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1、第十一章 分 形 机械工程学院 李 智,分 形,11.3 自相似维数 11.4 盒维数 11.5 关联维数,自相似维数,一般将维数理解为图形中确定一个点的位置所需要的最 少的独立坐标数。如： 直线的维数是1； 圆、椭圆等平面图形的维数是2； 立方体、球等立体图形的维数是3。 分数维在一定程度上可以反映图形的复杂性。由于分数 维的引进，线和面，面和体之间的绝对界限变得模糊了。 如：Koch Curve。,自相似维数Koch Curve,L0=1,L1=4/3,L2=(4/3)2,L3=(4/3)3,L4=(4/3)4,L5=(4/3)5,自相似维数Koch Curve,当 时， 。 进一步考虑，
2、在Koch Curve上任意取两点，由于 自相似的原因，该两点间的距离是无限长的。显 然，此时并不能采用弧长坐标作为定义曲线上任 意一点位置的参数。 综上所述，Koch Curve不是一维的。,自相似维数,自相似集：设A是度量空间（RD，d）上的有界子 集，如果A可以分成N（1）相等且与 A相似的部分，则称A为自相似集。 自相似维数：如果每部分与A的相似比为 ，则 称D为自相似集的自相似维数。,自相似维数,例 1 N=n2，r=（1/n），D=2,自相似维数,例 2. 求Cantor集的自相似维数。 N=2n，r=（1/3)n,自相似维数,例 3 求Koch Curve的自相似维数 N=4n，
3、r=（1/3)n,自相似维数,例 4 求1/5Cantor集的维数 N=3n，r=（1/5)n，D=log3/log5 其他类型的Cantor集，如：(2n-1)Cantor集、广义 Cantor集、拓扑Cantor集等等。 闭集S称为拓扑Cantor集，如果S满足： 集合S不含有连通子集 集合S不含有孤立点集 由于Cantor集是自密集、无处稠密集。显然，Cantor集 是拓扑Cantor集。,盒维数,盒维数是由前苏联著名数学家Kolmogorov提出的，它也是由覆盖作为基础的。,盒维数,定义 假定要考虑的图形是D维Euclid空间RD中的有界集 合，用半径为 的D维球覆盖其集合时，设 是球
4、 个数的极小值，盒维数可用下式定义：,盒维数,例5 求Cantor集的盒维数 由于Cantor集可以被Sn所覆盖，其中Sn是由2n个长度为 (1/3)n 的区间组成。如果选取 = (1/3)n ，需要2n个这 样的区间覆盖Cantor集。即：,盒维数,例 6 非自相似的分形举例。首先将一个正方形 均匀切成9块，再随意丢弃其中的一块，重复以 上过程，便可得到图11.4.2。求此图的盒维数。,Hausdorff维数,假定D0，用直径0）的可数个球覆盖集合E，设 球直径为d1，d2，则D维的Hausdorff测度为 当测度从0向无限大迁移时，我们称D是集合E的Hausdorff 维数，也可表示成DH
5、。,关联维数,假定试验中测得的一组数据列为 、 、 、 其中xi是第i时刻测量得到的实验值。由于这是一组与 时间有关的数据，且是按时间顺序测量的，所以称为 “时间顺序”。例如第i秒时，布朗粒子离某一中心 (参考点)的距离为xi ，由于不知道实际的相空间的维 数，于是先用这些数据支起一个n维空间。重构这个m 维的“嵌入空间”的办法很多。例如m=10，可把,关联维数,作为10维空间中的一个矢量y1，然后将上面数据序列右移一个数据，把 作为10维空间的第二矢量 y2，依此办法继续下去，于是便构造出一大批矢 量 y1，y2，y3。将他们中任意两矢量只差的绝对值记为 它为矢量yi与yj端点，任意给出一个
6、实数 r，把rijr数目记为 N1(r)，而把 的数目记为 N2(r)，显然，总的点对数目 把距离rij小于r的点对在所有点对中所占的比例记作 C(r)，,关联维数,C(r)是一个重要的参数，它描述相空间中吸引子上 两点之间的距离小于r的概率，又称关联函数。当 数据量太大时，可以通过计算机来完成。 C(r)的计算结果与r的取值有关。如果r取值太大，那 么一切点对距离都不会超过r，这时 , 取对数后有 。这样的r值当然无法反映系统内 部性质，没有意义；如果r取值太小，那么所有的点 对 ，这时 ，于是 ，这样的r值同,关联维数,样也不能反映系统内部的性质，因而也没有意义。也 就是说，r的取值范围（
7、即尺度变换）受到大小两端的 限制。适当地调整r的取值范围，可能在一段r区间内 有 将其和前面维数的定义相比，该式中的指数v是一种 维数，进而定义关联维数为,关联维数,求关联维数的方法如图4-5所示 只需在曲线上求出直线段部分（仅显示出曲线中的直线）的斜 率即可。,关联维数,例 7 求Lorenz吸引子的关联维数，其中r=28， =10，b=8/3。,关联维数,例 8 logistic映射xn+1=rxn(1-xn) ，r=3.5699456 分析：由于r=3.5699456，根据第十章可知吸引 子是混沌的。通过数值计算可知，吸引子构成一个 类似于Cantor集的集合，即：当n1时，吸引子具 有
8、2n的周期。图11.5.4给出了当n比较小时的情形。,关联维数,左图中的点表示周期为2n的稳定循环，右图给出了其对应的x值。当n充分大时，不同的点之间的间隔长度将取决于点的位置，从而导致不同点之间的间隔存在差异，使得该集合趋近于一个拓扑Cantor集，并且近似于一个自相似集。即使对于同一个r处的“分岔”，在不同点处间隔也可能不同。,关联维数,关于极限集的关联维数，Grassberger和Procaccia 做了大量的研究工作。 显然，关联维数小于其盒维数dbox=0.538。,多重分形,从例11.5.2中已经得知logistic映射在不同的点处间隔 可能不同，这不同于1/3Cantor集，其自
9、相似因子为1/3。 这样便不能通过维数来描述logistic映射的特性，或者 需要找到能够反映维数变化的分布函数来描述该模型。 通常称这种集合为多重分形。,多重分形,多重分形,对于分形集F上的测度u，我们将分形集F划分为尺度为的若 干个单元，当这些区域足够小时，该区域的分布可以看成是均 匀的，用ui表示第i个单元中测度u的值，它与尺度之间存在 如下标量关系 uiai 则称ai为Holder指数，又称为奇异性指数，它控制概率密度的 奇异性。若存在若干个单元具有相同的Holder指数，它们的测 度可用u(a)表示。用f(a)表示这些具有相同的Holder指数a的 单元构成的子集和，f(a)是子集和的Hausdorff维数。,多重分形,对于非均匀测度分布，f(a)是a的凸函数，具有如图所示的单峰现象。 对于均匀测度分布，f(a)为 函数，图上的单峰压缩为一条直线。在 多重分形理论中，称f(a)为多重分形的奇异谱，我们可以通过f(a) 对分形集进行定量的描述。,Thanks！,