世纪金榜二轮专题辅导与练习专题三第三讲.ppt

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1、第三讲 解三角形的综合问题,一、主干知识 实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角： 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图1),(2)方位角： 指从正北方向_转到目标方向线的水平角，如B点的 方位角为(如图2) (3)方向角： 相对于某正方向的水平角，如南偏东30，北偏西45等 (4)坡度： 坡面与水平面所成的二面角的度数的正切值,顺时针,二、必记公式 1.正弦定理：,2RsinA,2RsinB,2RsinC,2.余弦定理：,b2+c2-2bccosA,a2+c2-2accosB,a2+b2-2abcosC,3.面积公式： SABC,1.(2013常州

2、模拟)在ABC中，若tan Atan Btan C =123，则A=_. 【解析】因为tan Atan Btan C=123，可设 tan A=x,tan B=2x,tan C=3x，tan C=-tan(A+B)= 解得x=1， 所以tan A=1，A= 答案：,2.(2013扬州模拟)ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a,b,c，a=5,b=7,B=60,则c=_. 【解析】由余弦定理知：b2=a2+c2-2accos B, 即49=25+c2-5c, 解上式，得c=8，负值舍去. 答案：8,3.(2013湖南高考改编)在锐角ABC中，角A，B所对的边长 分别为a，b.若2asin B

3、= 则角A等于_. 【解析】由2asin B= 得2sin Asin B= sin B, 得sin A= 所以锐角A= 答案：,4.(2013山东高考改编)ABC的内角A，B，C的对边分别是 a，b，c,若B=2A，a=1，b= 则c=_. 【解析】由B=2A,得sin B=sin 2A，由正弦定理知 即 所以cos A= 所以 所以C=BA= 所以c2=a2+b2=1+3=4， c=2. 答案：2,5.(2013重庆模拟)如图，在某灾区的搜救现场，一条搜救犬从A点出发沿正北方向行进x m到达B处发现生命迹象，然后向右转105，行进10 m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135回到出发点

4、，那么x_ m.,【解析】由题图可知，ABx，ABC18010575， BCA18013545. 因为BC10，BAC180754560， 所以 解得 答案：,热点考向 1 利用正、余弦定理解斜三角形 【典例1】(1)(2013威海模拟)如图，在 ABC中，已知B45，D是BC边上的一 点，AD10，AC14，DC6，则AB的长 为_.,(2)(2013西城模拟)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为 a，b，c.已知 求 的值； 若 求ABC的面积.,【解题探究】 (1)解答本题时如何求ADB. 提示：求ADB，可先利用余弦定理求出ADC. (2)题目所给等式中含有角和边，要求 需把边转化为

5、 角，根据正弦定理可知转化后 本题中 三角形的面积公式为SABC _.,【解析】(1)在ADC中，AD=10,AC=14,DC=6， 由余弦定理得 = 所以ADC=120,ADB=60. 在ABD中，AD=10,B=45,ADB=60, 由正弦定理得 所以 答案：,(2)由正弦定理得 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C, 所以 即sin Bcos A-2sin Bcos C=2sin Ccos B-sin Acos B,即有 sin(A+B)=2sin(B+C),即sin C=2sin A,所以,由知: 即c=2a. 又因为b=2,所以由余弦定理得： b2=c2+a2-

6、2accos B, 即 解得a=1(负值舍去),所以c=2. 又因为 所以 故ABC的面积为,【互动探究】题(2)在题设不变的情况下，若 ABC 的周长为5，求b的长. 【解析】由知 所以有 即c=2a. 又因为ABC的周长为5,所以b=5-3a. 由余弦定理得：b2=c2+a2-2accos B, 即 解得a=1(a=5舍)，所以b=2.,【方法总结】解三角形常见类型及解法 在三角形的六个元素中要知三个(除三角外)才能求解，常见类 型及其解法见下表：,【变式备选】(2013杭州模拟)在ABC中，角A，B，C的对边 分别为a，b，c.已知3cos(BC)16cos Bcos C. (1)求co

7、s A. (2)若a3，ABC的面积为 求b，c. 【解析】(1)由3cos(BC)16cos Bcos C， 得3(cos Bcos Csin Bsin C)1， 即cos(BC) 从而cos Acos(BC),(2)由于0A，cos A 所以sin A 又 即 解得bc6. 由余弦定理a2b2c22bccos A，得b2c213. 解方程组,【典例】1.ABC中内角A,B,C的对边分别为a，b，c, 向量 m= n= 且mn，则角A的大小 为_. 2.在ABC中，已知 边 设B=x，周长为y.则函 数y=f(x)的解析式为_.,3.(2013海淀模拟)已知函数f(x)= ABC三个内角A,

8、B,C的对边分别为a,b,c,且f(A)=1. 求角A的大小.,【解析】1.由条件可知，因为mn， 所以 解得 又A(0,),所以 答案：,2.ABC的内角和A+B+C=， 由 B0，C0得0B 由正弦定理，知 因为y=AB+BC+AC， 所以 答案：,3.因为f(x)= = = 又f(A)= 因为A(0,),所以 所以 所以,【方法总结】与三角形有关的交汇问题的求解思路 (1)公式应用：在解决三角形与平面向量交汇的问题时应熟练掌握平面向量中常见的公式，如向量的平行、垂直的运算公式. (2)边角转化：在三角形中考查三角函数变换，它是在新的载体上进行的三角变换： 作为三角形问题，它必然要用到三角

9、形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解决问题的思路；常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”.,热点考向 2 三角形形状的判定 【典例2】(1)(2013陕西高考)设ABC的内角A,B,C所对的边 分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则ABC为_ 三角形.(填锐角、直角或钝角) (2)(2013玉溪模拟)在ABC中，a，b，c分别表示三个内角A， B，C的对边，如果(a2+b2)sin(AB)=(a2b2)sin(A+B), 则ABC为_三角形.(填等边、直角、等腰、等腰或直角),【解

10、题探究】 (1)本题中bcos C+ccos B=asin A，把边化为角可变为 _,在ABC中sin(B+C) =_. (2)题目中所给等式展开后利用两角和与差的正弦公式化简可 得_.(*),sin Bcos C+sin Ccos B=sin2 A,sin A,2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A,思路一：把(*)式化边为角可得 _，然后找出角之间的关 系求解. 思路二：把(*)式化角为边可得 _, 然后找出边之间的关系求解.,sin 2Asin Asin B=sin 2Bsin Asin B,a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),【解析】(1)因为bcosC

11、+ccosB=asinA,所以由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A, 所以sin(B+C)=sin2A,sinA=sin2A, sinA=1,所以三角形ABC是直角三角形. 答案：直角,(2)方法一:由已知(a2+b2)sin(A-B) =(a2-b2)sin(A+B), 得a2sin(A-B)-sin(A+B) =b2-sin(A+B)-sin(A-B), 所以2a2cosAsinB=2b2cosBsinA. 由正弦定理得sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA,即sin2AsinAsinB=sin2BsinAsinB. 因为0A,0B,所以sin2A=s

12、in2B, 所以2A2B或2A2B，即AB或AB 所以ABC是等腰三角形或直角三角形.,方法二：同方法一可得2a2cos Asin B2b2cos Bsin A， 由正、余弦定理得 所以a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)， 即(a2b2)(c2a2b2)0. 所以ab或c2a2b2， 所以ABC是等腰三角形或直角三角形. 答案：等腰或直角,【方法总结】确定三角形的形状主要的途径及方法,【变式训练】已知ABC，A，B，C所对的边分别为a，b，c， 且acsin A 则ABC为_角三角形(填锐、钝或直).,【解析】因为acsin A 又 =accos B， 所以acsin Aaccos B，

13、 所以sin Acos B， 得 cos B， 由y=cos x在(0，)上为减函数得 即 所以 所以角C为钝角.所以ABC为钝角三角形. 答案：钝,热点考向 3 解三角形应用举例 【典例3】(2013沈阳模拟)如图，渔 船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B 处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以 10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北 方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿 北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2 小时追上. (1)求渔船甲的速度. (2)求sin 的值.,【解题探究】 (1)本题中要求渔船甲的速度，先利用余弦定理求出_. (2)本题中=_.在ABC中，利用正弦定理可得sin = .,BC的

14、长度,BCA,【解析】(1)依题意，BAC120，AB12， AC10220，BCA. 在ABC中，由余弦定理，得 BC2AB2AC22ABACcos BAC 12220221220cos 120784， 解得BC28.所以渔船甲的速度为14海里/时.,(2)在ABC中，因为AB12，BAC120，BC28， BCA， 由正弦定理，得 即sin 所以sin 的值为,【方法总结】应用解三角形知识解决实际问题的步骤及流程 (1)解题步骤 读题.分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等； 图解.根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；

15、 建模.将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解； 验证.检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案,(2)思维流程,【变式训练】(2013江苏高考)如图，游客从某旅游景区的景 点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一 种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、 乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在 甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B 匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山 路AC长为1 260 m，经测

16、量，,(1)求索道AB的长. (2)问:乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？,【解析】(1)在ABC中，因为 所以 从而sin B=sin-(A+C) =sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C = 由正弦定理得 =1 040(m).所以索道AB的长为1 040 m.,(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d,此时，甲行走 了(100+50t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得 d2=(100+50t)2+(130t)2-2130t(100+50t) =200(37

17、t2-70t+50), 因0t 即0t8, 故当t= (min)时，甲、乙两游客距离最短.,(3)由正弦定理 得 =500(m). 乙从B出发时，甲已走了50(2+8+1)=550(m)，还需走710 m才 能到达C. 设乙步行的速度为v m/min，由题意得 解得 所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行 的速度应控制在 (单位：m/min)范围内.,函数建模思想 解决三角形的实际问题 【思想诠释】 1.主要类型：(1)与测量有关的山高、堤坝、土地面积问题. (2)与航海、航空有关的运行问题.(3)图形设计问题 2.解题思路：运用所学的解三角形的知识和方法对实际问题进行分析，

18、通过模型准备、模型假设、模型建立、模型求解的思路解决实际问题.,3.注意事项：(1)解决实际问题时注意对模型进行检验，将模型分析结果与实际情境进行比较，做到与实际吻合.(2)应用三角函数建立函数模型时，突出了对三角函数工具性的考查，建模时注意相关角的范围.,【典例】 (14分)(2013延吉模拟)某城市有一 块不规则的绿地如图所示，城建部门 欲在该地上建造一个底座为三角形的 环境标志，小李、小王设计的底座形 状为ABC，ABD，经测量ADBD 14，BC10，AC16，CD. (1)求边AB的长度. (2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低，

19、请说明理由.,【审题】分析信息，形成思路 (1)切入点：在ABC和ABD中，根据余弦定理分别列方程求解. 关注点：注意C=D的应用. (2)切入点：利用三角形面积公式比较大小. 关注点：将三角形问题还原为实际问题.,【解题】规范步骤，水到渠成 (1)在ABC中，由余弦定理得 AB2AC2BC22ACBCcos C 16210221610cos C 2分 在ABD中，由余弦定理及CD， 整理得AB2AD2BD22ADBDcos D 1421422142cos C, 5分 整理得1421422142cos C16210221610cos C， 解得cos C 7分,又C为三角形的内角，所以C60，

20、 又CD，ADBD，所以ABD是等边三角形， 即边AB的长度为14.9分 (2)小李的设计符合要求.理由如下： 因为ADBDACBC,所以SABDSABC， 12分 由已知建造费用与用地面积成正比，故选择ABC建造环境标 志费用较低. 即小李的设计使建造费用较低.14分,【点题】规避误区，失分警示,【变题】变式训练，能力迁移 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.,【解析】设小艇与轮船在B处相遇，且速度为v，如图. 由余弦定理得，(vt)2(20)2(30t)222030tcos 60， 故 因为0v30，,所以 即 解得 又 时，v30，故v30时， t取最小值，且最小值为 此时，在OAB中，OAOBAB 20，故设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度 为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇.,