二章节矩阵及其运算.ppt

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1、第二章 矩阵及其运算,矩阵概念 矩阵运算 特殊矩阵 逆矩阵 分块矩阵 初等矩阵 矩阵的秩,矩阵的基本概念,一. 历史,“矩阵 (matrix)” 这个 词首先是英国数学家 西尔维斯特使用的.,他为了将数字的矩形 阵列区别于 行 列 式 (determinant)而发明 了这个述语.,英国数学家凯莱 被公认为是矩阵 论的创立者.,他首先把矩阵作为 一个独立的数学概 念, 并发表了一系 列关于这个题目的 文章.,例1. 某厂家向A, B, C三个商场发送四款产品.,甲 乙 丙 丁,单价,重量,二. 实例,例2. 四个城市间的单向航线如图所示.,若用aij表示从i市到j市航线的条数, 则上图信息可表

2、示为,三. 定义,1. mn矩阵,元素(element/entry) aij (1 i m, 1 j n),注: 今后除非特别说明, 我们所考虑的矩阵都 是实矩阵.,元素都是实数实矩阵(real ),元素都是复数复矩阵(complex ),3. 向量(vector),行向量(column vector) a1, a2, , an,列向量(row vector),第i分量 (ith component) ai (i = 1, , n),n阶方阵: nn矩阵,2. 方阵(square matrix),见例2.,一个11的矩阵 就是一个数,4. 同型(same-sized): 行数相等, 列数也相等

3、,5. 两个矩阵相等(equal),与,同型,与,不同型,A = aijmn与B = bijmn相等:,对1 i m, 1 j n, aij = bij都成立,记为A = B.,大前提: 同型,定义1 设有两个 矩阵 和 ，那么矩阵 与矩阵 的和记作 规定为,1. 矩阵的加法,一、矩阵运算,运算规律 （设 ， ， 都是 矩阵）,其中 ， 称为矩阵 的负矩阵.,（1）,（2）,（3）,由此可规定矩阵的减法为,定义2 数 与矩阵 的乘积记作 或,2. 数与矩阵相乘,规定为,运算规律(设 ， 都是 矩阵， 是数),（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,当且仅当 或,规定:矩阵 与矩阵 的乘积是一个

4、 矩阵,3. 矩阵的乘法,定义3 设 ，,其中,并把此乘积记作,矩阵的第 行第 列的元 就是 的第 行与 的第 列的乘积,例1,求,解,显然,求 ，并问 是否有意义？,解,显然 无意义,例2,例3,求,解,显然,总之，一般说来，,不过，在有些情况下，也可能有,例如：,即矩阵的乘法不满足交换律,不难验证：,一般地，如果矩阵 ， 的乘积与次序无关,即 ，称矩阵 ， 可交换,结合律和分配律：,（1）,（2）,（3）,上式称为从变量 ， ， ， 到变 量 ， ， ， 的线性变换.,的线性函数，即,例4 设变量 均可表示成变量,其中 为常数,令,利用矩阵的乘法，则上述线性变换可写成矩阵形式:,利用矩阵的

5、乘法和矩阵乘法的结合律，可以方便地连续施行线性变换,例5 已知两个线性变换,解 上述两个线性变换的系数矩阵分别为,记,则上述两个线性变换可分别写成为 :,于是,即,即,由于矩阵的乘法适合结合律， 所以方阵的幂满足：,设 是 阶方阵，定义,显然， 就是 个 连乘,4. 方阵的幂,其中 为正整数,只有 是方阵时，它的幂才有意义,（1）,（2）,由于矩阵的乘法不满足交换律，所以对于 同阶方阵 和 ，一般说来,则,仍为一个 阶方阵，称 为方阵 的多项式,n阶单位矩阵,设,为 次多项式， 为 阶方阵，则,其中,例6 设,求,解,因为,用数学归纳法，设,则,故,称为 阶单位矩阵,简记作,记作,二. 特殊矩

6、阵,单位矩阵,特点：,从左上角到右下角的直线（即主对角线）上,的元素都是1，其他元素都是0，即单位矩阵,结论：,的 阶方阵称为对角矩阵,形如,记作,特点：主对角线上以外的元素全是零,对角矩阵,性质：,（1）,（2）,（3）,（4）,特别地，主对角线上元素都相等的对角矩阵 称为数量矩阵,即,记作,设 为任一 阶方阵， 为任一 阶数量矩阵,即 阶数量矩阵与任一 阶方阵 相乘可交换,则,当 时，数量矩阵即为单位矩阵,解,其中,显然,定理得到,形如,的矩阵称为上三角矩阵,特点：主对角线的左下方的元素全为零,3.三角矩阵,直接验证可知,类似地，我们同样可以定义下三角矩阵， 也就是：主对角线右上方的元素全

7、为零 矩阵，它具有与上三角矩阵类似性质,例如 ：,性质：,（1）,（2）,（3）,（4）,4.转置矩阵,证 性质（1）（3）是显然的，这里仅给 出（4）的证明.,设,记,于是按矩阵乘法的定义，有,所以,即,亦即,由（4），根据数学归纳法可证,因此,那么 称为对称矩阵；,则称 为反对称矩阵,设 为 阶方阵，,如果,特点：,对称矩阵的元素以主对角线为对称轴对应相等,即有,反对称矩阵有,该矩阵主对角线上的元素全为0.,如果,对称矩阵和反对称矩阵,反对称矩阵,对称矩阵,形式：,例2,是对称矩阵.,证明 因 是 阶矩阵，且,故 是 阶对称矩阵,同理， 是 阶对称矩阵,是对称矩阵，且,证 首先请注意,是一

8、阶方阵，即一个数，,所以 是对称矩阵.,基本性质：,对称矩阵（其中 为任意常数）.,都是,为对称矩阵的,充要条件是,定理 设 ， 是两个 阶方阵，则,推论 设 均为 阶方阵，则,6.方阵乘积的行列式,称为矩阵 的伴随矩阵试证,（2）当 时，,例4 阶方阵 的各个元素的代数 余子式 所构成的如下的矩阵,（1）,证 （1）设 ，则,于是,类似地，,（2）由（1）且根据本节定理1可知,由于 ，故,在数的乘法中，如果常数 ，则,存在 的逆 ： ，使,这使得求解一元线性方程 变得非常简单,对 阶方阵 ，是否也存在着“逆”,即是否存在一个 阶方阵 使,三. 逆矩阵,则称 是可逆的，并把矩阵 称为 的逆矩阵

9、,如果方阵 可逆，则它的逆矩阵是唯一的,使,注意：在定义中， 、 的地位是平等的,即如果（1）成立，则 也可逆，并且,例1 设,解 因为,所以,定理 方阵 可逆的充分必要条件是,且当 可逆时，,其中 为矩阵的伴随矩阵.,注：当 时，称 为非奇异矩阵，,否则称为奇异矩阵,可逆矩阵就是非奇异矩阵同时，定理也提供了一种求逆矩阵的方法伴随矩阵法,因为 可逆，即存在 ，,故,所以,由本章第二节例知，,因为,故有,所以，按逆矩阵的定义，即有,证 必要性.,使,充分性.,什么条件时，方阵 可逆？,可逆.,这时,当 可逆时，求,则,（1）若 阶方阵 可逆，则 也可逆,且,（2）若 可逆，数 ，则 可逆,且,推

10、论 若 阶方阵 、 满足,运算规律,（3）若 、 为同阶方阵且均可逆，,（4）若 可逆，则 也可逆，且,（5）若 可逆，且 ，则,例3 求方阵 的逆矩阵,解,所以 存在，且,而,类似可得,从而,例4 设 为4阶方阵， ，,求 的值.,解 因为 ，所以 可逆，且,所以,例5 设 均为 阶可逆矩阵，证明,证 （1）由 可知，,（1）,（2）,为可逆矩阵.,又,所以,（2） 由,从而,可得,将矩阵 用若干条横线和竖线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为 的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵,1.概念,例如：对于矩阵,四、分块矩阵,即 、 、 为 的子块，而 形式上成为以这些子块为元素的分块矩

11、阵.,可记为,对上述第一种分法,（1）加法 ：设同型矩阵 与 有相同的分块法,2.分块矩阵的运算,与 也是 同型阵,则,（2）数乘 用数 乘一个分块矩阵时，等于用 去乘矩阵的每一个块，即,设 为 矩阵， 为 矩阵，分块成,其中 ， ， ， 的列数分别,等于 , , , 的行数,（3）分块矩阵的乘法,其中,则,（4）分块矩阵的转置,设矩阵A可写成分块矩阵,则矩阵 的转量阵 为,（5）分块对角矩阵,设 为 阶方阵，若 的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，其它子块都是零矩阵，且非零子块都是方阵，即,其中 都是方阵，则称为分块对角矩阵,设,其中 ， 是同阶的子方块,等于多少呢？,例1 设矩阵,求 及

12、,解 令,则,所以,由于,例2 设 阶方阵 与 阶方阵 都是可逆矩阵，,求,解 令,有,于是,解此得,所以,上式可以作为公式应用.,如 等,矩阵按行分块和按列分块,矩阵 有 行，称为矩阵 的 个行向量将第 行记作,这里列向量（列矩阵）常用小写黑体字母表示,而行向量（行矩阵）则用列向量的转置表示,如 等,注：,则矩阵 可记为,同理也可以按列分块，此时,对于线性方程组,此方程组可记作,若将系数矩阵按行分成 块，则线性方程组,这就相当于把每个线性方程记作,可记成,其中,另外，若记,则,初等矩阵,初等矩阵,定义 由 n 阶单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为 n 阶初等矩阵,三种初等变换对应着三种初

13、等矩阵,（1）对调 阶单位矩阵 的第 两行（或两列），得到的初等矩阵记为,（2）用数 乘 的第 行（或第 列）得到的矩阵，记为,（3）用数 乘 的第 行加到第 行上（或以 乘 的第 列加到第 列上）得到的矩阵，记为,由于,所以,定理1（初等变换和初等矩阵的关系）,设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在矩阵 的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在矩阵 的右边乘以相应的 阶初等矩阵，即,证 将矩阵 表示成按行分块的分块矩阵,其中,于是,其结果相当于矩阵 进行一次第一种初等行,变换，即交换矩阵的第 两行.,其结果相当于矩阵 进行一次第二种初等行,又,变换，即用数

14、乘矩阵 的第 行各元素.,又,其结果相当于矩阵 进行一次第三种初等行,变换，即用数 乘矩阵 的第 行加到第 元素.,利用初等变换求逆矩阵,定理2 对于任一 矩阵 ，一定存在有限个 阶初等矩阵 和 阶初等方阵 使,定理3 阶矩阵 可逆的充要条件是,存在有限个 阶初等矩阵,即,使得,可逆矩阵 一定与单位矩阵等价,证 必要性 由定理2，对 阶矩阵,存在 阶初等矩阵,若 ，则 的对角线上必有零元素,使,下面证明：如果矩阵 可逆，则,在（1）的两端取行列式，并利用方阵的行,列式性质，有,于是，,仍可逆，故 可逆.,中必至少有一个是零，这与,均为可逆矩阵相矛盾.,充分性：设,因初等矩阵可逆，有限个可逆矩阵

15、的乘积,故,定理4 设 为可逆矩阵，,则存在有限个初等矩阵,推论 矩阵 与 等价的充要条件,使,是存在 阶可逆矩阵 和 阶可逆矩阵,使,例1 设,求,解,所以,矩阵的初等行变换还可用于求解矩阵方程,显然,而,且 可写成有限个初等方阵的乘积，即,其中 为可逆矩阵,从而,当把 变成 时， 就变成,例2 解矩阵方程,因此，若对矩阵 施行初等行变换,解,故,矩阵的秩,矩阵的秩,定义1 在矩阵 中任选 行 列,其交叉处的 个元素,按原来的位置构成的 阶行列式,称为矩阵 的 阶子式,其中不为零的子式称为非零子式,矩阵的 阶子式共有 个,例1,选取第一行和第三行，第二列和第三列，其交叉处的元素按原来位置构成

16、的二阶行列式,就是矩阵 的一个二阶子式,定义2 如果在矩阵 中有一个 阶非零子 式 ，且所有的 阶子式（如果存在的 话）全等于零，那么 称为矩阵 的最高 阶非零子式，数 称为矩阵 的秩， 记作 ，即 规定零矩阵的秩为 ,在矩阵 中,当所有的 阶子式全 等于零时，由行列式的性质3可知，所有 高于 阶的子式（如果存在的话）也 全等于零，因此 的秩 就是 中 不等于零的子式的最高阶数,例2 证明,（1） （2） 阶方阵 可逆的充要条件为 （3）若删去矩阵 的一行（列）得到矩阵 则,证 （1）由于行列式转置后值不变,所以 中非零子式的最高阶数,与 中非零子式的最高阶数相等,即,（2） 阶方阵 可逆的充

17、要条件是,（3）由于矩阵 的非零子式必是矩阵 的,补充：由（2）知，可逆矩阵的秩等于其 阶数，故可逆矩阵又称满秩矩阵不可逆 的方阵（奇异矩阵）又称为降秩矩阵,由矩阵秩的定义得,一个非零子式，故,例3 求矩阵的秩,的子式的最高阶数是3,解,它共有4个3阶子式,容易算出，它们的值都为零,又 中的二阶子式,故,用初等变换求矩阵的秩,即若 ，则,由此定理，为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩,定理 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，,例4 设,且 ，求 及,解 用初等行变换将矩阵 化为行阶梯形矩阵 ，则 即为 的行阶梯形矩阵，故可从 中同时求出,因此,从矩阵 的行阶梯形矩阵可知,本例中的 与 所对应的线性方程组,是无解的,