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1、高等代数专题研究模拟试题 单项选择题（本题共 20 分，每小题 4 分）电大考试电大小抄电大复习资料 一、 1. 下列法则中，哪个不是 上的二元代数运算？（ ）Z （A） （B）ab ab （C） （D） 2. 设 是线性空间 的线性变换， 是 的分别属于特征值 与 的V,A 特征向量，则（ ）. （A）若 与 线性相关，则 ； （B） 若 与 线性无关，则 ； （C）若 与 线性相关，则 ； （D） 若 与 线性无关，则 . 3. 全体正实数 对于下面定义的加法和标量乘法：R ，abka 构成 上的线性空间，则它的维数是（ ）. （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 4. 如果线性空间 上
2、的线性变换 在 的一组基 下的作用为：VAV12,12254 那么 在基 下的矩阵为（ ）.A12, （A） （B） （C） （D）5343543524532 5. 设 为欧几里得空间， 是 中的任意向量，则下列式子不成立的V,V 是（ ）. （A） （B）(,), (,)(, （C） （D）,0 二、 填空题（本题共 20 分，每小题 4 分） 1. 正交矩阵的行列式等于 . 2. 设 为两个不相等的常数，则多项式 被 除所得余式ba, ()fx)(axb 为 . 3. 同一双线性函数在不同基下的度量矩阵是 的. 4. 若矩阵 与 相似，则 的行列式 .A 245A 5. 设 ， ，则 .4
3、2()3fx32()gxx(),fxg 三、 计算题（本题共 45 分，每小题 15 分） 1. 求多项式 的所有有理根.432()6f 2. 已知 ； 123(,),(,10)(,2) . 求123(,)04 （1） 的一组基与维数；12(,)WL （2） 的一组基与维数；23 （3） 与 的一组基与维数.112 3. 设 ，求一个正交矩阵 ，使得 是一个对角矩阵. 123469ATTA 四、 证明题（本题 15 分） 设 是 阶正定实对称矩阵， 为 阶实反对称矩阵（ ） ，证明：AnBnTB 是正定实对称矩阵 .2B 高等代数专题研究模拟试题答案 一、 单项选择题（本题共 20 分，每小题
4、 4 分） 1. D 2. C 3. B 4. A 5. D 二、 填空题（本题共 20 分，每小题 4 分） 1. 2. 3. 相合 4. 5. 1()()fabfbfax401x 三、 计算题（本题共 45 分，每小题 15 分） 1. 解： ， . 根据定理 2.9.4， 的有理根只可能是：4602()fx ， ， ， ， ， . 依此代入检验可得， ， . 1213 102f203f 因此 的有理根是 ， .()fx23 2. 解：（1） 线性无关，因此 ， 即为 的一组1,1dim3W123,1W 基. （2） 线性无关，因此 ， 即为 的一组基.123,2i123,2 （3） ，一
5、组基为 ， ，一组基dim4W13,1di 为 .1, 3. 解： 2 1246(14)39EA 因此 的特征值为 ， ， .0 当 时，解方程组 ，得一组基础解系为0X ，1 2301 单位正交化可得 ，1 25023706570 当 时，解方程组 ，得一组基础解系为14(14)EAX312 单位正交化可得 314714 以 为列，可得正交矩阵 ，且123, 25370146570314T 为对角阵. 014TA 四、 证明题（本题 15 分） 证明：因为 是正定实对称矩阵，所以 . 为 阶实反对称矩阵，TABn ，从而TB22222()()()()TTTABA 因此 是实对称矩阵 . 2 对于任意 维列向量 ，有n0X2()() ()0TTTTTTXABABAXBAXB 故 是正定实对称矩阵 .