3次代数精度。 (2分)四、解：（1）首先构造构造关于点集和权的首一正交多项式 显然，设， 则由 得a=0，故有 。 由 和得 ，即 因此，。(5分)（2）设，则 (5分) (5分)五、(15分) (1) 雅可比迭代格式高斯-赛德尔迭代格式 (6分)(2) 雅可比迭代矩阵高斯-赛德尔迭代矩阵所以雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法要么同时收敛，要么同时发散； (6分)（3）雅可比迭代法

16、和高斯-赛德尔迭代法同时收敛，由于，所以高斯-赛德尔迭代法比雅可比迭代法收敛快。 (3分)六、(10分) 记，则。（1）先考虑区间-1，1，当时， ， 。故对任意初值，由迭代公式产生的序列 都收敛于方程 的根。 (2分)（2）对任意初值，有，将此看成新的迭代初值，则由（1）可知，由迭代公式产生的序列 都收敛于方程 的根。(3分)（3）牛顿迭代公式 (5分)七、(15分) (10分) 中国石油大学（北京）2007-2008学年第一学期研究生期末考试试题A (闭卷考试)课程名称：数值分析 注：计算题取小数点后四位一、填空题(每空3分，共24分) (1) 设，则A的奇异值为 。(2) 设为真值的近似

17、值，则有 位有效数字。(3) 设数据的绝对误差为0.002，那么的绝对误差约为 _ _。(4) 是以为节点的拉格朗日插值基函数，则 。(5) 插值型求积公式的求积系数之和 。 其中为权函数，。（6）已知，求Householder阵H使，其中。H= 。(7) 数值求积公式的代数精度为。(8) 下面Matlab程序所求解的数学问题是 。（输入向量x , 输出S） x=input(输入x：x=); n=length(x); S=x (1); for i=2:n if x (i)S，S=x (i);else,continue;end end S二、(12分) （1）证明对任何初值 ，由迭代公式所产生的

18、序列都收敛于方程的根。（2）证明它具有线性收敛性。三、（12分）（1）用辛浦生公式计算积分的近似值；（2）若用复化辛浦生公式计算积分，问至少应将区间0，4多少等分才能保证计算结果有五位有效数字？四、（12分） 已知数据表 （1）构造关于点集和权的正交函数组；（2）利用拟合已知数据点，并求最小二乘拟合误差。五、(12分) 利用Gauss变换阵，求矩阵的LU分解。（要求写出分解过程） 六、(10分) 已知求解线性方程组Ax=b的分量迭代格式（1）试导出其矩阵迭代格式及迭代矩阵；（2）证明当A是严格对角占优阵，时此迭代格式收敛。七、(10分) 用插值极小化方法求 在1，2上的二次插值多项式，并在1，

19、2上估计误差。(已知Chebyshev多项式的三个零点)八、(8分)已知求解常微分方程初值问题 的数值格式为 问此数值格式是几阶格式？中国石油大学（北京）2007 -2008 学年第 一 学期研究生期末考试试题标准答案A (闭卷考试)课程名称: 数值分析 四、 填空题(每空3分，共24分)（1） 3 （2）3 （3）0.006 （4） （5） （6） （7）3 （8）求向量x的最小值二、(12分) 记，则。（1）先考虑区间3，5，当时， ， 。故对任意初值，由迭代公式产生的序列 都收敛于方程 的根。 (6分)（2）对任意初值，有，将此看成新的迭代初值，则由（1）可知，由迭代公式产生的序列 都收

20、敛于方程 的根。(2分)（3） (4分) 此格式线性收敛性 三、（12分）（1） (5分) （2） (5分) 至少将区间0，4 15等分才能保证计算结果有五位有效数字. (2分)四、（12分）（1）首先构造关于点集和权的首一正交多项式 显然，设， 由正交得故有 。 (4分) （2）设，则 (4分) (4分)五、(12分) (3分) (3分) (3分) (3分)六、(10分) (1) (6分) (4分)七、(10分) 已知Chebyshev多项式的三个零点,作变量代换,得三个插值节点 构造差商表 一阶差商 二阶差商 牛顿插值多项式 ( 6分) ( 4分)八、(8分) 中国石油大学（北京）2008

21、-2009学年第一学期研究生期末考试试题A (闭卷考试)课程名称：数值分析 所有试题答案写在答题纸上，答案写在试卷上无效 题号一二三四五六七八总分得分注：计算题取小数点后四位一、填空题（共30分，每空3分）1、已知是互异节点，是对应节点的Lagrange插值基函数， 是任意一个首项系数为1的次多项式，则= 。2、设分段多项式 是以为节点的三次样条函数，则 ， 。3、如果是正交矩阵，则= 。4、用x = 3.141作为的近似值，则x有 位有效数字，其绝对误差限为 。5、数值积分公式是否为插值型求积公式： ，其代数精度为 。6、下列matlab程序中s2计算的是 ，并指明s1与s2的区别为 。其中

22、：。 t=0;s2=1e14;for i=1:1e6 temp= 1/(1e3+i); t=t+temp; s2=s2+temp;ends1= t+1e14;二、（8分）已知函数表0121011试利用重节点Newton差商构造满足插值条件 的三次多项式。（要求构造出差商表）三、（8分）已知向量，试构造Householder变换阵，使，其中。四、（12分）已知勒让德（Legendre）正交多项式，试利用勒让德正交多项式在二次多项式类中求一个多项式，使其成为上的最佳平方逼近函数，并计算出平方误差。五、（10分）写出求解线性代数方程组 的Gauss-Seidel迭代格式，并分析此格式的敛散性。六、（

23、12分）用追赶法求解三对角方程组。（要求写出LU分解的具体计算过程）七、（12分）给出计算的迭代格式，讨论迭代格式的收敛性,并证明。八、（8分）求解常微分方程初值问题的改进欧拉公式是几阶方法？其中为常数，。中国石油大学（北京）2008-2009学年第一学期研究生期末考试试题标准答案A (闭卷考试)课程名称：数值分析题号一二三四五六七八总分得分一、（30分） 1、； 2、； 3、1；4、3，； 5、 是， 1；6、计算的值，其中，s2会产生大数吃小数的问题。二、（8分）构造差商表：一阶二阶三阶0110-110122110-1 （5分）所以插值多项式 （3分）三、（8分）方法1：故取。 （3分）

24、（3分） （2分）方法2： 取， （3分） （3分） （2分）四、（12分）,设 （3分） 即：解得： （3分） （3分） （3分）五、（10分）方程组的Gauss-Seidel迭代格式为 (5分)其迭代矩阵为 （3分）其特征方程为解之得谱半径，故迭代发散。 （2分）六、（12分）方法1： ， ， 方法2： （8分） （2分）（2分）七、（12分）由题意可得出其迭代格式为 （3分） 当时，所以迭代格式是收敛的。 （6分）由可得，解得：其中舍去。可得即解得 （3分）八、（8分）假定将改进欧拉公式写成：则在处的Taylor展式为 （3分）另一方面，依Taylor公式 （3分）因此有 所以改进欧拉公

25、式是二阶方法。 （2分）数值分析考试试题 所有试题答案写在答题纸上，答案写在试卷上无效 题号一二三四五六七八总分得分注：计算题取小数点后四位一、填空题（共30分，每空3分）1、已知是互异节点，是对应节点的Lagrange插值基函数， 是任意一个首项系数为1的次多项式，则= 。2、设分段多项式 是以为节点的三次样条函数，则 ， 。3、如果是正交矩阵，则= 。4、用x = 3.141作为的近似值，则x有 位有效数字，其绝对误差限为 。5、数值积分公式是否为插值型求积公式： ，其代数精度为 。6、求解常微分方程初值问题的改进欧拉公式 是 阶方法。其中为常数，。二、(15分) 给出数据点： （1）用构

26、造三次Newton插值多项式，并计算的近似值。（2）用事后误差估计方法估计的误差。三、（10分）已知向量，试构造Householder变换阵，使，其中。四、（12分）已知勒让德（Legendre）正交多项式，试利用勒让德正交多项式在二次多项式类中求一个多项式，使其成为上的最佳平方逼近函数，并计算出平方误差。五、（10分）写出求解线性代数方程组 的Gauss-Seidel迭代格式，并分析此格式的敛散性。六、（12分）用追赶法求解三对角方程组。（要求写出LU分解的具体计算过程）七、（12分）给出计算的迭代格式，讨论迭代格式的收敛性,并证明。数值分析试题标准答案一、（30分） 1、； 2、； 3、1

27、；4、3，； 5、 是， 1；6、计算的值，其中，s2会产生大数吃小数的问题。二、（8分）构造差商表：一阶二阶三阶0110-110122110-1 （5分）所以插值多项式 （3分）三、（8分）方法1：故取。 （3分） （3分） （2分）方法2： 取， （3分） （3分） （2分）四、（12分）,设 （3分） 即：解得： （3分） （3分） （3分）五、（10分）方程组的Gauss-Seidel迭代格式为 (5分)其迭代矩阵为 （3分）其特征方程为解之得谱半径，故迭代发散。 （2分）六、（12分）方法1： ， ， 方法2： （8分） （2分）（2分）七、（12分）由题意可得出其迭代格式为 （3分） 当时，所以迭代格式是收敛的。 （6分）由可得，解得：其中舍去。可得即解得 （3分）八、（8分）假定将改进欧拉公式写成：则在处的Taylor展式为 （3分）另一方面，依Taylor公式 （3分）因此有 所以改进欧拉公式是二阶方法。 （2分）