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1、数形结合思想,以形助数，以数辅形,纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决数学问题，往往事半功倍数形结合的重点是研究“以形助数”，其中主要有两种主要的应用方向：第一是直接将代数问题转化为几何问题，解决几何问题后将其还原为代数问题的答案；第二是在解题过程中，画出图形，并依据图形信息的直观启示，探索修正解题思路与解题过程 数形结合作为一种重要的思想方法，已经渗透至数学的每一分支中在高考试题中，大部分问题都可以用到这种思想方法，无论是选择题、填空题还是解答题它属于高考重点考查的内容，今后的高考仍将会作为重要的数学思想方法加以考查,高考试题对数形结合的考查主要涉及： (1)考查集合及其运算
2、问题韦恩图与数轴； (2)考查用函数图象解决有关问题(如方程、不等式问题)； (3)考查运用向量解决有关问题； (4)考查三角函数图象及应用； (5)数轴及直角坐标系的广泛应用； (6)数学概念及数学表达式几何意义的应用； (7)解析几何中的数形结合,1数形结合思想的含义 (1)所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合 这种思想方法体现在解题中，就是在处理数学问题时，能够将抽象的数
3、学语言与直观的几何图形有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐统一，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决,(2)数形结合包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质,2数形结合的途径 (1)通过坐标系“形”“题”“数”解 借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化这一方法在解析几
4、何中体现的相当充分(在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考查的)值得强调的是，形题数解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧(这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理),实现数形结合，常与以下内容有关：实数与数轴上的点的对应关系；函数与图象的对应关系；曲线与方程的对应关系；以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义如等式(x2)2(y1)24.,(2)通过转化构造数题形解 许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化例如，将a0与距离互化，将a2与面积互化，将a2b2aba2b22|a|b|co
5、s(60或120)与余弦定理沟通，将abc0且bca中的a、b、c与三角形的三边沟通，将有序实数对(或复数)和点沟通，将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形(平面的或立体的)另外，函数的图象也是实现数形化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常相伴而充分地发挥作用,函数图像的作图方法有两种：描点法和利用基本函数图象变换作图； 1.用描点法作函数图象的步骤：确定函数的定义域；化简函数的解析式；讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；描点连线，画出函数的图象 。 2.用图像变换法作图： （1
6、）、要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、 对数函数、三角函数等各种基本初等函数的图像及性质。 (2)识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面。 (3)三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等。,a.平移变换：（1）水平平移：函数y=(+h) 的图像可以把函数 的图像沿 轴方向向左(h0) 或向右(h0) 或向下 (k0)平移k 个单位即可得到。即,1,2,3,d.伸缩变换：,疑难点、易错点剖析疑难点、易错点剖析 函数的图象是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，考生要掌握绘制函数图象的一
7、般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质. 1.熟记基本函数的大致图象，掌握函数作图的基本方法：(1)描点法：列表、描点、连线；(2)图象变换法：平移变换、对称变换、伸缩变换等. 函数的图象是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，考生要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质. 1.熟记基本函数的大致图象，掌握函数作图的基本方法：(1)描点法：列表、描点、连线；(2)图象变换法：平移变换、对称变换、伸缩变换等.,2.高考中总是以几类基本初等函数
8、的图象为基础来考查函数图象的.题型多以选择与填空为主，属于必考内容之一，但近年来，在大题中也有出现，须引起重视. 运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线。要把表列在关键处，要把线连在恰当处 这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究 而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点。用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换 这也是个难点。,3. 函数的对称性。,直击考点,1.用图像变换法作函数图像,例1（1）作函数y=| x-x2|的图像；(2) 作函数y=x2-|x|的图像,思路分析：根据
9、函数解析式的特点，可按翻折变换法作图。 解：（1）,即：,例2（1）试作出函数,的图像；,图,2-1-6（3）,考点二 识图问题,A,B,C,D,的图像大致为,高考试题欣赏,（1）2012山东9,（2）2012全国理科10,（D）,B,（B）,2011山东,A,B,C,D,（C）,(2-sin2,1-cos2),4山东高考16,例1 (1)已知函数f(x)满足下面关系：f(x1)f(x1)；当x1,1时，f(x)x2，则方程f(x)lgx解的个数是( ) A5 B7 C9 D10,考点3用图问题,答案 (1)C (2)D 解析 (1)由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为0,1的函数 又f(
10、x)lgx，则x(0,10，画出两函数图象， 则交点个数即为解的个数又lg101，故当x10时，无交点由图象可知共9个交点,(3)B,(2)f(x)为奇函数， f(x)f(x)2f(x) 画出y2f(x)的大致图象 如图，则f(x)与x异号的区间 如图阴影所示， 解集为(1,0)(0,1)，故选D.,评析 (1)用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数,(2)解
11、不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答 (3)函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常联系函数图象的对称性；最值(值域)经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标,已知f(x)是定义在(3,3)上的奇函数，当0x3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)cosx0的解集是( ),B,练习1,练习2,解析 在平面直角坐标系中作出函数y2xm及yf(x)的图象(如图)，由于不等式f(x)2xm恒成立，所以函数y2xm的图象应总在函数yf(x
12、)的图象的下方，因此，当x2时，y4m0，所以m4，所以m的取值范围是4，),评析 此题属于不等式恒成立问题，先利用图象的上、下位置关系确定直线的位置，然后再求解即可解不等式或证明不等式问题时经常要结合函数的图象，根据不等式中量的特点，选择恰当的两个(或多个)函数，利用函数图象的上、下位置关系来确定不等式的解集或证明不等式,答案 D,练习1,解析 依题意：两函数的图象如图所示： 由两函数的对称性可知：交点A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8的横坐标满足x1x82，x2x72，x3x62，x4x52，即x1x2x3x4x5x6x7x88，故选D.,练习2,在如图所示的aOb坐标平面内，满足约束条件的点(a，b)对应的平面区域为ABC(不包括边界),(3)(a1)2(b2)2表示区域内的点(a，b)与定点(1,2)之间距离的平方， (a1)2(b2)2(8,17) 评析 此题所用思想方法是典型的数形结合法，理解所求式子的几何意义，将代数问题成功地转化为几何问题是关键,设P是抛物线yx2上的点，若P点到直线2xy40的距离最小，求P点的坐标,解法二：如图平移2xy40这条直线至过点P与抛物线相切，则P点到直线的距离最短 设P(x0，y0)，y2x， 过P点的切线斜率 ky|xx02x02. x01，y0x1. 故P点坐标为(1,1),