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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 考点规范练考点规范练 20 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理 考点规范练第考点规范练第 25 页页 基础巩固组基础巩固组 1.在ABC中,若 AB=,BC=3,C=120,则 AC=( ) 13 A.1B.2C.3D.4 答案 A 解析由余弦定理得 13=9+AC2+3ACAC=1.故选 A. 2.(2017台州二次适应性测试)在ABC 中,内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,且 a2+b2-c2=ab=,则 3 ABC的面积为( ) A.B.C.D. 3 4 3 4 3 2 3 2 答案 B 解析依题意得 cos C=,C=60,因此AB
2、C的面积等于 absin C=,故选 B. 2+ 2 - 2 2 = 1 2 1 2 1 2 3 3 2 = 3 4 3.(2017浙江温州瑞安模拟)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c.asin Bcos C+csin Bcos A= b,且 ab,则B=( ) 1 2 A.B.C.D. 6 3 2 3 5 6 答案 A 解析利用正弦定理化简已知等式得:sin Asin Bcos C+sin Csin Bcos A= sin B,sin B0,sin Acos 1 2 C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin B= ,ab,AB,即B 为锐角,则B= .故选
3、 A. 1 2 6 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 4.在ABC中,角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c.若 a=1,则 A= . sin sin = 1 2 + cos 答案 60 解析由条件, sin sin = 1 2 + cos 得 = 1 2 + cos 则 b= c+cos C= c+,即 b2+c2=bc+1, 1 2 1 2 1 + 2 - 2 21 1=b2+c2-2bccos A,可得 cos A= ,A=60. 1 2 5.(2018浙江高考)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a=,b=2,A=60,则 sin 7 B= ,c=
4、 . 答案 3 21 7 解析由正弦定理, sin = sin 可知 sin B=. sin = 2sin60 7 = 2 3 2 7 = 21 7 a=b=2,B 为锐角. 7 cos B=.1 - sin2 = 4 7 = 27 7 cos C=-cos(A+B)=sin Asin B-cos Acos B=. 3 2 21 7 27 7 1 2 = 37 - 2 7 14 = 7 14 由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcos C=7+4-22=7+4-2=9.c=3. 7 7 14 6.(2018浙江诸暨 5 月适应考试)在三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对边分别是 a,b
5、,c,已知 sin A+sin B= sin 5 4 C,且ABC的周长为 9,则 c= ;若ABC 的面积等于 3sin C,则 cos C= . 答案 4 - 1 4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析ABC中,角 A,B,C 所对边分别是 a,b,c, sin A+sin B= sin C,由正弦定理得 a+b=, 5 4 5 4 又ABC 的周长为 9,则 c+=9,解得 c=4. 5 4 若ABC 的面积等于 3sin C,即 absin C=3sin C, 1 2 整理得 ab=6.又 a+b=5, 5 4 解得cos C=- . = 2, = 3,或 = 3, =
6、2, 2+ 2 - 2 2 1 4 能力提升组能力提升组 7.(2018浙江温州期末)在ABC 中,角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,若(a2+b2-c2)tan C=ab,则角 C 的大 小为( ) A.B.C.D. 6或 5 6 3或 2 3 6 2 3 答案 A 解析由(a2+b2-c2)tan C=ab 可得,tan C= , 2+ 2 - 2 2 1 2 由余弦定理可得 cos Ctan C=sin C= , 1 2 因为 0C,所以角 C 的大小为,故选 A. 6或 5 6 8.在ABC中,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,已知B=30,ABC 的面积为 ,且 sin
7、 A+sin C=2sin B,则 3 2 b的值为( ) A.4+2B.4-2C.-1D.+1 3333 答案 D 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析由已知可得 acsin 30= ,解得 ac=6, 1 2 3 2 又 sin A+sin C=2sin B,由正弦定理可得 a+c=2b, 由余弦定理:b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac-ac=4b2-12-6,解得 b2=4+2,b=1+.故选 3333 D. 9.在锐角ABC 中,若 A=2B,则 的范围是(a,b 分别为角 A,B的对边长)( ) A.()B.(,2)C.(0,2)D.(,2) 2,3
8、32 答案 A 解析A=2B,根据正弦定理得=2cos B.(sin B0)A+B+C=180,3B+C=180, = sin sin = 2sincos sin 即 C=180-3B.角 C为锐角,30B60.又 0A=2B90,30B45,cos B,即 2 2 3 2 2 2cos B,则 的取值范围是(),故选 A. 3 2,3 10.在ABC 中,内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,已知 a=1,2b-c=2acos C,sin C=,则ABC 的面积 3 3 2 为( ) A.B.C.D. 3 2 3 4 3 2 或 3 4 3或 3 2 答案 C 解析根据正弦定理可得 2s
9、in B-sin C=2sin Acos C,而 sin B=sin(A+C),整理为 2cos Asin C=sin C, 33 所以 cos A=,所以 A=30,解得 c=,因为 sin C=,所以 C=60或 C=120,当 C=60 3 2 sin = sin 3 3 2 时,B=90,此时ABC 的面积为 S= ac=,当 C=120时,B=30,此时ABC 的面积为 S= acsin B=, 1 2 3 2 1 2 3 4 故选 C. 11.在锐角ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a=2bsin C,则 tan A+tan B+tan C 的最小值是 (
10、) A.4B.3C.8D.6 33 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 C 解析a=2bsin C,sin A=2sin Bsin C=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,两边同除 cos Bcos C, 2tan Btan C=tan B+tan C,又 tan Atan Btan C=tan A+tan B+tan C, tan B+tan C=, 2tan tan - 2 tan A+tan B+tan C=tan A+=tan A-2+48,当且仅当 tan A=4 时取等号. 2tan tan - 2 4 tan - 2 12.在ABC 中,角
11、 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,若角 A,B,C依次成等差数列,且 a=1,b=,则 S 3 ABC= . 答案 3 2 解析因为角 A,B,C 依次成等差数列,所以 B=60.由正弦定理,得,解得 sin A= ,因为 1 sin = 3 sin60 1 2 0A180,所以 A=30或 150(舍去),此时 C=90,所以 SABC= ab=. 1 2 3 2 13.在等腰ABC 中,AB=AC,AC 边上的中线 BD 长为 6,则当ABC 的面积取得最大值时,AB 的长 为 . 答案 4 5 解析根据题意,设 AB=AC=2x,则 AD=x(2x6),由余弦定理,得 cos A=
12、 2+ 2- 2 2 = 52 - 36 42 = 5 4 , 9 2 所以 sin A=, 1 - ( 5 4 - 9 2) 2 所以 SABC= ABACsin A= 4x2=224,当 x2=20,即 x=2时 1 2 1 2 1 - ( 5 4 - 9 2) 2 - 9 16 ( 2 - 20)2+ 144 5 等号成立,所以当ABC 的面积取得最大值时,AB的长为 4. 5 14.(2017浙江温州模拟改编)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 a=2,2cos 2+sin A= , + 2 4 5 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)若满足条件
13、的ABC 有且只有一个,则 b 的取值范围为 ; (2)当ABC的周长取最大值时,则 b 的值为 . 答案(1)(0,2 (2) 10 3 10 解析(1)2cos2+sin A= 1+cos(B+C)+sin A= ,即 sin A-cos A=- , + 2 4 5 4 5 1 5 又0A,且 sin2A+cos2A=1,有若满足条件的ABC 有且只有一个,则有 a=bsin A sin = 3 5, cos = 4 5, 或 ab,则 b 的取值范围为(0,2; 10 3 (2)设ABC 的周长为 l,由正弦定理得 l=a+b+c=a+(sin B+sin C)=2+sin sin 10
14、 3 B+sin(A+B)=2+(sin B+sin Acos B+cos Asin B)=2+2(3sin B+cos B)=2+2sin(B+),其中 为锐角, 10 3 10 且lmax=2+2,当 cos B=,sin B=时取到等号,此时 b=sin B=. sin = 10 10 , cos = 310 10 , 10 10 10 310 10 sin 10 15.(2018江苏调研)已知ABC 中,若角 A,B,C对应的边分别为 a,b,c,满足 a+ +4cos C=0,b=1. 1 (1)若ABC的面积为,求 a; 3 2 (2)若 A= ,求ABC 的面积. 6 解(1)由
15、 S= absin C= asin C=得 asin C=,即 sin C=.又 a+ =-4cos C,那么 a+ 2=16cos2 1 2 1 2 3 2 3 3 1 1 C=16(1-sin2 C)=16-,即 a4-14a2+49=0,得到 a2=7,即有 a=. 48 2 7 (2)由题意有 a+ =-4cos C 及余弦定理 cos C=,有 a+ =-4=-,即 1 2+ 2 - 2 2 1 2+ 2 - 2 2 2(2+ 1 - 2) a2+1= c2, 2 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 又由 b2+c2-a2=2bccos A可知 c2-a2+1=c, 3
16、由得到 c2-3c+6=0,即(c-)(c-2)=0,可知 c=或 c=2.经检验,c=或 c=2均符合 3333333 题意, 则ABC 的面积为 S= bcsin A=. 1 2 3 2 或 3 4 16.(2017浙江名校联考)在ABC 中,内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,已知 c=2,C= . 3 (1)当 2sin 2A+sin(2B+C)=sin C 时,求ABC的面积; (2)求ABC周长的最大值. 解(1)由 2sin 2A+sin(2B+C)=sin C,得 4sin Acos A-sin(B-A)=sin(A+B),得 2sin Acos A=sin Bcos A,当 cos A=0时,A= ,B= ,a=,b=, 2 6 43 3 23 3 当 cos A0 时,sin B=2sin A,由正弦定理 b=2a,联立解得 a=,b=,故三角形 2+ 2 - = 4, = 2, 23 3 43 3 的面积为 SABC= absin C=; 1 2 23 3 (2)由余弦定理及已知条件可得 a2+b2-ab=4,由(a+b)2=4+3ab4+3得 a+b4,故ABC 周 ( + )2 4 长的最大值为 6,当且仅当三角形为正三角形取到.