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1、高等数学习题课 （1）,函数极限与连续性 许志成 制作,第一课 函数极限与连续,目的要求 1. 理解极限概念，无穷小、无穷大概念及其关系 2. 熟悉两重要极限，掌握求极限的一般方法； 3. 掌握函数连续与间断的定义，能熟练判断函数 的连续和间断点的类型； 4. 了解闭区间上连续函数的性质，并利用这些性 质解决一些问题。,内容要点 极限概念,极限的性质,（1） 收敛的数列必然有界，有界是收敛的必要条件；,极限运算法则,4.极限存在准则,函数连续的定义,连续函数的性质 有限个连续函数的和、差、积、商（分母不为零），仍为连续函数； 单值单调连续函数的反函数在对应区间上也为单值单调的连续函数； 连续函
2、数的复合函数也是连续函数； 一切初等函数在其定义区间内都是连续函数。 闭区间上连续函数的性质 最值定理： 设f(x)在a,b上连续，则f(x)在a,b上必能取得最大值和最小值。 有界性定理： 闭区间上的连续函数必有界。 介值定理： 设f(x)在a,b上连续，且f(a)f(b),则对任意介于f(a)与f(b)之间的数C,必存在一个 (a,b),使得 f()=C 。,课堂训练题,1. 求数列极限,2. 求下列极限,例3. 设函数,在 x = 0 连续 , 则 a = , b = .,提示:,有无穷间断点,及可去间断点,解:,为无穷间断点,所以,为可去间断点 ,极限存在,例4. 设函数,试确定常数 a 及 b .,例8. 设 f (x) 定义在区间,上 , 若 f (x) 在,连续,提示:,且对任意实数,证明 f (x) 对一切 x 都连续 .,证:,P73 题5. 证明: 若,令,则给定,当,时,有,又,根据有界性定理, 使,取,则,在,内连续,存在, 则,必在,内有界.,1.(1) 解：,1.(2)解：,2.(1)解：,(2)解：,(3)解：,(4)解：,(5)解：,