一章二维随机变量.ppt

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1、第4章 二维随机变量 4.1 二维随机变量及其分布 4.2 二维离散型随机变量 4.3 二维连续型随机变量 4.4 边缘分布 4.5 随机变量的相互独立性 * 4.6 条件分布 * 4.7 二维随机变量函数的分布,一些随机试验的结果需要用两个或两个以上的随机变量同时来描述，对应地称之为二维或多维随机变量。例如在打靶练习中，一次射击的弹着点的平面坐标可看作是二维随机变量(X,Y)；又如员工体检时的各项检查指标值可看作多维随机变量。 由于同一个随机试验结果的各个随机变量之间一般有某种联系，因而需要把这些随机变量作为一个整体(即向量)来研究。 需要讨论多维随机变量的各个随机变量分量，更需要研究这些分

2、量与多维随机变量整体性质的联系。,从几何角度看，一维随机变量就是第3章讨论的随机变量，它可看作是直线(一维空间)上的随机点；二维随机变量可看作是平面(二维空间)上的随机点；三维随机变量可看作三维空间中的随机点。 由一维到多维的讨论会增添许多新问题，但二维与n维(n3)没有本质上的区别。本章主要讨论二维随机变量，n(n3)维的情况可以类推。,4.1 二维随机变量及其分布 定义1 设E是一个随机实验，它的基本空间为 =所有样本点 而X1,X2,Xn是定义在这个基本空间上的n个随机变量，则上述n个随机变量构成的向量称为n维随机变量，记为 X=(X1w, X2w, Xnw) 其中Xi() (i=1,2

3、,n) 称为第i个分量(或坐标)； (X1(),X2(),Xn()简记为(X1,X2,Xn)，其取值的概率规律称为n维分布。,（二维随机变量所表示的随机事件） 定义2 设(X,Y)是二维随机变量，对任意实数x、y,二元函数 F(x,y) = PXx,Yy 称为(X,Y)的联合分布函数。 Px1Xx2 ,y1Yy2 =PXx2 ,Yy2-PXx2 ,Yy1 -PXx1 ,Yy2+PXx1 ,Yy1 =F(x2 ,y2) -F(x2 ,y1) -F(x1 ,y2)+F(x1 ,y1),定理1 F(x, y)为二维随机变量(X, Y)的联合分布函数，则 (1) F(x, y)对每个变元是单调不减的函

4、数，即 当x1x2时， F(x1 , y)F(x2 , y) ； 当y1y2时， F(x, y1)F(x, y2) 。 (2) F(x, y)对每个变元是左连续的，即 F(x-0, y) = F(x, y) F(x, y-0) = F(x, y) (3) F(-, y) = F(x, -) F(-, -) = 0 F(+ , +) = 1。 (4) 对任意两点(x1, y1), (x2，y2), x1x2, y1y2, 则 F(x2 , y2)-F(x2, y1)-F(x1, y2)+F(x1, y1)0,4.2 二维离散型随机变量 定义3 若二维随机变量(X,Y)的所有可能取值是有限对或可列

5、多对(xi,yj),(i,j1,2,)，则称(X,Y)是二维离散型随机变量。 pij=PX=xi,Y=yj (i,j=1,2,) 则pij(i,j=1,2,)称为(X,Y)的联合分布律(概率函数)。,联合分布律可用表格形式表示：,p.j 中的“.”表示“所有行的和”,pi . 中的“.”表示“所有列的和”,根据pij的定义，得出它们具有下列两个性质： (1) 0pij1 (i,j=1,2,) (2) 离散型随机变量(X,Y)的分布函数，可用分布律计算：,例1 已知一批10件产品中有3件一等品，5件二等品，2件三等品，现从这批产品中任意抽出4件，求其中一等品件数X与二等品件数Y的联合分布律。 解

6、 在任取4件中， 一等品件数X的取值范围：i=0, 1, 2, 3； 二等品件数Y的取值范围：j=0, 1, 2, 3, 4； 三等品件数4-X-Y的取值范围：0,1,2; 即2X+Y4 依古典概率计算，可直接得联合分布律为：,依上式可得(X,Y)的联合概率分布列 ： 其中：,例2 一个整数X随机地在2、3、4三个数中取一个值，另一个Y数随机地在2X中取一个值。求(X,Y)的联合分布律。 解 X=2,3,4 Y=2,3,4 PX=2,Y=2=P(X=2Y=2)=PX=2PY=2|X=2 =(1/3)1=1/3 PX=2,Y=k=PX=2PY=k|X=2=0 k=3,4 PX=3,Y=2=PX=

7、3PY=2|X=3=(1/3)(1/2)=1/6 PX=3,Y=3=PX=3PY=3|X=3=(1/3)(1/2)=1/6 PX=3,Y=4=PX=3PY=4|X=3=(1/3)0=0,PX=4,Y=k= PX=4PY=k|X=4=(1/3)(1/3)=1/9 k=2,3,4 得到(X, Y)的联合分布律：,例3 袋中有五件产品，其中两件次品，三件正品，从袋中任意依次取出两件，每次取出的产品进行检查后放回袋中，设每次取出产品时，袋中每件产品被取到的可能性相等，定义下列随机变量。 求(X,Y)的分布律。,解 (X,Y)的分布律为 (X,Y)的联合分布律为：,例4 在例3中，如果每次取出后不放回，

8、求(X,Y)的分布律。 解 (X,Y)的分布律为 这时(X,Y)的联合分布律为：,4.3 二维连续型随机变量 对二维随机变量(X,Y)，若存在函数f(x,y)0 (x、yR)，使得(X,Y)的分布函数F(x,y)是二元连续函数，且可表示为积分的形式： 则称(X,Y)是二维连续型随机变量。 称被积函数f(x,y)为二维随机变量(X,Y)的联合概率密度。,分布函数与密度函数的性质： =以平面区域D为底， 分布曲面为顶的曲 顶柱体体积 (联合分布函数的几何意义),例5 已知二维随机变量(X,Y)的密度为 试确定k的数值，并求(X,Y)落在区域D=(x,y)|x2yx, 0x1的概率。 解 由概率密度

9、性质，知,(X,Y)落在区域D=(x,y)|x2yx,0x1的概率,二维均匀分布 称以 为联合密度函数的二维随机变量(X,Y)服从二维均匀分布。其中SD为平面区域D的面积。,二维正态分布 称密度函数 为二维正态分布密度函数。 其中1,2,1,2, r为常数；且10,20, | r |1,若随机变量(X,Y)以(x,y)为密度函数，则称(X,Y)服从二维正态分布，记为(X,Y)N(1,2,1,2, r)。 可以证明：,例6 设二维连续型随机变量(X,Y)的分布函数为 F(x,y)=(A+Barctgx)(C+arctgy) ()求常数A，B，C； ()求(X,Y)的分布密度； ()D=(x,y)

10、:x-y0,x1 ，求P(X,Y)D。 解 (1) 由二维分布函数性质，得,由以上三式解得 (2) (X,Y)的分布密度 (3),例7 设二维随机变量(X,Y)在区域D: 0x1，y2x内服从均匀分布，求联合分布密度。 解,4.4 边缘分布 定义 若已知二维随机变量(X,Y)的联合分布函数F(x,y)，则称随机变量X、Y各自的概率分布函数FX(x)、FY(y)为F(x,y)为边缘分布函数。 FX(x)=F(x,+)， FY(y)=F(+,y) 由上述定义可知，FX(x)由F(x,y)中y+唯一确定， 同样FY(y)由F(x,y)中x+唯一确定。但其逆并不一定成立。,例8 在例1中，已知10件产

11、品中有3件一等品，5件二等品，2件三等品，现从这批产品中任意抽出4件，其中一等品件数为X、二等品件数为Y。若只关心一等品的件数X或二等品的件数Y，试求这两个随机变量各自的分布列。 解 已有(X,Y)的联合分布律(例4-1)：,解 为求X的概率分布列，要计算P(X=i)，(i=0,1,2,3)。因已知的(X,Y)联合分布列，X的分布律为 P(X=i)=P(X=i,Y+ ) =P(X=i,Y=0)+P(X=i,Y=1)+P(X=i,Y=2)+ P(X=i,Y=3)+ +P(X=i,Y=4) =pi0+pi1+pi2+pi3+pi4= =pi (i=0,1,2,3) 求得p0=35/210，p1=1

12、05/210，p2=63/210，p3=7/210 X的概率分布列为,求Y的概率分布列： Y=0, 1, 2, 3, 4 得 p0=5/210, p1=50/210, p2=100/210, p3=50/210, p4=5/210 Y的概率分布列为,离散型随机变量的边缘分布律 二维离散型随机变量(X,Y)的分量X,Y都是一维离散型随机变量，X、Y的分布律PX=xi，PY=yi (i,j=1,2,)分别称为(X,Y)关于X，Y的边缘分布律。 设(X,Y)的联合分布律为PX=xi,Y=yj=pij (i,j=1,2, ) ，则(X,Y)关于X的边缘分布律有,简记(X,Y)关于X的边缘分布律为 同理

13、， (X,Y)关于Y的边缘分布律为 由上两式可知，边缘分布律pi，pj由联合分布律pij唯一确定，但其逆不一定成立。,对离散型随机变量，已知其联合分布律，则边缘分布律pi，pj也可由下表计算：,X的边缘分布列pi为 其中： Y的边缘分布列pj为 其中：,例9 一袋中有五件产品，其中两件次品，三件正品，从袋中任意依次取出两件，分别采用有放回与不放回两种方式进行抽样检查，规定随机变量 则(X,Y)的联合分布律如下(并可求得边缘分布律)：,有放回抽样的分布律,不放回抽样的分布律,连续型的边缘分布密度函数 设已知二维连续型随机变量(X,Y)的联合分布函数 则(X,Y)关于X的边缘分布函数 其边缘概率密

14、度函数,同理，用联合分布函数F(X,Y)计算边缘分布函数FY(y)，有 用联合密度函数 f(x,y)计算边缘密度函数fY(y), 有 fX(x)，fY(y)分别称为二维连续型随机变量(X,Y)关于X，Y的边缘分布密度。即(X,Y)的分量的分布密度。,例10 已知二维随机变量(X,Y)的联合密度为 试分别求出X 及 Y 的边缘概率密度。 解,例11 设(X,Y)在椭圆 所围成的区域上服 从均匀分布。即其联合密度为 求X,Y的边缘密度。 解 (1)当xa时，,(2)当xa时，,同理，可得关于Y的边缘密度,例12 求二维正态分布的边缘密度函数。 解 二维正态分布的密度函数为,对积分作变量代换：,由此

15、可见，二维正态分布的边缘分布是一维正态分布。 但联合分布密度中的r取不同数值时，得到不同的二维正态分布，而这些不同的二维正态分布却有相同的边缘分布密度X(x)，Y(y)(即边缘密度与r无关)。这表明，关于X,Y的边缘分布不能确定(X,Y)的联合分布；但联合分布可以唯一地确定边缘分布。 实际上，当X、Y相互独立时，边缘分布可唯一地确定联合分布。,4.5 随机变量的相互独立性 定义 设(X,Y)是二维随机变量, F(x,y)、FX(x)及FY(y)分别是(X,Y)的联合分布函数及边缘分布函数，若对任意实数x,y有 F(x,y)= FX(x)FY(y) 即 PXx,Yy=PXxPYy 则称随机变量X

16、, Y是相互独立的。 随机变量的相互独立性定义与前面的随机事件A，B独立性的说法是一致的： A=Xx,B=Yy P(AB)=P(Xx,Yy)=PXxPYy=P(A)P(B) A,B是独立的。,定理2 设(X,Y)是二维连续型随机变量，x,y、 Xx及Yy分别是(X,Y)的联合分布密度及边缘分布密度，且x,y及 Xx Yy均为连续函数，则X,Y相互独立的充要条件是：对任意点(x,y)，有 x,y = XxYy 证明 充分性,证明 必要性 若X,Y相互独立，即有 此式的两边对x及y求导，便可得到,定理3 设(X,Y)是二维离散型随机变量，则X,Y相互独立的充要条件是：对(X,Y)的任一组可能值xi

17、，yj有 PX=xi,Y=yj=PX=xiPY=yj (i,j=1,2,) 即 pij=pipj (i,j=1,2,) 证 (只证充分性) 设 PX=xi,Y=yi=PX=xiPY=yi i,j=1,2, 则 即X，Y相互独立。(必要性证明略。),例13 5件产品中有3件正品2件次品。现(有放回)抽出2件。 设 求(X,Y)的联合分布律，并判断X,Y是否相互独立？ 解 X, Y=0，1 其联合分布律： 可见，pij= pipj (i,j = 0,1) X，Y是相互独立的。,若无放回地抽出2件，则联合分布律： 可见，p 11 p1 p1 ，故X，Y不相互独立。,例14 在例11中，(X,Y)在椭

18、圆形区域中服从均匀分布，且 容易看出，(x,y)X(x)Y(y)，由定理2知， X,Y不相互独立。,例15 设(X,Y)是二维正态随机变量，其分布密度为 试证： X，Y相互独立的充要条件是参数r=0 证 由(X,Y)的联合密度函数可知，(X,Y)的边缘分布密度函数为,(1) 充分性 若r=0，则 有x,y=XxYy，即X,Y相互独立。,(2)必要性 设X,Y相互独立，则对任意点(x,y)，有 x,y = XxYy 取 x=1，y=2，有,r 是X , Y的相关系数,例16 一个旅客到达火车站的时刻X均匀分布在7:558:00，设X0,5；火车在这段时间开出的时刻是Y，且Y的密度函数为 求旅客能

19、乘上火车的概率。 解 X在0,5上均匀分布，其密度函数为：,P“能乘上火车”=PXY,X，Y互不影响，可认为是独立的，则(X,Y)的联合分布密度函数为：,例17 在某一分钟内的任何时刻，信号进入收音机是等可能的。若收到两个相互独立的信号的时间间隔小于0.5秒，则信号相互干扰。求：两信号相互干扰的概率。 解 把一分钟取作区间0, 1，设两信号进入收音机的时 刻分别为X、Y(单位: 分钟) X、Y相互独立，所以(X,Y)的联合分布密度如下：,例18 在长度为a的线段的中点的两边随机地选两点，求两点之间距离小于a/3的概率。 解 设X是中点左边的随机点，X(0,a/2 ) 设Y是中点右边的随机点，Y

20、(a/2，a ) X(0,a/2)上的均匀分布； Y(a/2，a)上的均匀分布；,由于X,Y可认为是独立的，则(X,Y)的联合密度函数为：,n个随机变量X1,X2,Xn相互独立的概念： 对任意n个实数x1, x2,xn有 PX1x1,X2x2 ,Xnxn = PX1x1PX2x2PXnxn 若n个随机变量X1,X2,Xn相互独立，则n维随机变量(X1,X2,Xn)的联合分布函数： 并且则n维随机变量(X1,X2,Xn)的联合密度函数：,4.6* 条件分布 定义(条件分布) 对于离散型随机变量(XY)，当pj0时，称 为在Yyj 条件下X的条件分布律。,同样，对于离散型随机变量，称 为在Xxi条

21、件下Y的条件分布律。,例19 在例4-1中，已知一批10件产品中有3件一等品，5件二等品，2件三等品，现从这批产品中任意抽出4件，设其中一等品件数为X；二等品件数为Y，已知联合分布律： 试求出下列条件分布。,(1)已知抽取的4件产品中有2件二等品，求一等品件数X的概率分布； 解 所求的条件概率分布律为,(2) 已知抽取的4件产品中有1件一等品，求二等品件数Y的概率分布； 解 所求的条件概率分布律为,连续型条件分布 设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，边缘密度为 若f(x,y)，fY(y)连续，则对使fY(y)0的点y，可用下面式子定义在Y=y的条件下，连续型随机变量X的条件分布函数。,可

22、见，在Y=y的条件下，X的条件概率密度函数：,同样，在X=x的条件下，Y的条件概率密度函数: 在X=x的条件下，Y的条件分布函数:,例20 对例5所给出的二维概率密度: 试求出 fX(x|y)及fY(y|x)。 解,例21(习题4-17) 设X在区间(0,1)上服从均匀分布, 而当X=x(0x1)时，Y在(x,1)上服从均匀分布，试求： (1) (XY)的联合密度函数f(x,y)； (2) 关于Y的边缘密度； (3) 概率P(X+Y1)。 解 X的密度函数为： Y的条件密度函数为：,(1) (2) Y的边缘密度 y0或y1时， 0y1时，,(3),* 4.7 二维随机变量函数的分布 二维随机变

23、量(XY)的函数Z=g(XY)一般也是随机变量，其分布的求取是不容易的。它涉及到随机变量的分布类型和函数的复杂程度。这里仅就最简单的情况和函数进行讨论。 4.7.1 离散型随机变量的和函数的分布 设已知(XY)的联合分布律为 则和函数Zg(XY)=XY的一切可能值仍为非负数0,1,2,。,对每个非负整数k,并由互斥事件的加法定理，有 和函数ZXY的分布律为： 特别当已知X、Y独立时，因有pij=pipj，故上式可写成,例22 已知XY相互独立，分别服从参数为1及2的泊松分布，求和函数Z=X+Y的分布。 解 因为 XP(1)，YP(2) 则Z=X+Y的取值为z=0,1,2,3,k,4.7.2 连

24、续型随机变量函数的分布 已知二维随机变量(XY)的联合密度为f(x,y),若随机变量(XY)的函数Zg(XY)，可先求Z分布函数FZ(z)，再确定Z密度函数fZ(z)。 (式中的积分是由不等式g(x,y)z所确定的平面区域。),特别对和函数 Zg(XY)=X+Y的分布函数FZ(z)有 当XY为独立随机变量时，有,可得到连续型随机变量和函数 ZX+Y的密度函数： 一般将积分 称为f(x)与g(x)的卷积，记作： 卷积可交换，即 f(x)g(x)=g(x)f(x)。所以 两个独立随机变量之和的概率密度是各概率密度的卷积。,例23 已知XY独立且同服从标准正态分布，求Z=X+Y的密度函数。 解,一般有X1, X2独立且X1N(1,12), X2N(2,22), 则X1+X2 N(1+2 ,12+22)，即=1+2 ,2 =12+22,独立的正态分布随机变量的线性函数仍服从正态分布。 若X1 X2, Xn相互独立，且XiN(i,i2) (i=1,2,n) 对线性函数 Y=a1X1+a2X2+Xn+b 则 YN(,2) 其中 =a11+a22+ann+b =a112+a222+ann2,书面作业 P70P73 4-3 4-5 4-8 4-10 4-15,