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1、欢迎光临,高一数学教研组,一元二次方程实根的分布,主讲人：,李盛华,问题的来源： 课本复习参考题.,1、关于 的方程 至少有一个负根的充要条件是 . 2、关于x的方程3x2-10x+k=0有两个同号且不相等的实根，求实数k的取值范围.,问题的误解：,1、条件 是关于x的方程 有 两正根的 条件，而不是 条件. 反例：方程 无实数根. 2、条件 是 的 条件， 而不是 条件. 反例： ，而 .,必要不充分,充要,充分不必要,充要,问题的延伸：,1、若关于x的方程 的两 个根都大于1，则实数 的取值范围 是 . 2、关于x的方程 的两个 根均大于 - 2小于4，求实数 的取值范围.,问题的解决：,
2、例1、若关于x的方程 的两个根都大于1，则实数 的取值范围是 . 分析（1）方程有根，与 有关.仅仅靠韦达定理是不够的. (2)方程有什么样的根，可以结合对应的二次函数图象,数形结合解决.此时与 有 有关，及 有关.,判别式,端点的函数值,对称轴,如图，函数 的图象决定着：,（1）最小值的正负，与判别式有关;,（2）对称轴；,（3）函数值 的正负.,问题的解决：,例1、若关于x的方程 的两个根都大于1，则实数 的取值范围是 .,解：令 ，则,问题的解决： 例2、关于x的方程 的两个根均大于 - 2小于4，求实数 m 的取值范围. 解：令 ，则,所以,实数m的取值范围是 .,问题的解决：其实,有
3、那么复杂吗? 例2、关于x的方程 的两个根均大于 - 2小于4，求实数 m 的取值范围.,另解: 原方程的两个根分别为 而 ， 所以 ，由此可得 .,所以,实数m的取值范围是 .,问题的启示：学会具体问题具体分析.,对于这道题而言,后一种办法比较简单,但是要会前一种通法. 例如, 关于x的方程 在区间 上有两个不同的解, 求实数 的 取值范围. 用后一种方法解答比较困难. 两种方法都要会,我们提倡具体问题具体分析,哪一种解法简单就用哪一种.,问题的根源：方程根的分布问题， 与对应的二次函数图象有关.,（1） 函数的性质决定函数的图象,函数的图象反映函数的性质. （2）方程有根，与判别式有关.对
4、应的二次函数图象与 轴有交点. （3）方程有什么样的根，与端点的函数值有关，与二次函数图象的对称轴有关.仅仅靠韦达定理是不够的. 注:抛物线就象一根电线,函数值（包括最小值）就象铆钉一样,决定着它的走向.,一元二次方程根的分布,令 ， 方程 在给定区间上有实根的条件，常见的几种情况列表讨论如下： （设是方程两个不相等的实根 且， 而 是常数，且 ）,（3）二次函数图象的对称轴,小结：,（1）端点的函数值,（2）判别式,课堂练习：,1、 关于x的方程 在区间 上有两个不同的解. 求实数 的取值范围.,答案：,说课部分,一、来自课本，又高于课本，具有驾御教材，驾御问题的能力.,二、函数与方程的思想
5、,函数与方程的思想方法方法是高考数学常用四种思想方法 之一， 即： 函数与方程、数形结合、转化与化归、分类讨论等思想方法，而函数与方程的思想方法居首位. 函数与方程的思想方法就是对于数学问题要学会用变量和函数来思考，学会转化未知与已知的关系。什么是函数思想？简单地说就是学会用变量和函数来思考，在解题时，用函数思想做指导就需要把字母看作变量，把代数式看作函数，利用函数的性质做工具进行分析，或者构造一个函数，把表面不是函数的问题化归为函数问题。 著名数学家克来因说：“一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情是用变量和函数来思考”。一个学生仅仅学习了函数知识，他在解决问题时往往是被动的，而建立了函数
6、思想，才能主动地去思考一些问题。 建立函数思想是中学数学教学的重要课题，因为函数思想是中学数学特别是高中数学的主线，函数思想的建立使常量数学进入了变量数学，中学数学中的初等函数、三角函数、数列以及解析几何都可以归结为函数。因此数学教学中注重函数思想是相当重要的. 和函数有必然联系的是方程。方程就是函数的图象与轴交点的横坐标，函数也可以看作二元方程，通过方程进行研究，要确定变化过程中的某些量往往要转化为求这些量满足的方程。希望通过这些方程（组）来求得这些量。这就是方程思想。方程思想就是动中求静，研究运动中的等量关系。 在很多情况下，函数可以看作方程，方程可以看作函数，这种方程与函数辨证关系，拓宽
7、了我们解决常量问题的渠道应注意函数思想与方程思想常常是相辅相成的。,三、数型结合思想图形帮助解题.,数与形是事物的两个方面，正是基于对数与形的抽象研究才产生了数学这门学科，才能使人们能够从不同侧面认识事物。数型结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图象语言结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来。华罗庚先生说：“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞，数缺形时少直观，形少数时难入微。” 数型结合思想是一种重要的解题思想，用这种思想指导，一些几何问题可以用代数方法处理，例如解析几何，一些代数问题又可以用几何图形帮助解决。,四、具体问题具体分析.,提出问题，分析问题，解决问题，实事求是. 美国著名数学家哈
8、尔莫斯说过：“问题是数学的心脏.” 被称为现代科学之父的爱因斯坦指出：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要，因为解决一个问题也许是一个数学上的或实验上的技能而已。而提出的问题，新的可能性，从新的角度去看旧的问题，却需要有创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步.” 英国科学家波普尔说：“科学知识的增长永远始于问题，终于问题越来越深化的问题，越来越能启发新问题的问题.”,四、具体问题具体分析.,提出问题，分析问题，解决问题，实事求是. (1) 求根法，解不等式； （2）韦达定理； （3）数型结合； （4）转化为求函数的值域.,五、学会学习，学会总结.,小总结小进步，大总结大进步，多总结多进步，
9、常总结，常进步，不总结不进步.老师总结，学生总结；练习小结，考试总结；单元小结，专题总结；一天一小结，一周一小结，一月一总结，通过总结把我们零散的知识消化简化序化网络化，块状化. 乌申斯基指出：“智力是形成系统的知识”系统化、结构化、网络化的知识便于记忆、理解、检索和应用.系统论认为：系统地组织起来的材料所提供的信息远远大于部分材料提供的信息之和. 因此数学复习时，不应只是把所学的知识简单地重复，而应该把基础知识从整体上按数学的逻辑结构、知识之间的内在联系，进行整理.还要把平时所学的各个单元的局部的分散的零碎知识，解题的思想方法，解题规律进行数学联结，从而使学生从整体上，系统上、网络上把握知识、思想、方法.,脚本：李盛华,制作：李盛华,欢迎批评斧正,2004年10月20日星期三,