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1、要点梳理 1直线和圆的位置关系： (1)设r是O的半径，d是圆心O到直线l的距离,第27课 直线与圆圆与圆的位置关系,(2)切线的性质： 切线的性质定理：圆的切线垂直于 经过切点的半径 推论1：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 推论2：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 (3)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于 这条半径的直线是圆的切线 (4)三角形的内切圆：和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点 ，内切圆的圆心叫做三角形的内心，内切圆的半径是内心到三边的距离,第27课 直线与圆圆与圆的位置关系,2圆与圆的位置关系：,第27课 直线与圆圆与
2、圆的位置关系,3.相关辅助线：,第27课 直线与圆圆与圆的位置关系,考点巩固测试 1.(1)如图，O的半径为4 cm，OAOB，OCAB于C，OB4 cm，OA2 cm，试说明AB是O的切线 解 OAOB， 又O的半径为4， AB是O的切线 (2)(2013兰州) 如图，两个同心圆，大圆半径为5 cm，小圆的半径为3 cm，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦AB的取值范围是_,第27课 直线与圆圆与圆的位置关系,解析: 如图，当AB与小圆相切时有一个公共点D， 连接OA、OD，可得ODAB， D为AB的中点，即ADBD， 在RtADO中，OD3，OA5， AD4，AB2AD8； 当AB经过同心圆的
3、圆心时，弦AB最大 且与小圆相交有两个公共点，此时AB10. 故AB的取值范围是8AB10.,第27课 直线与圆圆与圆的位置关系,感悟提高 根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系作判断，dr直线与圆相离；dr直线与圆相切；dr直线与圆相交 变式测试1 (1)如图，已知在OAB中，OAOB13，AB24，O的半径长为r5.判断直线AB与O的位置关系，并说明理由 解 过点O画OCAB于C. OAOB13， ACBCAB12. 在RtAOC中， 直线AB与O相切 (2)(2012丽水) 半径分别为3 cm和4 cm的两圆内切，这两圆的圆心距为_cm. 解析 两圆内切，且其半径分别为3 cm和4
4、 cm，两圆的圆心距为431 cm. (3)(2012上海) 如果两圆的半径长分别为6和2，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是 ( ) A外离 B相切 C相交 D内含 解析 两个圆的半径分别为6和2，圆心距为3，又6243，这两个圆的位置关系是内含,第27课 直线与圆圆与圆的位置关系,2. (2013新疆建设兵团) 如图是一个量角器和一个含30角的直角三角板放置在一起的示意图，其中点B在半圆O的直径DE的延长线上，AB切半圆O于点F，且BCOE. (1)求证：DECF； (2)当OE2时，若以O、B、F为顶点的三角形与ABC相似，求OB的长； (3)若OE2时，移动ABC且使AB边始终与半圆
5、O相切，直角顶点B在直径DE的延长线上移动，求出点B移动的最大距离 解 (1)连接OF， AB切半圆O于F点， OFAB， OFBABC90， OFBC， BCOEOF， 四边形OFCB为平行四边形， CFOB，即DECF.,第27课 直线与圆圆与圆的位置关系,(3)在RtABC中，A30，BCOE2，则AC4， 当AB与半圆O相切于E点时， B点与E点重合，BE0； 当AB与半圆O相切于A点时， OABCBA， OBAC4， BEOBOE422， 即点B在直径DE的延长线上移动的最大距离为2.,第27课 直线与圆圆与圆的位置关系,感悟提高 遇到切点，通常作的辅助线是连接圆心和切点，这样运用切
6、线的性质，构造出直角三角形，再进一步解答记住：由切线联想到直角，从而充实题中的已知条件 变式测试2 (2013丽水)如图，AB为O的直径，EF切O于点D，过点B作BHEF于点H，交O于点C，连接BD. (1)求证：BD平分ABH； (2)如果AB12，BC8，求圆心O到BC的距离 解 (1)EF是O的切线，ODEF， 又BHEF，ODBH， ODBDBH， ODOB，ODBOBD， OBDDBH， 即BD平分ABH. (2)过点O作OGBC于点G， 则BGCGBC4， 在RtOBG中，,第27课 直线与圆圆与圆的位置关系,3. (2013金华) 如图，已知AB是O的直径，点C、D在O上，点E在
7、O外，EACD60. (1)求ABC的度数； (2)求证：AE是O的切线； (3)当BC4时，求劣弧AC的长 解 (1)ABC与D都是弧AC所对的圆周角， ABCD60. (2)AB是O的直径， ACB90，BAC30， BAEBACEAC306090，即BAAE， AE是O的切线 (3)如图，连接OC， OBOC，ABC60， OBC是等边三角形， OBBC4，BOC60， AOC120，,第27课 直线与圆圆与圆的位置关系,感悟提高 当已知条件中给出直线与圆有公共点时，只要证明圆心与公共点的连线垂直于这条直线，就可以判定直线与圆相切，连接圆心和公共点是常作的辅助线 变式测试3 (2013聊
8、城) 如图，O是ABC的外接圆，ABAC10，BC12，P是BC上的一个动点，过点P作 BC的平行线交AB的延长线于点D. (1)当点P在什么位置时，DP是O的切线？请说明理由； (2)当DP为O的切线时，求线段DP的长,第27课 直线与圆圆与圆的位置关系,解 (1)当点P是BC 的中点时，DP是O的切线理由如下： ABAC，ABAC， 又PBPC，PBAPCA， PA是的直径， PBPC，12， 又ABAC，PABC， DPBC，DPPA， DP是O的切线 (2)连接OB，设PA交BC于点E. 由垂径定理，得BEBC6， 在RtABE中，由勾股定理，得： 设O的半径为r，则OE8r， 在Rt
9、OBE中，由勾股定理，得： r262(8r)2，解得r25/4， DPBC，ABED， 又11，ABEADP，,第27课 直线与圆圆与圆的位置关系,4. (2012张家界) 如图，O的直径AB4，C为圆周上一点，AC2，过点C作O的切线DC，P点为优弧CBA上一动点(不与A、C重合) (1)求APC与ACD的度数； (2)当点P移动到CB弧的中点时，求证：四边形OBPC是菱形； (3)P点移动到什么位置时，APC与ABC全等，请说明理由 解 (1)连接AC，如图所示： AC2，OAOBOCAB2， ACOAOC， ACO为等边三角形， AOCACOOAC60， APCAOC30， 又DC与圆O
10、相切于点C， OCDC， DCO90， ACDDCOACO906030.,第27课 直线与圆圆与圆的位置关系,(2)连接PB、OP， AB为直径，AOC60， COB120， 当点P移动到CB的中点时， COPPOB60， COP和BOP都为等边三角形， ACCPOAOP，四边形AOPC为菱形 (3)当点P与B重合时，ABC与APC重合， 显然ABCAPC； 当点P继续运动到CP经过圆心时，ABCCPA，理由： CP与AB都为圆O的直径，CAPACB90， 在RtABC与RtCPA中，ABCP，ACAC， RtABCRtCPA(HL),第27课 直线与圆圆与圆的位置关系,感悟提高 综合利用圆的切线的性质与判定以及全等三角形的判定与性质、菱形的判定等，是本题的关键 变式测试4 (2011陕西) 如图，在ABC中，B60，O是ABC外接圆，过点A 作O的切线，交CO的延长线于P点，CP交O于D. (1)求证：APAC； (2)若AC3，求PC的长,第27课 直线与圆圆与圆的位置关系,解 (1)证明：连接AO，则AOPA， AOC2B120， AOP60，P30. 又OAOC， PACP，APAC. (2)在RtPAO中，P30，PAAC3，,第27课 直线与圆圆与圆的位置关系,考点跟踪训练,第27课 直线与圆圆与圆的位置关系,