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1、2011年数学建模培训,基础知识部分,钱淑渠 安顺学院数计系 2011年7月,一、数学模型的定义,数学模型就是为了某种目的，用字母、数字及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。 欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。,二、建模的基本步骤,问题重述,模型分析,模型假设,模型构建,模型求解,模型推广及应用,模型检验,Yes,No,1. 模型准备 要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。 学院图书馆-维普，中国知网等,2. 模型假设 根据对象的特征和建模
2、目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。,3. 模型构建 根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。,4. 模型求解 可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。,5. 模型检验及分析 对模型解答进行数学上的分析。检验模型是否符合实际想象。,三、数模竞赛的指导思想,数模竞赛题是一个“课题”，大部分都源于生产实际或者科学研究的过程中，它是一个综合性的问题，数据庞大，需要用计算机来完成。其答案往往不是唯一的（数学模型是实际的模拟，是实际问
3、题的近似表达，它的完成是在某种合理的假设下，因此其只能是较优的，不唯一的），呈报的成果是一编“论文”。,四、竞赛中的常见题型,1. 实际问题背景 涉及面宽有社会，经济，管理，生活，环境，自然现象，工程技术，现代科学中出现的新问题等。,2 . 若干假设条件 1）只有过程、规则等定性假设，无具体定量数据； 2）给出若干实测或统计数据； 3）给出若干参数或图形； 4）蕴涵着某些机动、可发挥的补充假设条件，或参赛者可以根据自己收集或模拟产生数据。,3. 要求回答的问题 有几个问题，而且一般不是唯一答案。 1）比较确定性的答案（基本答案）； 2）更细致或更高层次的讨论结果（往往是讨论最优方案的提法和结果
4、）。,五、历年试题,1993年A题 非线性交调的频率设计 1993年B题 球队排名问题 1994年A题 逢山开路 1994年B题 锁具装箱 1995年A题 一个飞行管理模型 1995年B题 天车与冶炼炉的作业调度,1996年A题 最优捕鱼策略 1996年B题 节水洗衣机 1997年A题 零件的参数设计 1997年B题 截断切割 1998年A题 投资的收益和风险 1998年B题 灾情巡视路线,1999年A题 自动化车床管理 1999年B题 钻井布局 2000年A题 DNA序列分类 2000年B题 钢管定购和运输 2001年A题 血管的三维重建 2001年B题 公交车调度,2002年A题 车灯线光
5、源的优化设计 2002年B题 彩票中的数学 2003年A题 SARS的传播 2003年B题 露天矿生产的车辆安排 2004年A题 奥运会临时超市网点设 2004年B题 电力市场的输电阻塞管理,2005年A题 长江水质的评价和预测 2005年B题 DVD在线租赁 2006年A题 出版社的资源配置 2006年B题 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 2007年A题 中国人口增长预测 2007年B题 乘公交，看奥运,2008年A题 数码相机定位 2008年B题 高等教育学费标准探讨 2009年A题 制动器试验台的控制方法 2009年B题 眼科病床的合理安排,2010年A题 储油罐的变位识别与罐容表标定 2
6、010年B题 2010年上海世博会影响力的定量评估,1、从问题的实际意义分析,从实际意义方面分析,大体上可以分为工业、农业、工程设计、交通运输、经济管理、生物医学和社会事业等七个大类。,工业类：电子通信、机械加工 与制造、机械设计与 控制等行业,共有8个 题，占28.6%。 农业类：个题，占3.6%。 工程设计类: 3个题，占10.7%。,交通运输类：3个题，占10.7% 经济管理类：4个题，占14.3% 生物医学类：4个题，占14.3% 社会事业类: 5个题，占17.8%,有的问题属于交叉的，或者是边缘的。,2、从问题的解决方法上分析,从问题的解决方法上分析，涉及到的数学建模方法有几何理论、
7、组合概率、统计分析、优化方法、图论、网络优化、层次分析、插值与拟合、差分方法、微分方程、排队论、模糊数学、随机决策、多目标决策、随机模拟、灰色系统理论、神经网络、时间序列、综合评价方法、机理分析等方法。,用的最多的方法是优化方法和概率统计的方法. 用到优化方法的共有19个题，占总数的67.9%，其中整数规划4个，线性规划4个，非线性规划14个,多目标规划4个。 用到概率统计方法的有15个题，占53.6%，几乎是每年至少有一个题目用到概率统计的方法。 用到图论与网络优化方法的问题有个； 用到层次分析方法的问题有个；,3、从问题的解决方法上分析,4、从问题的题型上分析,（1）“即时性”较强的问题有
8、10个,占35.7%： 1993B：足球队排名问题； 1998B：灾情巡视路线问题； 2000A：DNA序列分类问题； 2000B：钢管订购与运输问题； 2001B：公交车的调度问题； 2002B：彩票中的数学问题； 2003A：SARS的传播问题； 2004A：奥运会临时超市网点设计问题 2004B：电力市场的输电阻塞管理问题 2005A: 长江水质的评价和预测问题,4、从问题的题型上分析,(2)理论性较强的问题有12个,占46.2% : 94A,94B,95A,96A,97A,98B,99A,00B,01A,02A,03A,04B; (3)实用性较强的问题有14个,占50% : 93A,9
9、4B,95B,96B,98B,99B,00B,01A,01B,02B,03A,04B,05A,05B； (4)算法要求强的问题有6个,占21.4% : 95A,97B,99B,00A,00B,05B; (5)数据量较大的问题有10个,占35.7% : 00A,00B,01A,01B,02B,03A,04A,04B,05A,05B.,六、论文内容和格式,1.标题 题目写出较确切的题目。,2.摘要200-300字，包括 a. 模型的数学归类（在数学上属于什么类型）； b. 建模的思想（思路）； c. 算法思想（求解思路）； d. 建模特点（模型优点，建模思想或方法，算法特点，结果检验，灵敏度分析，
10、模型检验）；,e. 主要结果（数值结果，结论；回答题目所问的全部“问题”）。 注意表述：准确、简明、条理清晰、合乎语法、字体工整漂亮。 内容较多时最好有个目录。,3. 问题重述,4. 模型假设 根据全国组委会确定的评阅原则，基本假设的合理性很重要。 a. 根据题目中条件作出假设 b. 根据题目中要求作出假设 C. 符合假设 关键性假设不能缺；假设要切合题意。,5. 模型构建 a. 基本模型： ）首先要有数学模型：数学公式、方案等； ）基本模型，要求完整，正确，简明； b. 简化模型： ）要明确说明简化思想，依据等； ）简化后模型，尽可能完整；,c. 模型要实用，有效，以解决问题有效为原则。 数
11、学建模面临的、要解决的是实际问题，不追求数学上的高（级）、深（刻）、难（度大）。 ）能用初等方法解决的、就不用高级方法； ）能用简单方法解决的，就不用复杂方法； ）能用被更多人看懂、理解的方法，就不用只能少数人看懂、理解的方法。,d鼓励创新，但要切实，不要离题搞标新立异。数模创新可出现在： 1. 建模中，模型本身，简化的好方法、好策略等； 2. 模型求解中； 3. 结果表示、分析、检验，模型检验； 4.推广部分。,e在问题分析推导过程中，需要注意的问题： ）分析：中肯、确切； ）术语：专业、内行； ）原理、依据：正确、明确； ）表述：简明，关键步骤要列出； ）忌：外行话，专业术语不明确，表述混
12、乱，冗长。,6. 模型求解 a. 需要建立数学命题时： 命题叙述要符合数学命题的表述规范，尽可能论证严密。 b. 需要说明计算方法或算法的原理、思想、依据、步骤。,若采用现有软件，说明采用此软件的理由，软件名称。 c. 计算过程，中间结果可要可不要的，不要列出。 d. 设法算出合理的数值结果。,7. 结果分析、检验；模型检验及模型修正；结果表示 a. 最终数值结果的正确性或合理性是第一位的； b. 对数值结果或模拟结果进行必要的检验；,结果不正确、不合理、或误差大时，分析原因， 对算法、计算方法、或模型进行修正、改进。 c. 题目中要求回答的问题，数值结果，结论，须一一列出；,d. 列数据问题
13、：考虑是否需要列出多组数据，或额外数据对数据进行比较、分析，为各种方案的提出提供依据；,e. 结果表示：要集中，一目了然，直观，便于比较分析。 数值结果表示：精心设计表格；可能的话，用图形图表形式。 求解方案，用图示更好。,8. 模型评价 优点突出，缺点不回避。 改变原题要求，重新建模可在此做。 推广或改进方向时，不要玩弄新数学术语。,9. 参考文献 1 武桃，张力. 数学模型M. 北京：高等教育出版社，1960，45-49. 2 陆平. 数学模型研究J. 数学的实践与认识，2010，2(5):12-18. 3 数学实验, .,10. 附录 详细的结果，详细的数据表格，图表，算法程序，可在此列
14、出，但不要错。 主要结果数据，表格，应在正文中列出，不怕重复。,七. 参赛注意,1时间和体力的问题 2团队合作是能否获奖的关键 3重视摘要 4论文写作要正规 5模型的假设与模型的建立 6图文表并茂可以增色,八. 参考资料, 姜启源，数学模型（第二版），高等教育出版社 姜启源、谢金星、叶俊数学建模（第三版），高等教育出版社 萧树铁等，数学实验，高等教育出版社 朱道元，数学建模案例精选，科学出版社 雷功炎，数学模型讲义，北京大学出版社 叶其孝等，大学生数学建模竞赛辅导教材（一）（四），湖南教育出版社 江裕钊、辛培清，数学模型与计算机模拟，电子科技大学出版社 杨启帆、边馥萍，数学模型，浙江大学出版社 赵静等，数学建模与数学实验，高等教育出版社，施普林格出版社,