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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 4.2 直线、圆的位置关系 4.2.1 直线与圆的位置关系 【选题明细表】 知识点、方法题号 直线与圆位置关系的判定3,4 相交问题1,5,6,11 相切问题2,7,8,9 直线与圆位置关系的应用9,10,12,13 1.(2018云南昆明模拟)已知直线 l:y=x+m 与圆 C:x2+(y-3)2=6 相 交于 A,B 两点,若|AB|=2,则实数 m 的值等于( C ) (A)-7 或-1(B)1 或 7 (C)-1 或 7(D)-7 或 1 解析:圆心(0,3)到直线 l 的距离 d=, 故+2=6,解得:m=-1 或 m=7,故选 C. 2.
2、若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x-3y=0 和 x 轴相切, 则该圆的标准方程是( B ) (A)(x-3)2+(y- )2=1 (B)(x-2)2+(y-1)2=1 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (C)(x-1)2+(y-3)2=1 (D)(x- )2+(y-1)2=1 解析:设圆心为(a,1),由已知得 d=1,由 a0,所以 a=2. 3.(2018江西新余高一期末)曲线 y=1+与直线 kx-y-2k+4=0 有 两个交点时,实数 k 取值范围是( A ) (A)(, )(B)(, ) (C)( , ) (D)(0,) 解析:曲线 y=1+,因为 x
3、-2,2,y=1+1,所以 x2+(y- 1)2=4,表示圆心为 M(0,1),半径 r=2 的圆的上半部分.直线 y=k(x- 2)+4 表示过定点 P(2,4)的直线,当直线与圆相切时,由圆心到直线 kx-y+4-2k=0 的距离 d=2,解得 k=.当直线经过点 B(-2,1)时, 直线 PB 的斜率为 k= .所以要使直线与曲线有两个不同的公共点,则 必有r, 所以点 M(-2,4)在圆 C 外,切线有两条. (1)当切线的斜率存在时,设过点 M(-2,4)的圆 C 的切线方程为 y- 4=k(x+2),即 kx-y+2k+4=0. 由圆心 C(1,0)到切线的距离等于半径 3, 得=
4、3. 解得 k=-,代入切线方程得 7x+24y-82=0. (2)当切线的斜率不存在时,圆心 C(1,0)到直线 x=-2 的距离等于半 径 3, 所以 x=-2 也是圆 C 的切线方程. 综上(1)(2),所求圆 C 的切线方程为 x+2=0 或 7x+24y-82=0. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 9.若直线 ax+by-3=0 和圆 x2+y2+4x-1=0 相切于点 P(-1,2),则 ab 的值 为( C ) (A)-3 (B)-2 (C)2 (D)3 解析:圆的标准方程为(x+2)2+y2=5,直线与圆相切,则圆心到直线距离 为,所以=, 整理得 a2-12a+5
5、b2-9=0 且直线过 P(-1,2),代入得 2b-a-3=0, 两式联立,得 a=1,b=2,所以 ab=2, 故选 C. 10.(2018宁夏中卫市二模)已知从圆 C:(x+1)2+(y-2)2=2 外一点 P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为 M,O 为坐标原点,且有|PM|=|PO|, 则当|PM|取最小值时点 P 的坐标为 . 解析: 如图所示,圆心 C(-1,2),半径 r=. 因为|PM|=|PO|, 所以|PO|2+r2=|PC|2(C 为圆心,r 为圆的半径), 所以+ +2=(x1+1)2+(y1-2)2,即 2x1-4y1+3=0.要使|PM|最小,只要 |PO|最
6、小即可. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 当直线 PO 垂直于直线 2x-4y+3=0 时,即直线 PO 的方程为 2x+y=0 时,|PM|最小,此时 P 点即为两直线的交点,得 P 点坐标(-, ). 答案:(-, ) 11.已知直线 ax+y-2=0 与圆心为 C 的圆(x-1)2+(y-a)2=4 相交于 A,B 两点,且ABC 为等边三角形,则实数 a= . 解析:依题意,圆 C 的半径是 2,圆心 C(1,a)到直线 ax+y-2=0 的距离等 于2=, 于是有=, 即 a2-8a+1=0, 解得 a=4. 答案:4 12.(2018河南平顶山高一期末)设有一条光线从
7、P(-2,4)射出,并 且经 x 轴上一点 Q(2,0)反射. (1)求入射光线和反射光线所在的直线方程(分别记为 l1,l2); (2)设动直线l:x=my-2,当点M(0,-6)到l的距离最大时,求l,l1,l2 所围成的三角形的内切圆(即圆心在三角形内,并且与三角形的三边 相切的圆)的方程. 解:(1)因为 kPQ=-, 所以 l1:y=-(x-2), 因为 l1,l2关于 x 轴对称, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以 l2:y=(x-2). (2)因为 l 恒过点 N(-2,0), 当 MNl 时,M 到 l 的距离最大,因为 kMN=-,所以 m=,所以 l 的方
8、程为 x=y-2, 设所求方程为(x-2)2+(y-t)2=r2,所以 r=,得 t=2, 所以所求方程为(x-2)2+(y-2)2=1. 13.(2018兰州二十七中高二上期末)已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线 4x+3y-29=0 相切. (1)求圆的方程; (2)设直线 ax-y+5=0 与圆相交于 A,B 两点,求实数 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,是否存在实数 a,使得过点 P(-2,4)的直线 l 垂直 平分弦 AB?若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由. 解:(1)设圆心为 M(m,0)(mZ), 由于圆与直线 4x+3
9、y-29=0 相切且半径为 5, 所以=5, 即|4m-29|=25. 因为 m 为整数,故 m=1. 故所求的圆的方程是(x-1)2+y2=25. (2)直线 ax-y+5=0,即 y=ax+5, 代入圆的方程消去 y 整理,得 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (a2+1)x2+2(5a-1)x+1=0. 由于直线 ax-y+5=0 交圆于 A,B 两点, 故=4(5a-1)2-4(a2+1)0, 即 12a2-5a0,解得 a. 所以实数 a 的取值范围是(-,0)(,+). (3)设符合条件的实数 a 存在, 由(2)得 a0,则直线 l 的斜率为- ,l 的方程为 y=- (x+2)+4, 即 x+ay+2-4a=0. 由于 l 垂直平分弦 AB,故圆心 M(1,0)必在 l 上, 所以 1+0+2-4a=0,解得 a= . 由于 (,+),故存在实数 a= , 使得过点 P(-2,4)的直线 l 垂直平分弦 AB.