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1、江西省南昌市2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理一、选择题（本大题共12小 题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1、下列图形中不一定是平面图形的是（ ）A.三角形 B.四边相等的四边形 C.梯形 D.平行四边形2设f(n)1(nN*)，那么f(n1)f(n)等于()A. B. C. D.3已知点M的极坐标为，下列所给出的四个坐标中,也能表示点M的极坐标的是()A. B. C. D.4和是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面和平行的是（ ）。A. 和都垂直于同一个平面 B. 内不共线的三点到的距离相等C. 是平面内的直线且 D. 是两条异面
2、直线且5 的值是（ ）ABCD6方程表示的曲线是（ ）A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆7.中国古代数学名著九章算术中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的为（ ）A1.2 B1.6 C1.8 D2.48过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（ ）A. 18对 B. 24对 C. 30对 D. 36对9已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（ ）A B C D10某班要从6名同学中选出4人参加校运动会的4100m接力比赛，其中甲、乙两名运动员必
3、须入选，而且甲、乙两人中必须有一个人跑最后一棒，则不同的安排方法共有（ ） A24种 B72种 C144种D360种11如右上图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是（ ）A BC三棱锥的体积为定值 D异面直线所成的角为定值12.已知函数，正实数满足对任意的恒成立，则的最大值是( )A A.B.C.D.二.填空题(本大题共5小题，每小题4分,共20分)13 n为正奇数时，求证：xnyn被xy整除，当第二步假设n2k1命题为真时，进而需证n_，命题为真14动圆M过点F(0，2)且与直线y=-2相切，则圆心M的轨迹方程是 .15 4个平面最多可将空间分割成 个部分。
4、16现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于_三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。17.（本小题满分10分）4个男生,3个女生站成一排.（1）3个女生必须排在一起,有多少种不同的排法? （2）甲,乙二人之间恰好有三个人，有多少种不同的排法? （3
5、）甲，乙两生相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法?（必须写出解析式再算出结果才能给分）18（本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为.（）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，,求l的斜率.19. （本小题12分）如图，是底面边长为2，高为的正三棱柱，经过的截面与上底面相交于， 设.（1）证明：； （2）当时，在图中作出点C在平面内的正投影（说明作法及理由），并求四棱锥表面积ABCDFE20.(本小题满分12分)九章算术中，有鳖臑（bino）和刍甍（chmng）两种几何体，鳖臑是一种三棱锥，
6、四面都是直角三角形，刍甍是一种五面体，其底面为矩形，顶部为一条平行于底面矩形的一边且小于此边的线段.在如图所示的刍甍中，已知平面平面，且四边形为等腰梯形，. ()试判断四面体是否为鳖臑，并说明理由；()若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.21.(本小题满分12分）Oxy达芬奇椭圆仪是一种画椭圆的工具，它是由十字形滑槽和长杆构成，上的栓子可沿滑槽上下往复滑动，栓子可沿滑槽左右往复滑动，处的笔尖随、的滑动画出的图形即为椭圆.已知，以十字形滑槽的交点为原点，建立平面直角坐标系.()求椭圆的方程；()已知过椭圆的右焦点的直线交椭圆于、两点，过原点的直线 交椭圆于、两点，且，试问是否为定值?若是定值
7、，求出此定值；若不是，说明理由.22（本小题满分12分）已知函数， . （）若和在有相同的单调区间，求的取值范围；（）令（），若在定义域内有两个不同的极值点（i）求的取值范围；（ii）设两个极值点分别为，证明：南昌三中2016-2017学年度下学期期中考试高二数学（理）答案一、选择题（本大题共12小 题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1、下列图形中不一定是平面图形的是（B ）A,三角形 B.四边相等的四边形 C.梯形 D.平行四边形2设f(n)1(nN*)，那么f(n1)f(n)等于(D)A. B. C. D.3已知点M的极坐标为，下列所给出的四个坐标
8、中,也能表示点M的极坐标的是()A. B. C. D.【答案】D4和是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面和平行的是（ D ）。A. 和都垂直于同一平面 B. 内不共线的三点到的距离相等C. 是平面内的直线且 、D. 是两条异面直线且5 的值是（ B ）ABCD6方程表示的曲线是（ ）A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆【答案】B. 【解析】两个等式两边分别平方，再相减，得即有，又，可见与以上参数方程等价的普通方程为.显然它表示焦点在轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B.7.中国古代数学名著九章算术中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器商鞅铜方升，其三视图如图所示
9、（单位：寸），若取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的为（ ）A1.2 B1.6 C1.8 D2.4解：B.8过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（ ）A. 18对 B. 24对 C. 30对 D. 36对解析：大家知道一个三棱锥可以确定3对异面直线，一个三棱柱可以组成（个）三棱锥，则共有36对异面直线。故选D。9已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（ ）A B C D【答案】A10某班要从6名同学中选出4人参加校运动会的4100m接力比赛，其中甲、乙两名运动员必须入选，而且甲、乙两人中必须有一个人跑最后一棒，则不同的安排方法共有 A24种 B
10、72种 C144种D360种11如右上图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是（ ）A BC三棱锥的体积为定值 D异面直线所成的角为定值12.已知函数，正实数满足对任意的恒成立，则的最大值是(D)B A.B.C.D.解: ，当时，在上单调递增，依题意得，即，故选D.二.填空题(本大题共5小题，每小题4分,共20分)13 n为正奇数时，求证：xnyn被xy整除，当第二步假设n2k1命题为真时，进而需证n_，命题为真答案2k114动圆M过点F(0，2)且与直线y=-2相切，则圆心M的轨迹方程是 x2=8y .15 4个平面最多可将平面分割成 15 个部分。16现介绍
11、祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于_解：椭圆的长半轴为5，短半轴为2，现构造一个底面半径为2，高为5的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积V=2（V圆柱V圆锥）=2（225）=故答案为：三、解答题：本大题共6小题，满分75分，
12、解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。17.（本小题满分12分）4个男生,3个女生站成一排.（1）3个女生必须排在一起,有多少种不同的排法? （2）甲,乙二人之间恰好有三个人，有多少种不同的排法? （3）甲，乙两生相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法?（必须写出解析式再算出结果才能给分）17.解： 先排3个女生作为一个元素与其余的4个元素做全排列有，(种)；（2）甲、乙先排好后，再从其余的5人中选出3人排在甲、乙之间，把排好的5个元素与最好的2个元素全排列，分步有，(种)；（3） 先甲、乙相邻，再把甲乙这个整体与丙分别插入其余4个元素全排列构成的5个空位中，分步有，(种).18（本小题满
13、分10分）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为.（）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，,求l的斜率.【答案】（）；（）.【解析】（I）由可得的极坐标方程（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得于是由得，所以的斜率为或.19. （本小题12分）如图，是底面边长为2，高为的正三棱柱，经过的截面与上底面相交于， 设.（1）证明：； （2）当时，在图中作出点C在平面内的正投影（说明作法及理由），并求四棱锥表面积19. 【解析】：（I）平面平面，平面
14、平面，平面平面，又 (5分)（）点是中点，理由如下：当时，分别是的中点，连接和, 因为是正三棱柱，所以, (6分)取中点，连接在等腰梯形中，连接中，,平面ABF，即, (9分)所以点是在平面内的正投影。 (12分)ABCDFE20.(本小题满分12分)九章算术中，有鳖臑（bino）和刍甍（chmng）两种几何体，鳖臑是一种三棱锥，四面都是直角三角形，刍甍是一种五面体，其底面为矩形，顶部为一条平行于底面矩形的一边且小于此边的线段.在如图所示的刍甍中，已知平面平面，且四边形为等腰梯形，. ()试判断四面体是否为鳖臑，并说明理由；()若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.解：()该四面体为鳖臑1分
15、证明过程如下：过作，垂足为，四边形为等腰梯形，.，2分ABCDFEHzyx四边形为矩形，又平面平面，平面平面，平面平面，又平面，4分又平面，又，平面，平面，又平面，5分，和都为直角三角形，四面体为鳖臑6分()以为原点，建立如图所示空间直角坐标系,由已知可得， ， 设平面的一个法向量,则，又，令，解得，8分，设平面的一个法向量为，则，又， ，令得10分，平面与平面所成的锐二面角的余弦值12分21.(本小题满分12分）Oxy达芬奇椭圆仪是一种画椭圆的工具，它是由十字形滑槽和长杆构成，上的栓子可沿滑槽上下往复滑动，栓子可沿滑槽左右往复滑动，处的笔尖随、的滑动画出的图形即为椭圆.已知，以十字形滑槽的交
16、点为原点，建立平面直角坐标系.()求椭圆的方程；()已知过椭圆的右焦点的直线交椭圆于、两点，过原点的直线 交椭圆于、两点，且，试问是否为定值?若是定值，求出此定值；若不是，说明理由.解：()设，则由已知可得：为的中点，即2分又，即椭圆的方程为5分()当直线的斜率为0时，6分当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，则直线的方程为，设，联立方程，消去得，则， 8分联立，消去得，由椭圆的对称性可得10分综上所述为定值12分22（本小题满分12分）已知函数， . （）若和在有相同的单调区间，求的取值范围；（）令（），若在定义域内有两个不同的极值点（i）求的取值范围；（ii）设两个极值点分别为，证明：解：（）函数的定义域为，当时，；当时，.所以，在上单调递减；在上单调递增. 2分若在上单调递减；在上单调递增，则4分() （）依题意，函数的定义域为，所以方程在有两个不同根.xyo1y=lnxy=axA即，方程在有两个不同根. 5分转化为，函数与函数的图像在上有两个不同交点，如图. 可见，若令过原点且切于函数图像的直线斜率为，只须. 6分令切点，所以，又，所以，解得，于是，所以. 8分（）由（i）可知分别是方程的两个根，即，不妨设，作差得，即. 原不等式等价于令，则， 10分设，函数在上单调递增，即不等式成立，故所证不等式成立12分13