《第五章二维随机变量及其分布.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第五章二维随机变量及其分布.ppt（67页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第五章 二维随机变量及其分布,二维随机变量及分布函数 二维离散型随机变量 二维连续型随机变量 边缘分布 随机变量的独立性 条件分布,1.1 二维随机变量及分布函数,一般地，如果两个变量所组成的有序数组即二维变量（X，Y），它的取值是随着实验结果而确定的，那么称这个二维变量（X，Y）为二维随机变量，相应地，称（X，Y）的取值规律为二维分布,一、 二维随机变量,5.1 二维随机变量及分布函数,设(X,Y)是二维随机变量， 则称 F(x,y)=PXx,Yy 为(X,Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数,其中x,y 是任意实数.,二、联合分布函数,定义：,注：联合分布函数是事件 Xx与Yy同时发生(
2、交)的概率,5.1 二维随机变量及分布函数,二、联合分布函数,几何意义,如果将二维随机变量(X,Y)看成是平面随机点的坐标,那么联合分布函数 F(X,Y)在(X,Y)的函数值就是随机点(X,Y)落在,以为(x,y)右上角拐点的无穷矩形内的概率.,5.1 二维随机变量及分布函数,二、联合分布函数,性质,对任意的x,y,有 0F(x,y)1; F(x,y)关于x、关于y 单调不减；,5.1 二维随机变量及分布函数,二、联合分布函数,性质,F(x,y)关于x、关于y 右连续,5.1 二维随机变量及分布函数,二、联合分布函数,性质,5.1 二维随机变量及分布函数,二、联合分布函数,性质,随机点(X,Y
3、)落在矩形区域,的概率,5.1 二维随机变量及分布函数,二、联合分布函数,性质,注：任何一个二维联合分布函数F(x,y)必具有以 上五条基本性质，还可证明具有以上五条性质的 二元函数F(x,y)一定是某个二维随机变量的分布 函数.即这五条性质是判定一个二元函数是否为 某个随机变量的分布函数的充要条件,例1.已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为,求常数A，B，C.,解:,5.2 二维离散型随机变量,一、二维离散型随机变量及联合分布律,若二维离散型随机变量(X,Y)取(xi,yj)的概率为pij,则称PXxi,Yyjpij ，(i,j1, 2,)，为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或随机变
4、量X与Y的联合分布律. 可记为 (X,Y)PXxi, Y yj,pij ,(i,j1,2,)，,1.二维离散型随机变量定义,若二维随机变量(X,Y).如果它可能取的值是有限个或 可数多个数组对(xi,yj),(i,j1,2, )，则称(X,Y) 为二维离散型随机变量。,2.联合分布律,5.2 二维离散型随机变量,一、二维离散型随机变量及联合分布律,联合分布律的性质 (1) (2),二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下:,0pij1, i, j1, 2, ,5.2 二维离散型随机变量,一、二维离散型随机变量及联合分布律,例2,一口袋中有三个球，它们依次标有数字1,2,2.从这,袋中任取一球
5、后,不放回袋中,再从袋中任取一球.设每,次取球时,袋中各个球被取到的可能性相同.以X,Y分别,记第一次、第二次取得的球上标有的数字.,求:,(1) X,Y的分布律;,(2) P(XY).,解:,P(X=1,Y=2)=(1/3)1=1/3,P(X=2,Y=1)=(2/3)(1/2)=1/3,P(X=2,Y=2)=(2/3)(1/2)=1/3,5.2 二维离散型随机变量,一、二维离散型随机变量及联合分布律,(2),P(XY)=P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=1)+P(X=2,Y=2),=0+(1/3)+(1/3)=2/3,由于事件XY=X=1,Y=1X=2,Y=1X=2,Y=2,且三个事件互
6、不相容,因此,有放回抽取方式,P(X=1,Y=2)=2/9,P(X=2,Y=1)=2/9,P(X=2,Y=2)=4/9,P(X=1,Y=1)=1/9,5.2 二维离散型随机变量,一、二维离散型随机变量及联合分布律,若(X,Y)的分布律为PX=xi,Y=yj=pij, i,j=1,2, 则(X,Y)的分布函数为,其中和式是对一切满足xix , yjy求和。,分布律与分布函数的关系,5.2 二维离散型随机变量,一、二维离散型随机变量及联合分布律,例 若(X,Y)的分布律如下表，,Y,X,0 1,0 1/2 0,1 0 1/2,求(X,Y)的分布函数。,解,5.3 二维连续型随机变量,一、二维连续型
7、随机变量及联合密度函数,1.定义：设(X,Y)的分布函数为F(x,y),若存在一非负函数f(x,y),使得对于任意的实数x,y有,则称(X,Y)是连续型二维随机变量,函数 f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的(联合)概率密度函数.,2概率密度f(x,y)的性质,5.3 二维连续型随机变量,一、二维连续型随机变量及联合密度函数,(3).若f(x,y)在点(x,y)连续，则有,(4).设G是xy平面上的一个区域,点(X,Y)落在 G内的概率为:,在几何上z= f(x,y)表示空间的一个曲面。 P(X,Y)G的值等于以G为底,以曲面 z= f(x,y)为顶面的柱体体积。,5.3 二维连续型随机变
8、量,一、二维连续型随机变量及联合密度函数,例3: 设二维随机变量(X,Y)具有概率密度,求：,(1) 常数c；,(2)P(XY).,因此解得,(1) 由性质,得到,c=8,解:,5.3 二维连续型随机变量,一、二维连续型随机变量及联合密度函数,(2)P(XY)=,=,=,=,=,5.3 二维连续型随机变量,二、两个常见二维连续型随机变量的联合密度函数,(一)均匀分布 定义: 设G是平面上的有限区域,面积为A,若二维 随机向量(X,Y)具有概率密度.,则称(X,Y)在G上服从均匀分布。,5.3 二维连续型随机变量,二、两个常见二维连续型随机变量的联合密度函数,例：设二维随机变量(X,Y)服从区域
9、G上的均匀分布,其中G=0x1,|y|x,求(X,Y)的联合密度函数.,解：,5.3 二维连续型随机变量,二、两个常见二维连续型随机变量的联合密度函数,例：若(X,Y)在D1上服从均匀分布，D1为x轴、y轴及直线y=2x+1所围。求: (X,Y)的概率密度。,解：,5.3 二维连续型随机变量,二、两个常见二维连续型随机变量的联合密度函数,(二)二维正态分布 定义: 若(X,Y)具有概率密度,其中 -0,20 ,|1,则称(X,Y)服从参数为1,2,21,22,的二维正态分布， 记为:(X,Y)N(1,2, 21,22,).,求：（1）PX0,(2)PX1,(3)PY y0,1.随机变量（X，Y
10、）的概率密度为,x,y,D,答: PX0=0,练习,解,续解 .,x+y=3,5.4 边缘分布,一、边缘分布函数,1边缘分布 设F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数，称 P(Xx)=P(Xx,Y+) (-x+) 为X的边缘分布函数,并记为Fx(x).,2.公式. 由于Fx(x)=P(XxY+)=PXx,Y+ =F(x,+) 同理有 FY(y)=F(+,y).,5.4 边缘分布,一、边缘分布函数,例:,试从联合分布函数F(x,y)，求关于X,关于Y的边缘分布函数FX(x),FY(y).,解:,由边缘分布函数的定义我们有,5.4 边缘分布,一、边缘分布函数,例:,已知(X,Y)的分布
11、函数为,求FX(x)与FY(y).,5.4 边缘分布,二、离散型二维随机变量的边缘分布律,1. 边缘分布律 设(X,Y)为离散型二维随机变量,其联合分布律为 PX=xi,Y=yj=pij, i,j=1,2, 称PX=xi,Y+(i=1,2,)为X的边缘分布律。,2. 计算,以后将 记为 pi.,5.4 边缘分布,二、离散型二维随机向量的边缘分布律,X的边缘分布为,Y的边缘分布为,5.4 边缘分布,二、离散型二维随机向量的边缘分布律,1,x1 xi,求(X,Y)关于X和Y的边缘分布律。,解: X的可能取值为1,3且 PX=1=PX=1,Y=-1+PX=1,Y=0+PX=1,Y=4 =0.17+0
12、.05+0.21=0.43 因此关于X的边缘分布律为,同样的方法求得关于Y的边缘分布律为,例联合分布律的为：,5.4 边缘分布,三、连续型随机变量(X,Y)的边缘密度函数,边缘密度函数 设二维连续型随机变量(X,Y)有联合密度函数f(x,y), 分别称,为(X,Y)关于X的边缘密度函数；,为(X,Y)关于Y的边缘密度函数.,说明,例:(X,Y)的联合密度函数为 求：边缘概率密度fx(x),fY(y)。,解：（1）X 的边缘密度函数为,Y 的边缘密度函数为,例: 设(X,Y)在单位圆D(x,y)|x2+y21/2)。 解:(X,Y)的联合密度函数为：,先求fx(x) : 当-1x1时,（2）,例
13、 设(X,Y)N(1,2,12,22,)，即(X,Y)具有概率密度,求边缘概率密度fx(x),fY(y).,即XN(1,12)，YN(2,22).且不依赖参数.,可见，联合分布可以确定边缘分布， 但边缘分布能不能确定联合分布？,解 关于X的边缘密度函数为,所以，,同理可得,不同的联合分布，可 有相同的边缘分布。,可见，联合分布可以确定边缘分布， 但边缘分布不能确定联合分布,5.5 随机变量的独立性,随机变量相互独立是概率论中非常重要的概念,它是随机事件相互独立的推广. 设X，Y为随机变量.如果对于任意实数x,y，事件Xx、Yy相互独立的，即 PXx,Yy=PXxPYy 那么称X，Y相互独立,特
14、别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义分别等价于,定义 设（X，Y）的联合分布函数为F(x,y)，两个 边缘分布函数分别为FX(x),FY(y)，如果对于任意的x,y 都有F(x,y)= FX(x) FY(y)，则称随机变量X，Y相互独立。,对任意i,j,对任意x,y,一、二维随机变量独立性的定义,在实际问题或应用中，当X的取值与Y的取值互不影响时，我们就认为X与Y是相互独立的，进而把上述定义式当公式运用., 在X与Y是相互独立的前提下，,边缘分布可确定联合分布！,实际意义,补充说明,例: 试证明例1中的两个随机变量X与Y的独立性. 解: (X，Y)的分布函数为,边缘分布函数分别为,容易看出
15、，对于任意实数x，y都有 F(x，y)=Fx(x)FY(y), 所以X与Y是相互独立的,例,设(X,Y)的联合分布律为,证明:X,Y相互独立.,证 X,Y的边缘分布律为,由于 p11=(2/20),而p1.=(1/4), p.1=(2/5),易见p11=p1.p.1,i,j=1,2,3.因此,由定义知X与Y独立.,设二维随机变量X与Y的联合密度函数为 问 (X,Y)是否相互独立？ 分析：为判断X与Y是否相互独立，只需看边缘密度函数之积是否等于联合密度函数.,所以X的边缘密度函数为,所以Y 的边缘密度函数为,故X与Y不相互独立,例:设随机变量(X,Y)的概率密度函数为,试证X和Y相互独立.,解,
16、于是有 f(x,y)= fX(x) fY(y) 所以X和Y相互独立.,5.5 随机变量的独立性,四、独立性推广的一些定义,分布函数的概念可推广到n维随机变量的情形。 事实上，对n维随机变量(X1, X2, , Xn)， F(x1, x2, , xn)P(X1 x1, X2 x2, , Xn xn) 称为的n维随机变量(X1, X2, , Xn)的分布函数， 或随机变量X1, X2, , Xn的联合分布函数。,1.5 随机变量的独立性,四、独立性推广的一些定义,定义. 若(X1,X2,.Xn)的全部可能取值为Rn上的有限或可列无穷多个点，称(X1,X2,.Xn)为n维离散型的，称 PX1=x1,
17、X2=x2,.Xn=xn,(x1,x2,.xn) Rn 为n维随机变量(X1,X2,.Xn)的联合分布律。,1.5 随机变量的独立性,四、独立性推广的一些定义,定义. n维随机变量(X1,X2,.Xn)，如果存在非负 的n元函数f(x1,x2,.xn)使对任意的n元立方体,则称(X1,X2,.Xn)为n维连续型随机变量，称f(x1,x2,.xn)为(X1,X2,.Xn)的概率密度。,1.5 随机变量的独立性,四、独立性推广的一些定义,独立性的概念推广至高维随机变量的情形 定义: 设(X1，X2，Xn)为n维随机变量，其分布函数为F(x1，x2，xn)，关于xi的边缘分布函数Fxi(xi)，若对
18、于任意实数x1，x2，xn有,则称X1，X2，Xn是相互独立的。,设(X,Y)的概率密度为 (1)求常数c.(2)求关于X的和关于Y的边缘概率密度.,练习,1.6 条件分布,一、离散型随机变量的条件分布律,设(X,Y)是二维离散型随机变量,其分布律为 PX=xi,Y=yj=pij , i, j=1,2,. (X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律分别为 PX=xi=pi i=1,2,. PY=yj=pj j=1,2,. 设pi0,pj0，考虑在事件Y=yj已发生的条件下事件X=xi发生的概率,即 X=xi|Y=yj, i=1,2,. 的概率,由条件概率公式,1.6 条件分布,一、离散型随机变量的条
19、件分布律,条件概率具有分布律的特性 (1).PX=xi|Y=yj0；,1定义 设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定 的j，若PY=yj0，则称,为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律。,1.6 条件分布,一、离散型随机变量的条件分布律,同理，对于固定的i，若PX=xi0，则称,为在X=xi条件下随机变量Y的条件分布律。,2. 条件分布函数,同理，,X,Y,-1 1 2,0 1/12 0 3/12 3/2 2/12 1/12 1/12 2 3/12 1/12 0,试分别求Y|X=0及X|Y=-1的条件分布律,例 二维离散型随机变量(X,Y)的分布律为,解,X|Y=-1,0 3/2 2,P
20、 1/6 2/6 3/6,Y|X=0,1 1 2,P 1/4 0 3/4,p.1=p(Y=-1)=1/12+2/12+3/12=3/6,P1.=p(Y=0)=1/12+0+3/12=2/6,1.6 条件分布,二、连续型随机变量条件分布的定义,设(X,Y)是二维连续型随机变量,这时由于对任意x,y有PX=x=0 , PY=y=0 ,因此不能直接用条件概率公式引入条件分布函数PXx|Yy.下面我们用极限的方法来处理. 给定y,设对于任意固定的正数,Py-Yy+0 ,于是对于任意x有,上式给出了在任意y-Yy+下X的条件分布函数,现在我们引入以下的定义.,1.6 条件分布,二、连续型随机变量条件分布
21、的定义,1.条件分布函数的定义：给定y,设对于任意实数x,若极限,存在,则称此极限为在条件Y=y下X的条件分布函数, 记为PXx|Y=y或记为FX|Y(x|y).,2.公式： 设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，概率密度为f(x,y).若在点(x,y)处f(x,y)连续,且fY(y)0,则有,1.6 条件分布,二、连续型随机变量条件分布的定义,1.6 条件分布,二、连续型随机变量条件分布的定义,3.条件概率密度 定义,同理，,称为在Y=y条件下X的条件概率密度，且满足概率密度的两个性质。,称为在X=x条件下X的条件概率密度，且满足概率密度的两个性质。,例1: 设(X,Y)服从二维正态分布 N(1,2,12,22,),求在X=x的条件下,Y的条件密度函数fY|X(y|x). 解: (X,Y)的密度函数为,由上前面的例题知道,所以X=x条件下Y的条件概率密度为,这正是正态分布,