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1、第3章 多维随机变量及其分布,3.2 二维随机变量的边缘分布,二维随机变量(X,Y)的分布主要包含三个方面的信息: 1. 每个分量的信息，即边缘分布; 2. 两个分量之间的关系程度，即相关系数; 3. 给定一个分量时，另一个分量的分布，即条件分布; 本节先讨论边缘分布,第3章 多维随机变量及其分布,3.2.1 二维随机变量的边缘分布函数,设二维随机变量(X，Y)具有分布函数F(x，y) X和Y都是一维随机变量，也各有对应的分布函数FX(x)和FY(y)，依次称为二维随机变量(X，Y)关于X和关于Y的边缘分布函数 易知 以上两式说明，由联合分布函数可以求出每个分量的分布函数， 但由各个分量的分布
2、函数不一定求出联合分布函数,3.2.1 二维随机变量的边缘分布函数,【例3.8】设(X，Y)的分布函数为 求关于X和Y的边缘分布函数FX(x)、FY(y) 解：由定义知 同理可求得：,3.2.2 二维离散型随机变量的边缘分布律,设二维离散型随机变量(X，Y)的分布律为 PX = xi，Y = yj = pij，i，j = 1，2，则,3.2.2 二维离散型随机变量的边缘分布律,设二维离散型随机变量(X，Y)的分布律为 PX = xi，Y = yj = pij，i，j = 1，2，则 称 为(X，Y)关于X的边缘分布律； 称 为(X，Y) 关于Y的边缘分布律,联合分布与边缘分布的关系:,【补充例
3、 】已知下列分布律求其边缘分布律.,解:,3.2.2 二维离散型随机变量的边缘分布律,【例3.9】设一只口袋中有5个球，有两个球上标有数字1，3个球上标有数字0，现从中(1) 有放回地摸两个球，(2) 无放回地摸两个球.并以X 表示第一次摸到的球上标有的数字，以Y 表示第二次摸到的球上标有的数字，求(X，Y)的联合分布律及其两个边缘分布律 解：(1) (X，Y)所有可能取值为：(0，0)、(0，1)、(1，0)、(1，1)则 同理,3.2.2 二维离散型随机变量的边缘分布律,于是(X，Y)的分布律和边缘分布律如下：,3.2.2 二维离散型随机变量的边缘分布律,(2) (X，Y)所有可能取值仍然
4、为：(0，0)、(0，1)、(1，0)、(1，1)则 同理 于是(X，Y)的分布律和边缘分布律如下：,比比看 对于两种情况，X，Y的边缘分布是相同的，但(X，Y)的分布不同，说明由联合分布可得到边缘分布，但由边缘分布却不一定能确定联合分布,3.2.2 二维离散型随机变量的边缘分布律,设二维连续型随机变量(X，Y)的分布函数为F(x，y)，概率密度为f(x，y). 因为 由分布函数定义知，X是一个连续型随机变量，且其概率密度为 同样有 所以,Y也是一个连续型随机变量，其概率密度为,3.2.3 二维连续型随机变量的边缘概率密度,3.2.3 二维连续型随机变量的边缘概率密度,称 为(X，Y)关于X的
5、边缘概率密度 称 为(X，Y)关于Y的边缘概率密度,3.2.3 二维连续型随机变量的边缘概率密度,【例3.10】设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为 求边缘概率密度fX(x)和fY(y) 解：f(x，y)的非零区域如图:,解:,【补充例】,【例3-11】设，试求二维正态分布的边缘概率密度fX(x)和fY(y) 解：由于的概率密度为 且,所以 故XN(1,12)，同理,即YN(2,22) 我们看到二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布，并且都不依赖于参数，亦即对于给定的 ，不同的对应不同的二维正态分布，它们的边缘分布都是一样的，这一事实再次表明，单由关于X和关于Y的边缘分布，一般来说不能
6、确定随机变量X和Y的联合分布,概念推广,(1) n维随机变量的分布函数,(2) n维随机变量的概率密度函数,(3) n维随机变量的边缘分布函数,(4) n维随机变量的边缘概率密度函数,解,课堂练习,一只硬币一面写上1，另一面写上2，将硬币抛3次,以X记前两次所得数字之和,以Y记后两次所得数字之差(第2次减去第3次).试求X和Y的联合分布律，以及边缘分布律.,解： 先将试验的样本空间及X,Y取值的情况列出如下：,111 112 121 122 211 212 221 222,2 2 3 3 3 3 4 4,0 -1 1 0 0 -1 1 0,课堂练习,X和Y的联合分布律及边缘分布律如下表所示：,X所有可能取的值为2，3，4；Y所有可能取的值为-1, 0,1.易得(X，Y)取(u,v)，u=2,3,4;v=-1,0,1的概率.,-1 0 1,1/8 1/8 0,1/8 2/8 1/8,0 1/8 1/8,PX=u,PY=v,1/4 1/2 1/4,1,2 3 4,1/4,1/2,1/4,