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1、 数学分析续论 模拟试题及答案 电大考试电大小抄电大复习资料 一、单项选择题（ ）56 （）设 为单调数列，若存在一收敛子列 ，这时有 najna ； 不一定收敛； 不一定有界；jnjalimli na 当且仅当预先假设了 为有界数列时，才有成立n （）设 在 R 上为一连续函数，则有 )(xf 当 为开区间时 必为开区间； 当 为闭区间时 必为闭区间；I)(If )(IfI 当 为开区间时 必为开区间； 以上 、都不一定成立)(IfI （）设 在某去心邻域 内可导这时有 x)(0xU 若 存在，则 ；若 在 连续，则 A 成立；Af)(lim0 Af f0x 若 存在，则 ；以上 、都不一定
2、成xf)( xf)(lim0 立 （）设 在 上可积，则有 . )(f,ba 在 上必定连续； 在 上至多只有有限个间断点；x )(xf,ba 的间断点不能处处稠密； 在 上的连续点必定处处稠)(f )(f, 密 （）设 为一正项级数这时有 1nu 若 ,则 收敛； 若 收敛，则 ；0lim 1nu1nu1limnu C若 收敛，则 ； 以上、都不一定成立 1nu1limnu 二、计算题（ ）401 （）试求下列极限： ； nnn3)12(1lim xttx02limde （）设 xyufuyxarctne)(,21, 20 试求 )()(0fuf与 （）试求由曲线 ，直线 ，以及二坐标轴所围
3、曲12xy2x 边梯形的面积 S （）用条件极值方法（Lagrange 乘数法）导出从固定点 到直线),(0yx 的距离计算公式0CyBxA 三、证明题（ ）31 （）设 在 上都连续试证：若)(xgf与 ,ba ，)(,)(bgfgf 则必存在 ，满足 ),(0bax0x （）证明 在其定义域上为一严格凸函数，并导出不等式：xfln ,cba cba3 其中 均为正数( 提示：利用詹森不等式)cba, （） 证明： 0412)(n 解 答 一、 答 （）； （）； （）； （）； （） 二、 解 （） ；3lim3)12(1limnnn .02limd2lilideli 22000 xxxt
4、xxtxxttx eee （） 514)(,2e)( 02ufyxyxuf （）所围曲边梯形如右图所示其面积为 .21)3(01)(02xxSdd 12xyO 1 2 x （）由题意，所求距离的平方（ ）为 的最小值，其中2d2020)()(yx 需满足 ，故此为一条件极小值问题),(yx0CByAx 依据 Lagrange 乘数法，设 ，)()()(2020 CByAxyxL 并令 （） .0,)(2CyBxALy 由方程组（）可依次解出： .202020 20220200)()( ,)()(4,2 ,)(, BACyxyxdBACyxBACx 最后结果就是所求距离 的计算公式 注 上面的求
5、解过程是由（）求出 后直接得到 ，而不再去算出 的值，dyx与 这是一种目标明确而又简捷的解法 三、 证 （）只需引入辅助函数： )()(xgfxh 易知 在 上连续，满足 ，故由介值性定理（或根的存在定)(xh,ba0,ba 理） ，必存在 ，满足 ，即 )(0)(0xh)()(xf （） 的定义域为 ，在其上满足：xfln)(),( ，),0(,1,1l xxff 所以 为一严格凸函数根据詹森不等式，对任何正数 ，恒有)(xf cba, .)(ln)3(ln )lnl31cbacbacba 最后借助函数 的严格递增性，便证得不等式xl cba cba3 （）由于较难直接求出该级数的部分和，
6、因此无法利用部分和的极限来计算级数的 和此时可以考虑把该级数的和看作幂级数 在 处的值，)(xS 012)(nnx 于是问题转为计算 )(xS 不难知道上述幂级数的收敛域为 ，经逐项求导得到1, ；1,)()(02 xxSnn 这已是一个几何级数，其和为 1,1)()(202xxSn 再通过两边求积分，还原得 xx xttSxS020 ,arcn1)()( dd 由于这里的 ，于是求得0)( 041arctn)(12)(nS assume, he will slowly step out onto something resembling an Olympic diving platform.
7、 Below, the Earth becomes the concrete bottom of a swimming pool that he wants to land on, but not too hard. Still, hell be traveling fast, so despite the distance, it will not be like diving into the deep end of a pool. It will be like he is diving into the shallow end. Skydiver preps for the big j
8、ump When he jumps, he is expected to reach the speed of sound - 690 mph (1,110 kph) - in less than 40 seconds. Like hitting the top of the water, he will begin to slow as he approaches the more dense air closer to Earth. But this will not be enough to stop him completely. If he goes too fast or spin
9、s out of control, he has a stabilization parachute that can be deployed to slow him down. His team hopes its not needed. Instead, he plans to deploy his 270-square-foot (25-square-meter) main chute at an altitude of around 5,000 feet (1,524 meters). In order to deploy this chute successfully, he wil
10、l have to slow to 172 mph (277 kph). He will have a reserve parachute that will open automatically if he loses consciousness at mach speeds. Even if everything goes as planned, it wont. Baumgartner still will free fall at a speed that would cause you and me to pass out, and no parachute is guaranteed to work higher than 25,000 feet (7,620 meters). cause there