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1、利用勾股定理求解几何体的最短路线长 利用勾股定理求折叠问题 勾股定理习题课 南门学校：郑铁洪 （也称作勾股定理） 勾股定理：如果直角三角形的两直角边长 分别为a、b，斜边长为c,那么 a + b = c 2 22 (2)使用前提是直角三角形 (3)分清直角边、斜边 注意变式: (1) a = c b a= c b 等. 222 2 2 勾 股弦 A CB a b c 勾股弦 222 返回 方程思想 直角三角形中，当无法已知两边求第三 边时，应采用间接求法：灵活地寻找题中 的等量关系，利用勾股定理列方程。 1、在直角三角形ABC中,C=90， （）已知：，求和 （）已知，求和 （）已知，求和 、
2、直角的两边长为和，求第三边的长度 或6 （4)已知a比b大1，求和 （5）两直角边和是10，三角形面积是9，求c 分类思想 1.直角三角形中，已知两边长是直角边、 斜边不知道时，应分类讨论。 2.当已知条件中没有给出图形时，应认真 读句画图，避免遗漏另一种情况。 例2.三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边 上的高线AD=8,求BC D D A B C A B C 1017 8 17 108 例1、如图，一块直角三角形的纸片，两 直角边AC=6，BC=8。现将直角边 AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上 ，且与AE重合，求CD的长 A C D B E 第8题图 x 6 x 8-x 4
3、 6 练习:三角形ABC是等腰三角形 AB=AC=13，BC=10，将AB向AC方向 对折，再将CD折叠到CA边上，折痕为 CE，求三角形ACE的面积 A B C D A DC DC A D1 E 13 5 12 5 12-x 5 x x 8 例1：折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在 BC边上的点F处,已知 AB=8CM,BC=10CM,求 (1) CF ( 2) EC. (3) AE A BC D E F 8 10 10 6 X 8-X 4 8-X 训练训练:2:2、如图、如图, ,把长方形纸片把长方形纸片ABCDABCD折叠折叠, , 使顶点使顶点A A与顶点与顶点C C重合在一起重合在
4、一起,EF,EF为折痕。为折痕。 若若AB=3,BC=9.AB=3,BC=9.点点D D对应点是对应点是G G G(1)求BE (2)求AEF面积 (3）求EF长 (4)连接DG,求DFG面积 利用勾股定理 求解几何体的最短路线长 例1、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和 高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个 相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的 食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面 爬到B点，最短线路是多少？ B AA B C 5 3 1 5 12 一、台阶中的最值问题 AB2=AC2+BC2=169, AB=13. 二、圆柱(锥)中的最值
5、问题 例2、 有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m ，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处 吃食物，它爬行的最短路线长为多少？ A B 分析：由于老鼠是沿着圆柱的 表面爬行的，故需把圆柱展开 成平面图形.根据两点之间线段 最短，可以发现A、B分别在 圆柱侧面展开图的宽1m处和长 24m的中点处，即AB长为最短 路线.(如图) 解：AC = 6 1 = 5 ， BC = 24 = 12， 由勾股定理得 AB2= AC2+ BC2=169, AB=13(m) . 2 1 B A C 三、正方体中的最值问题 例3、如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出 发沿着正方体的外表面爬到顶点B
6、的最短距离是（ ）. （A）3 （B） 5 （C）2 （D）1 A B 分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的， 故需把正方体展开成平面图形（如图）. C A B C 2 1 例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发， 沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图 所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ AB A1B1 D C D1 C1 2 1 4 分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路 线有三种情况(如图 ),由勾股 定理可求得图1中AC1爬行的路线最 短. AB DC D1C1 4 2 1 AC1 =42+32 =25 ; AB B1 C A1 C1 4 1 2 AC1 =62+
7、12 =37 ; AB1 D1D A1 C1 41 2 AC1 =52+22 =29 . 四、长方体中的最值问题 练习:在长30cm、宽50 cm、高40 cm 的木箱中，如果在箱内的A处有一只昆 虫，它要在箱壁上爬行到B处，至少要 爬多远？ C D A. B. 30 50 40 图 30 50 40 C D A . B . A D C B 30 50 40 C C DA . B . A C B D 图 30 40 50 30 40 50 C C D A . B . 图 50 AD C B 40 30 30 40 50 C C 如图，一条河同一侧的两村庄如图，一条河同一侧的两村庄A A、B B
8、，其中，其中A A、B B 到河岸最短距离分别为到河岸最短距离分别为AC=1kmAC=1km，BD=2kmBD=2km， CD=4cmCD=4cm，现欲在河岸上建一个水泵站向，现欲在河岸上建一个水泵站向A A、B B 两村送水，当建在河岸上何处时，使到两村送水，当建在河岸上何处时，使到A A、B B两两 村铺设水管总长度最短，并求出最短距离。村铺设水管总长度最短，并求出最短距离。 A A P P B B AA D D E E 1 1 2 2 4 4 1 1 1 1 4 4 5 5 小 结： 把几何体适当展开成平面图 形，再利用“两点之间线段最短 ”，或点到直线“垂线段最短” 等性质来解决问题。