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1、2019/7/18,1,想要探索自然界的奥秘就得解微分方程 牛顿,下篇 数学物理方程,参考书：R.Haberman著，郇中丹等译，实用偏微分方程 （原书第四版），机械工业出版社，2007,第九章 数学物理方程的定解问题,2019/7/18,2,牛顿是英国伟大的数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家。 牛顿于1642年生于英格兰林肯郡格兰瑟姆附近的沃尔索普村。1661年入英国剑桥大学圣三一学院，1665年获文学士学位。随后两年在家乡躲避瘟疫，他在此间制定了一生大多数重要科学创造的蓝图。1667年牛顿回剑桥后当选为剑桥大学三一学院院委，次年获硕士学位。1669年任剑桥大学卢卡斯数学教授席位直到17
2、01年。1696年任皇家造币厂监督，并移居伦敦。1703年任英国皇家学会会长。1706年受英国女王安娜封爵。在晚年，牛顿潜心于自然哲学与神学。1727年3月20日，牛顿在伦敦病逝，享年84岁,(Isaac Newton，,2019/7/18,3,一、数学物理方程(泛定方程):物理问题规律性描述,泛定方程反映的是同一类物理现象的共性，和具体条件无关。,数学物理方程：从物理问题中导出的函数方程，特别是偏微分方程和积分方程。,重点讨论：二阶线性偏微分方程。,例：牛顿第二定律反映的是力学现象的普遍规律，跟具体条件无关。,2019/7/18,4,4,1 边界问题-边界条件,体现边界状态的数学方程称为边界
3、条件,2 历史问题-初始条件,体现历史状态的数学方程称为初始条件,例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。不同的初始条件 不同的运动状态，但都服从牛顿第二定律。,三、定解问题 在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在给定的区域里解出某个物理量u，即求u(x,y,z,t)。,定解条件：边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的 特殊性，即个性。 泛定方程：不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。 它反映了问题的共性。,二、定解条件:物理问题特殊性描述,2019/7/18,5,5,具体问题求解的一般过程：,1、根据系统的内在规律列出泛定方程客观规律,2、根据已知系统的边界状况和初始状况列出
4、边界条件和 初始条件求解所必须的已知条件,3、求解方法 行波法、分离变量法、积分变换法、格林函数法和变分法,2019/7/18,6, 9.1 数学物理方程的导出,建模步骤：,（1）明确要研究的物理量是什么？ 从所研究的系统中划出任一微元，分析邻近部分与它的相互作用。,（2）研究物理量遵循哪些物理规律？,（3）按物理定律写出数理方程（泛定方程）。,2019/7/18,7,1 弦的横振动方程,现象描述（如图） ：沿x轴绷紧的均匀柔软的细弦，在平衡位置(x轴)附近产生振幅极小的横向振动 目的：建立与细弦上各点的振动规律相应的方程 设定: (1)弦不振动时静止于x轴; (2)用u(x,t)表示t时刻弦
5、上任一点x在垂直于x轴方向上的横向位移（偏离）情况,2019/7/18,8,选取不包括端点的一微元 x, x+dx弧B段作为研究对象.,研究对象:,(4)设单位长度上弦受力F(x,t)，线力密度为：,假设与近似：,(1)弦是柔软的 (不抵抗弯曲),张力沿弦的切线方向 (2)振幅极小, 张力与水平方向的夹角1和2 很小，仅考虑1和2的一阶小量，略去二阶小量 (3)弦的重量与张力相比很小，可以忽略,质量线密度，,2019/7/18,9,B段弦的原长近似为dx.,振动拉伸后：,B段的质量：弦长dx ，质量线密度，则B段质量 m= dx,物理规律：,用牛顿运动定律分析B段弦的受力及运动状态：,牛顿运动
6、定律：,2019/7/18,10,沿x-方向： 弦横向振动不出现x方向平移，得力平衡方程,沿垂直于x-轴方向： 由牛顿运动定律得运动方程,在微小振动近似下：,由（1）式，弦中各点的张力相等,（1）,（2）,2019/7/18,11,波动方程：,波速a,受迫振动方程,单位质量弦所受外力，线力密度,令,一维波动方程,2019/7/18,12,一维波动方程,-非齐次方程,-齐次方程,忽略重力和外力作用：,如考虑弦的重量：,沿x-方向，不出现平移,沿垂直于x-轴方向,（1）,（2）,因为：,所以有：,讨论：,2019/7/18,13,2 热传导方程和稳定温度场方程，扩散方程,所要研究的物理量：,温度,
7、物理规律：采用傅里叶实验定律,热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有 热量从高温处流向低温处。,数学建模：,傅里叶定律：,温度不均匀: 用温度梯度 表示；,传热的强弱即热流强度：用单位时间内通过单位面积的热量 表示；,设定：,沿曲面法向流出热量：,介质的热传导系数,（1） 热传导方程,2019/7/18,14,有限时间内即时刻t1到t2通过闭曲面S流入V的热量为,高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量对包围该体积的面积分）,处理方法：在温度不均匀的无源空间，划出任一封闭曲面S包围的体积元V（如图）。,在S 上选取任一足够小的微面元dS，在此面元范围内热流强度近似为常量。,那么在dt时
8、间内从dS流入V的热量为( 向为正)：,2019/7/18,15,流入的热量导致V内的温度发生变化,流入的热量：,温度发生变化需要的热量(c比热容，质量密度)：,热传导方程,如果物体内有热源，则温度满足非齐次热传导方程,总结：热传导：热量的传递；扩散：粒子的运动，两 者本质不同，但满足同一微分方程,2019/7/18,16,有热源时，则温度满足非齐次热传导方程,稳定状态：如果热源f(x,y,z,t)=f(x,y,z) 不随时间变化，则,泊松方程,无热源： f=0,拉普拉斯方程,（2）稳定温度场方程,2019/7/18,17,3 静电场方程,其中:,物理规律：由电磁学可知，静电场始于正电荷终于负
9、电荷所以静电场是有源无旋场，即满足环路和高斯定理,数学建模：建立电势u(x,y,z)与电荷密度(x,y,z)的关系。,物理问题：在介电常数为的介质空间，存在电荷分布(x,y,z) 激发电场 形成电势分布u(x,y,z)。,2019/7/18,18,称这个方程为拉普拉斯方程.,由电场的环路定理，可知静电场是一个保守场.由保守 场的性质，引入电势u,且电场是电势梯度的负值，即：,进一步对电场取散度，有：,泊松方程,设电势为:u(x,y,z)。,2019/7/18,19,例1 输动问题-扩散问题,扩散现象：系统的浓度 不均匀时，将出现物质从高浓度处向低浓度处转移的现象，称之为扩散。,扩散定律即裴克定
10、律：这是一条实验定律,数学建模：建立空间各点浓度u(x,y,z,t)的方程 物理规律：以扩散定律和粒子数守恒定律为研究基础,粒子数守恒定律：单位时间内流入某一体积的 粒子数与流出这一体积的粒子数之差等于此体积 内的单位时间内粒子数的增加量,处理方法：在浓度不均匀的无源空间，划出任一小立方体V为研究对象，分析浓度变化规律。,2019/7/18,20,浓度不均匀: 用浓度梯度 表示；,扩散流强弱（强度）：用单位时间通过单位面积的物质的量 表示；,扩散（裴克）实验定律：,扩散系数,设定：,处理方法：在浓度不均匀的无源空间，划出任一小立方体V为研究对象，分析浓度变化规律。,扩散流强度与浓度梯度间关系：
11、采用裴克实验定律确定,体元内粒子数：,2019/7/18,21,考察沿x-方向扩散流情况：,单位时间沿x-方向净流入量,同理沿y 和沿z方向净流入量,由粒子数守恒定律，有,负号表示扩散方向与浓度梯度方向相反,单位时间内向V的净流入量,下面由粒子数守恒定律建立V内粒子数变化规律。,单位时间内V内粒子数的增加量,2019/7/18,22,如果扩散是均匀的,即D是一常数，则可以令D=a2，则有,代入扩散定律,三维扩散方程,如果所研究的空间存在扩散源，源强度与u(x,y,z,t)无关， 且为F(x,y,z),这时扩散方程修改为,如果所研究的空间存在源，源强度与u(x,y,z,t)成正比， 即F(x,y
12、,z)=b2u(x,y,z)这时扩散方程修改为,讨论：,2019/7/18,23,9.1,本讲作业,2019/7/18,24, 9.3 定解条件,数学物理方程的定解 在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在给定的区域里解出某个物理量u，即求u(x,y,z,t)。,1 数学物理方程：不带有边界和初始条件的方程也称为泛定方程。 它反映了问题的共性。 2 定解条件：边界条件和初始条件的总称。 它反映了问题的特殊性(个性)。,2019/7/18,25,初始时刻的温度分布：,B、热传导方程的初始条件,C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件,A、 波动方程的初始条件,描述系统的初始状态,系统各点
13、的初位移 系统各点的初速度,（一） 初始条件,波动方程含有时间的二阶导数，所以需二个初始条件,热传导方程含有时间的一阶导数，所以需一个初始条件,此类导方程不含时间的导数，所以不需要有初始条件,2019/7/18,26,和 是空间坐标的函数,注意：初始条件给出系统在初始状态下物理量的分布，而不是某一位置处的情况。,解：初始时刻就是放手的那一瞬间，弦的形状如图所示,且弦处于静止状态，即有方程,初始位移,初始速度,2019/7/18,27,（二）边界条件,系统物理量在边界处的情况。,A.第一类（狄利克雷）边界条件,直接给出未知函数在边界处的函数值。,例2：两端固定的弦振动时的边界条件：,和,常见的线
14、性边界条件分为三类：,2019/7/18,28,例3：细杆热传导,细杆在x=l端的温度随时间变化,设温度变化规律为f(t),边界的数理方程,细杆x=l端的温度处于恒温状态,边界的数理方程,第一类边界条件的基本形式：,2019/7/18,29,B.第二类（诺伊曼）边界条件,例4：-维细杆热传导 傅里叶实验定律:单位时间内,通过单位面积的热量q为,第二类边界条件的基本形式：,细杆x=a端点绝热(q(t)=0)的边界条件：,设细杆沿x轴方向,则一维傅里叶实验定律改写为,其中u是所研究位置处物体的温度，k是传热系数（“-”表示热量由温度高处流向温度低处）。,细杆x=a端点有热量q(t)流出的边界条件：
15、,给出未知函数在边界处的法线方向的导数 之值。,三维热传导问题中，端面S有热流q(t)流出的边界条件：,2019/7/18,30,（3）.第三类（混合）边界条件,牛顿冷却定律： 单位时间内，通过物体单位表面流入周围介质的热量与物体表面的温度和周围介质的温度差成正比,式中u是物体表面的温度，u0是周围介质的温度，h是热交换系数。,在沿x轴的一维情况下，牛顿冷却定律简化为,一维傅里叶实验定律,先引入两个基本物理定律：,给出边界处场量本身和场量的法向导数的线性组合。,2019/7/18,31,例5：写出导热细杆l端“自由”冷却的边界条件。,根据傅里叶实验定律，在 x=l 处：,流出热量q,由牛顿冷却
16、定律，此流出热量与细杆和外界的温度差成正比，即,即：,这些是最常见的线性边界条件，还有其它形式。,第三类边界条件的基本形式：,2019/7/18,32,（三）衔接条件,系统中可能出现物理性质急剧变化的点(跃变点)。如两节具有不同的杨氏模量的细杆在 x=0 处连接，这一点就是跃变点。跃变点两边的物理过程因此不同。但在跃变点，某些物理量仍然可以是连续的，这就构成衔接条件。,例6,横向力F(t)集中作用于弦上x0点,使x0点成为折点（如图）。,弦在折点x0的左右斜率不同。,即斜率有跃变，则uxx在折点x0不存在，也即此点处弦振动方程不成立。只能把弦以x0为界分为二段。,但二段是同一根弦，它们间相互关
17、连,因此要建立此关系。,2019/7/18,33,这两个等式就是构成两段衔接的是衔接条件。,折点处，横向力应与张力平衡：,即,折点处位移极限值相同。,2019/7/18,34,1、基本概念,均为一次的n阶微分方程，,n阶线性微分方程:,我们将未知函数u及其各阶导数,称为n阶线性微分方程.,它的一般形式（称非齐线性方程）为:,9.4 线性微分方程的叠加原理,式中,上的连续函数。,及,是区间,2019/7/18,35,n阶线性齐次微分方程:,如果前式中的,则有,我们称以上方程为n阶线性齐次微分方程，简称齐线性方程。,2 齐次线性方程解的叠加原理,如果,是齐次线性方程的n个解，,则它的线性组合,也是齐次方程的解，这里,是常数.,2019/7/18,36,3 齐次线性方程通解结构,若 是齐次线性方程的n个解，,性无关的解，则方程的通解可以表示成,其中,是任意常数 .,4 非齐次线性方程的叠加原理,n阶线性非齐次方程,如果,由解,是方程 的解,2019/7/18,37,9.8,本讲作业,2019/7/18,38,