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1、斐波那契數列,一個很有趣的數學問題:,假設每一對新生的小兔子,一個月後便會長大,且每一個月都生一對小兔子。已知每次新生的一對兔子都是一雄一雌,而所有兔子都沒有死去,且隔代的兔子不會互相交配。 若現有一對小兔子,問一年後共有兔子多小對呢?,233,144,89,55,34,21,13,8,5,3,2,1,1,兔子總 對數,144,89,55,34,21,13,8,5,3,2,1,1,0,大兔子 對數,89,55,34,21,13,8,5,3,2,1,1,0,1,小兔子 對數,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,月數,一年後兔子的總數為 233 對,斐波那契數列,兔子的總對
2、數是 1，1 ，2 ，3 ， 5 ， 8 ， ，,斐波那契數列(Finonnaci sequence) 自第三項開始,每一項都是前兩項的和,數列中的每一項則稱為 斐波那契數(Fibonnaci Number) 以符號 Fn 表示。 F1 = F2 = 1 ，而 Fn = Fn-1 + Fn-2 (n2),斐波那契數與黃金比值,將兩個連續的斐波那契數相比:,1,1,2,3,5,8,13,21,34, 55,89,144,233,377, 610,987,由此可觀察到: 此數也就是黃金比,另一說法,斐波那契數與黃金比值,將兩個連續的斐波那契數相比:,1,1,2,3,5,8,13,21,34, 55
3、,89,144,233,377, 610,987,由此可觀察到: 此數也是黃金比,由此, 暗示了無論(尤其是在自然現象中)在那裡出現黃金比值,也就會出現斐波那契數, 反之亦然。,斐波那契數與黃金比值,向日葵的種子 植物的枝節 菠蘿的表皮 花瓣的數目 人類的身體 蜂房 其他例子,斐波那契數列與自然界的關係,向日葵的種子,綠色表示按順時針排列的種子 紅色表示按逆時針排列的種子,植物學家發現： 某種向日葵的種子是按兩組螺線排列，其數目往往是連續的斐波那契數 。,向日葵的種子,普通大小的向日葵：34條順時針螺線 55條逆時針螺線 較大的向日葵： 條順時針螺線 條逆時針螺線,植物的分枝,Back,菠蘿的
4、表皮,菠蘿的中心軸 ： Z 軸 垂直於Z軸的平面： XOY,量度表皮上每一個六角形 的中心與平面XOY的距離,便會發現,菠蘿的表皮,其中三個方向是按等差數列 排列的：,0,5,10,15,20, 0,8,16,24,32, 0,13,26,39,52,公差 5 8 13,三個連續的斐波那契數！,人類的身體,0.618,1,1,0.618,0.618,1,蜂房問題,所以當蜂房號碼是n, 其路線總數有Fn+2,蜂房問題,21,13,8,5,3,2,1,花瓣的數目,斐波那契數!,花瓣的數目是 :,3,5,8,13,21,3,5,5,21,其他例子,鋼琴例子 帕斯卡三角形 蒙娜麗莎的畫像 穿高跟鞋的效
5、應,鋼琴例子,在一個音階中: 白色的鍵數為 8 黑色的鍵數為 5,兩個連續的斐波那契數!,帕斯卡三角形,斐波那契數列!,蒙娜麗莎的畫像,綠線與紅線的長度比為0.618 : 長 為0.618 長 : 為1.618,穿高跟鞋的效應,假設某女士的原本軀幹 與身高比為 0.6 (i.e. x : l = 0.60 ),若所穿的高跟鞋的高度為d 新的軀幹與高度比為:,(x + d) : (l + d) = ( 0.6 l + d) : (l + d),例:某位女士的身高為160 cm (約5呎3寸),穿高跟鞋的效應,0.618,7.62 (3吋),160,0.60,0.612,5.08 (2吋),160,0.60,0.606,2.54 (1 吋),160,0.60,穿了高跟鞋後的新比值 (0.6 l +d):(l +d),高跟鞋高度 (d cm),身高 (l cm),原本軀幹與身高比值 ( x : l),穿高跟鞋使腳長與身高的比值趨向黃金比,由此可見，女士們相信穿高跟鞋使她們更美是有 數學根據的!,0.618,