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1、第二十八讲 常用逻辑用语,一、引言,1.在近几年高考中，命题的真假识别与命题等价、四种命题的关系以及充分条件、必要条件是高考试题中的常考内容 2.考纲要求 了解命题及其逆命题、否命题、逆否命题；理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系，能写出一个命题的其,他三个命题，并判断真假；了解逻辑联结词的含义，理解全称量词和存在量词的意义，并会判断全称命题和特称命题的真假；能对含有一个量词的命题进行否定 3.考情分析 本专题内容在2010年高考试题中仍以充要条件的判断、四种命题的关系及等价性，命题真假判断为重点，兼顾命题的否定考查命题转化、逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力，
2、可以与其它数学内容综合，其命题形式多样，有选择题、填空题、也可以出现在综合题中,二、考点梳理 1命题：一般地，把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题 四种命题： (1)一般地，用p和q分别表示命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是：,原命题：若p，则q； 逆命题：若q，则p； 否命题：若p，则q； 逆否命题：若q，则p (2) 四种命题的关系：,互为逆否的两个命题同真假.,3充要条件： 从逻辑观点上，关于充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件的判定在于区分命题的条
3、件p与q结论之间的关系 若 ,则p是q的充分条件，q是p必要条件； 若 且qp,则p是q成立的充分不必要条件； 若 且pq,则p是q成立的必要不充分条件； 若 且 ，即 ，则p是q成立的充要条件；,若pq且qp，则p是q成立的既不充分也不必要条件 从集合的观点上，关于充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件的判定在于判断p、q相应的集合关系 建立与p、q相应的集合，即 成立 ， 成立 若 ，则p是q的充分条件，若A B，则p是q成立的充分不必要条件；,若 ,则p是q的必要条件，若B A，则p是q成立的必要不充分条件； 若A=B，则p是q成立的充要条件； 若A B且B
4、A，则p是q成立的既不充分也不必要条件,简单的逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫逻辑联结词 p或q，记作 ，含义是：p、q两个命题中至少有一个成立； p且q,记作 ,含义是:p、q两个命题同时成立; 非p，记作p，含义是：对命题p的否定 (注：命题的否定与否命题是两个不同概念),真值表：,含有一个量词的命题的否定 一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论： 全称命题P： ,它的否定P： ， 特称命题p： ， ,它的否定P： ,三、典型例题选讲 例 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假 （1）已知a，b，c为实数,若ac0,则 有两个不相等的实数根；,（
5、2）两条平行线不相交； （3）若 ，则x，y全为零,分析：写出一个命题的四种命题形式，关键是分清命题的条件与结论，把命题写成“如果那么”的形式，再根据四种命题的定义写出其他三种命题即可,解：（1）原命题是真命题； 逆命题：若 有两个不相等的实数根，则ac0，（假）； 否命题：若ac0 ，则 没有两个不相等的实数根，（假）； 逆否命题：若 没有两个不相等的实数根，则 ac0 ，（真）,（2）原命题形式可写成：若两条直线平行， 则它们不相交，（真）； 逆命题：若两条直线不相交，则它们平行，（假）； 否命题：若两条直线不平行，则它们相交，（假）； 逆否命题：若两条直线相交，则它们不平行，（真）,（3
6、）原命题是真命题； 逆命题：若x，y全为零，则 ，（真）； 否命题：若 ，则x，y不全为零，（真）； 逆否命题：若x，y不全为零，则 ，（真）,归纳小结：(1)本题考查了命题的四种形式，并能进行真假判断，强化对知识运用的灵活性,(2)要注意四种命题之间的等价关系，即原命题与逆否命题等价，否命题与逆命题等价在判断一个命题是真命题时，要严格按照数学逻辑进行推理证明，而要说明它是假命题时，只需要举出一个反例即可 (3)在否定条件或结论时，要注意否定词语的使用常见否定词语有：,不等式 的解集是 或 ； ； 方程 没有实数根,分析：根据命题中出现的逻辑联结词或隐含的逻辑联结词，进行命题结构的判断，其中解
7、题的关键是正确理解逻辑联结词“且”、“或”、“非”的含义,例 说明下列命题形式，指出构成它们的简单命题：矩形的对角线垂直平分；,解：这个命题是“ ”的形式，其中p:矩形的对角线互相垂直，q:矩形的对角线互相平分 这个命题是“ ”的形式，其中p:不等式 的解集是， , q：不等式 的解集是或 这个命题是“ ”的形式，其中p：43，q：4=3 这个命题是“p”的形式，其中p:方程 有实数根,归纳小结：本题考查了含有逻辑联结词的命题结构，要求能正确理解逻辑联结词，并找出隐含的逻辑联结词，能根据命题形式分析问题、解决问题 把简单命题合成为复合命题或把复合命题分解为两个简单命题并判断其真假是本节的重点之
8、一，关键在于理解逻辑联结词的含义熟悉真值表可以加快对含有逻辑联结词的命题的真假判断 逻辑联结词中的“或”、“且”、“非”与日常用语中的“或”、“且”、“非”的意义是不完全相同的如逻辑词中的“或”含有可以兼有之意，而生活中的“或”一般不可兼有的意思,例 （2008广东）已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ） A B C D,分析：本题只需要判断出命题p和q命题的真假，根据真值表进行判断即可 解：由题意可以判断命题是p真命题，命题q是假命题，所以命题 是假命题，命题 是真命题只有 是真命题，故选D,归纳小结：（）本题考查了命题的真假判断和真值表的
9、使用，考查了逻辑判断的思辩能力和推理能力；,（）命题 的真假判断是“一真就真，全假为假”；命题 的真假判断是“一假就假，全真为真”；命题p与p的真假相反.,分析：简易逻辑中充要条件的判断前提是先明确条件与结论，即弄清楚哪个是条件，哪个是结论，再根据条件分析出推式的关系，从而利用定义和推式得到结论,解：当 时, 即 反之，当 时，有 即qp,综上所述，“ ”是“ ”的充分不必要条件，故选A,例（2008福建)设集合 , ,那么“ ”是“ ”的（ ）,A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件,分析：本题条件与结论的形式都是集合形式，只要理清集合之间的关系，按照充要条件
10、与集合的对应关系即可作出判断,解： ，故选A,A B,归纳小结：（1）本题考查了充要条件的定义，这是高考试题题型的常见形式之一，可与其他考查内容综合同时还考查了数学转化思想、合情推理能力,(2）充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件反映了条件和结论之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，要注意以下几点：确定问题的条件和结论；尝试从条件推结论，结论推条件；确定条件是结论,的什么条件也可以从命题体现的集合运算关系，判断出命题间的条件,在从条件推结论，结论推条件时，可以利用学过的定理、定义和公式直接做逻辑判断，或利用数轴或Venn图分析两个集合的关系判断出“ ”和 “
11、”的真假,例（2007湖北）已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件现有下列命题：s是q的充要条件；p是q的充分条件而不是必要条件；r是q的必要条件而不是充分条件; 是 的必要条件而不是充分条件；r是s的充分条件而不是必要条件，则正确命题序号是（ ） A. B. C. D.,分析：本题命题及其关系较多，如果直接解决则比较麻烦，可以用符号“ ”、“ ”等符号表示，简化题意，解决方便 解：由题意可知： ，且rp， 所以 ，正确: ，且pq，正确； ，不正确； ，且sp，正确； ,不正确,故选B,归纳小结：（）本题考查了充分条件、必要条件、充要条件的概
12、念及命题之间关系的转化，逆否命题的等价性，考查了逻辑思辩能力,和转化思想 （）在命题之间的充分条件、必要条件、充要条件的推导过程中，使用符号语言可以简化过程，降低思维量,例 已知命题p： ， 命题q： ，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围,解：记 ， . p是q的充分不必要条件， q是p的充分不必要条件，即B A. 解得 .,所以实数的取值范围是 ,归纳小结：(1)本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，考查了转化思想的运用，强调了知识点运用的灵活性 (2) 对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题的难点，在
13、判断或利用两个命题的充要条件时，可以利用它们的等价式，即将命题转化为另一个等价形式的命题，一般可以利用逆否命题的等价形式：,若 q，即 ，则 是 的必要条件， 是 的充分条件； 若 ，且qp，即 ，且pq，则 是 的必要不充分条件； 若q p，且pq，即 ，且qp，则 是 的充分不必要条件； 若 q，即 q，则 互为充要条件； 若pq，且qp，即qp，且pq，则 是 的既不充分也不必要条件,例（2009年海南、宁夏）有四个关于三角函数的命题： P1： ， . P2： 、 ， . P3： ， . P4： . 其中是假命题的有（ ） AP1，P4 BP2，P4 CP1，P3 DP2，P4,分析：若
14、全称命题为真命题，必须对限定范围内的元素中的全体都成立；若特称命题是真命题，只需在限定范围中有一个元素满足条件即可,解：P1是假命题，因为 ， ； P2是真命题，如 时成立；,P3是真命题， ， ， ； P4是假命题，如 ， 时， ， 但 故选A,（）一般地说，全称命题与特称命题的真假判断方法是： 判定一个全称命题是真命题时，必须通过逻辑论证对限定的集合中的M每一个元素 使 成立即可； 判定一个全称命题是假命题时，只要能列举出集合M中的一个元素 ，使 不成立即可；,归纳小结：（）本题考查了全称命题与特称命题的真假判断，同时也考查了对概念的转化能力和推理能力,判定一个特称命题是真命题时，只要在限
15、定的集合M中，至少能找到一个元素 ，使 成立即可，否则，这个特称命题就是假命题,例（2007宁夏）已知命题P： 则（ ） B. C. D.,分析：对全称（特称）命题的否定是将其全称 （存在）量词改为存在（全称）量词，再将结论否定,解：将 变为 ，同时否定 ，可以得到 故选C,归纳小结：(1)本题考查了含有一个量词的命题的否定及否定词的运用，对学生的逻辑判断能力进行考查,(2)一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论： 全称命题P： ， 它的否定p： ，p(x0),特称命题p： ， 它的否定p： ， 要注意否定词的运用,例10 已知命题p： 有两个不等的负根，命题q： 无实数根若命
16、题p与q命题有且只有一个为真，求实数 的取值范围,1=0,分析：对命题p和命题q的条件进行化简可得 的范围，再对p、q的真假进行讨论，得到参数成立的条件，利用交集求出m的取值范围,若命题p为真，命题q为假，则 解得 .,解：方程 有两个不等的负根 解得m2. 方程 无实数根， ，解得 .,若命题q为假，命题p为真，则 解得 .,综上所述，实数的取值范围为: 或 .,归纳小结：(1)本题考查了方程求解的条件、命题真假的讨论、集合运算等知识，突出考查了分类讨论思想,和把命题真假转化为集合运算的能力,(2)根据问题条件求出命题所对应的集合范围，将命题的真假条件转化为集合的运算，即当命题为真时，则条件
17、所对集合为原集合，当命题为假时，则条件所对应的集合为补集两个命题的真假同时成立，则条件所对应的集合为两个集合的交集在命题的真假性不能确定的前提下，应作分类讨论,四、本专题总结 本专题内容主要是常用逻辑用语，包括命题与量词，逻辑联结词以及充分条件、必要条件与命题的四种形式 要理解命题的四种形式，并会运用逻辑推理判断真命题，利用举反例判断假命题原命题与其逆否命题为等价命题，逆命题与否命题为等价命题，当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假,理解逻辑联结词的含义，能正确分析命题形式，指出构成它们的简单命题，并会依据真值表判断命题的真假 3注意一个命题的否定与命题的否命题是不同的，命题的否定只否定结论，而原命题的否命题既否定条件，又否定结论 4判断充要条件的三种方法是：定义法、等价法、利用集合间的包含关系作判断,