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1、图形的变换 前苏联数学家亚格龙将几何学定义为：几何学是研究几何图形在运动中不变的那些性质的学科。 几何变换是指把一个几何图形 Fl变换成另一个几何图形 F2的方法，若仅改变图 形的位置，而不 改变图形的形状和大小，这种变换称为合同变换，平移、旋转是常见的合同变换 如图 1，若把平面图形 Fl上的各点按一定方向移动一定距离得到图形 F2后，则由的变换叫平移变换 平移前后的图形全等，对应线段平行且相等，对应角相等 如图 2，若把平面图 Fl绕一定点旋转一个角度得到图形 F2，则由 Fl到 F2的变换叫旋转变换，其 中定点叫旋转中心，定角叫旋转角 旋转前后的图形全等，对应线段相等，对应角相等，对应点
2、到旋转中心的距离相等 通过平移、旋转、轴反射，把部分图形搬到新的位置，使问题的条件相对集中，从而使条件与 待求结论之间的关系明朗化，促使问题的解决 注 合同变换、等积变换、相似变换是基本的几何变换等积变换，只是图形在保持面积不变情况 下的形变而相似变换，只保留线段间的比例关系，而线段本身的大小要改变 典型例题 例 1、如图，在矩形 ABCD 中，AB=8，BC=4，将矩形沿 AC折叠，则重叠部分AFC 的面积为( ) A12 D10 C8 D6 例 2、如图，正方形 ABCD 的边长为 3，E 在 BC 上，且 BE=2，P 在 BD上，则 PE+PC 的最小 1 值为( ) A2 3 B 1
3、3 C 14 D 15 例 3、如图，ABCD 是矩形纸片，E 是 AB上一点，且 BE：EA5：3，EC=15 5 ， 把BCE沿折痕 EC向上翻折，若点 B 恰好落在 AD 边上，设这个点为 F，求 AB、BC 的长 例 4、如图，P 为正方形 ABCD内一点，PA：PB：PC1：2：3，则APD= 例 5、如图，在等腰 RtABC的斜边 AB上取两点 M，N，使MCN=45，记 AMm，MN= x，DN=n，则 以线段 x、m、n 为边长的三角形的形状是( ) A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D随 x、m、n 的变化而改变 2 例 6、如图，在等腰ABC的两腰 AB、AC上分别
4、取点 E 和 F，使 AE=CF已知 BC=2，求证：EF1 例 7、如图，等边ABC的边长为 a 2512 3 ，点 P 是ABC内的一点，且 PA2+PB2PC2，若 PC=5，求 PA、PB 的长 3 课后训练 1如图，一牧童在 A 处牧马，牧童家在 B 处，A、B 处距河岸的距离 AC、BD的长分 别为 500m 和 700m，且 C、D 两地的距离为 500m，天黑前牧童从 A 点将马牵引到河边 去饮水后，再赶回家，那么牧童至少要走( ) A100 29 m B1200m C 1300m D1700m 2如图，在菱形 ABCD 中，AB=4a，E 在 BC 上，BE=2 a ，BAD
5、=120，P 点在 BD 上， 则 PE+PC 的最小值为( ) A6 a0 B5 a C4 a D 2 3 a 3如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 AC=6，BC=8，现将直角边 AC 沿直 线 AD 折叠，使它落在斜边 AB上，且与 AE 重合，则 CD等于 4如图，在ABC 中，AB3，AC4，BC=5，现将它折叠，使点 B 与点 C 重合，则折 痕的长是 5如图，P 是正方形 ABCD 内一点，现将ABP 绕点 B 顾时针方向旋转能与CBP重合，若 PB=3， 则 PP= 6如图，P 是等边ABC内一点，PA6，PB=8，PC10，则APB 7如图，四边形 ABCD中，ABCD，D
6、=2B，若 AD=a，AB=b，则 CD的长为 第 5 题 第 6 题 第 7 题 8如图，把ABC 沿 AB 边平移到ABC的位置，它们的重叠部分(即图中阴影部分)的面积是ABC 的面积的一半，若 AB= 2 ，则此三角形移动的距离 AA是( ) 4 2 A 2 1 B Cl D 2 1 2 9如图，已知ABC 中，AB=AC，BAC=90，直角 EPF的顶点 P 是 BC中点，两边 PE、PF 分别交 1 AB、AC 于点 C、F，给出以下四个结论：AE=CF；EPF是等腰直角三角形；S四边形 AEPF= S 2 ABC；EF=AP当EPF 在ABC内绕顶点 P 旋转时(点 E 不与 A、
7、B 重合)，上述结论中始终正确的有 ( ) A1 个 B2 个 C 3 个 D4 个 10如图，在四边形 ABCD 中，ABBC，ABC=CDA=90，BEAD 于 E， S四边形 ABCDd=8，则 BE 的 长为( ) A2 B3 C 3 D 2 2 第 8 题 第 9 题 第 10题 11如图，正方形 ABCD 和正方形 EFGH的边长分别为 2 2 和 2 ，对角线 BD、FH都在直线l 上，O1、O2 分别为正方形的中心，线段 O1O2的长叫做两个正方形的中心距，当中心 O2在直线l 上平移时，正方 形 EFGH 也随之平移，在平移时正方形 EFGH的形状、大小没有变化 (1)计算：
8、O1D= ，O2F= ； (2)当中心 O2在直线l 上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距 O1O2= ； (3)随着中心 O2在直线 l 上平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化?并求出相对应的中心距 的值或取值范围(不必写出计算过程) 12图形的操做过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为 a，竖直方向的边长均为 b）： 在图 a 中 ，将线段 A1A2向右平移 1 个单位到 B1B2,得到封闭图形 A1A2B1B2（即阴影部分）； 在图 b 中， 将折线 A1A2A3向右平移 1 个单位到 B1B2B3，得到封闭图形 A1A2A3B1B2B3（即阴影部分）； 5 （1） 在图
9、c 中,请你类似地画一条有两个折点的折线,同样向右平移 1 个单位,从而得到一个封闭 图形,并用斜线画出阴影； （2） 请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：S1= ，,S2= ， S3= ； （3） 联想与探索： 如图 d，在一块矩形草地上,有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是 1 个单位）， 请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的 13如图，在 RtABC中，A90，AB3cm，AC=4cm，以斜边 BC上距离 B 点 3cm 的点 P 为中心， 把这个三角形按逆时针 方向旋转 90至DEF，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是 cm2 14如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，D=90，BC=CD=12，ABE=45，点 E 在 DC 上，AE、BC的 延长 +S 的值是 第 13题 第 14题 第 15题 第 16题 第 17题 15如图，在ABC中，BAC=120，P 是 ABC内一点，则 PA+PB+PC与 AB+AC 的大小关系是 ( ) APA+PB+PCAB+AC BPA+PB+PCDC 6