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1、课时提升作业 三课时提升作业 三 四种命题间的相互关系四种命题间的相互关系 一、选择题(每小题 4 分,共 12 分)一、选择题(每小题 4 分,共 12 分) 1.命题“若 p,则 q”是真命题,则下列命题一定是真命题的是 ( ) A.若 p,则 qB.若 q,则 p C.若 q,则 pD.若 q,则 p 【解题指南】利用命题的等价关系判断. 【解析】选 C.“若 p,则 q”的逆否命题是“若 q,则 p”,又因为互为逆否命题所以真假性相同. 所以“若 q,则 p”一定是真命题. 2.(2016三明高二检测)下列命题中为真命题的是 ( ) A.命题“若 x2016,则 x0”的逆命题 B.命
2、题“若 xy=0,则 x=0 或 y=0”的否命题 C.命题“若 x2+x-2=0,则 x=1” D.命题“若 x21,则 x1”的逆否命题 【解析】选 B.A.命题“若 x2016,则 x0”的逆命题为命题“若 x0,则 x2016”,显然命题为假; B.命题“若 xy=0,则 x=0 或 y=0”的逆命题为“若 x=0 或 y=0,则 xy=0”,显然命题为真,则原命题的否命题 也为真; C.解 x2+x-2=0 得 x=1 或 x=-2.所以命题“若 x2+x-2=0,则 x=1”为假; D.x21x-1 或 x1.所以命题“若 x21,则 x1”是假命题,则其逆否命题也为假命题. 3.
3、(2016泰安高二检测)已知命题 “若 a,b,c 成等比数列,则 b2=ac”,在它的逆命题、 否命题、 逆否命题中, 真命题的个数是 ( ) A.0B.1C.2D.3 【解析】选 B.若 a,b,c 成等比数列,则 b2=ac,为真命题, 逆命题:若 b2=ac,则 a,b,c 成等比数列,为假命题, 否命题:若 a,b,c 不成等比数列,则 b2ac,为假命题, 逆否命题:若 b2ac,则 a,b,c 不成等比数列,为真命题, 在它的逆命题、否命题、逆否命题中为真命题的有 1 个. 【补偿训练】已知命题 p:若 a0,则方程 ax2+2x=0 有解,则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中
4、真命题 的个数为 ( ) A.3B.2C.1D.0 【解析】选 B.易知原命题和逆否命题都是真命题,否命题和逆命题都是假命题. 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分)二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 4.在命题“若 m-n,则 m2n2”的逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个数是 . 【解析】原命题为假命题,逆否命题也为假命题,逆命题也是假命题,否命题也是假命题.故假命题个数为 3. 答案:3 5.给出下列命题: 原命题为真,它的否命题为假; 原命题为真,它的逆命题不一定为真; 一个命题的逆命题为真,它的否命题一定为真; 一个命题的逆否命题为真,它的否命题一定为真; “若 m1,则
5、 mx2-2(m+1)x+m+30 的解集为 R”的逆命题. 其中真命题是 .(把你认为正确命题的序号都填在横线上) 【解析】原命题为真,而它的逆命题、否命题不一定为真,互为逆否命题同真同假,故错误,正确. 又因为不等式 mx2-2(m+1)x+m+30 的解集为 R, 由m1. 故正确. 答案: 三、解答题三、解答题 6.(10 分)(教材 P8 练习改编) 证明:若 a2-4b2-2a+10,则 a2b+1. 【证明】 “若 a2-4b2-2a+10,则 a2b+1”的逆否命题为“若 a=2b+1,则 a2-4b2-2a+1=0”. 因为 a=2b+1, 所以 a2-4b2-2a+1=(2
6、b+1)2-4b2-2(2b+1)+1=4b2+1+4b-4b2-4b-2+1=0, 所以命题“若 a=2b+1,则 a2-4b2-2a+1=0”为真命题. 由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知,结论正确. 【补偿训练】求证:若 p2+q2=2,则 p+q2. 【证明】该命题的逆否命题为若 p+q2,则 p2+q22. p2+q2= (p+q)2+(p-q)2 (p+q)2. 因为 p+q2, 所以(p+q)24, 所以 p2+q22,即 p+q2 时,p2+q22 成立. 所以由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知,结论正确. 即若 p2+q2=2,则 p+q2. 一、选择题(每小题 5
7、分,共 10 分)一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.(2015厦门高二检测)给出命题:已知 a,b 为实数,若 a+b=1,则 ab .在它的逆命题、否命题、逆否命 题三个命题中,真命题的个数是 ( ) A.3B.2C.1D.0 【解题指南】四种命题中原命题与逆否命题真假性一致,逆命题与否命题真假性一致,因此要判断一个命题 的真假可判断其逆否命题的真假. 【解析】选 C.由 ab得:a+b=1,则有 ab ,原命题是真命题,所以逆否命题是真命题;逆命题: 若 ab ,则 a+b=1 不成立,反例 a=b=0 满足 ab 但不满足 a+b=1,所以逆命题是假命题,否命题也是假命 题
8、. 2.(2016惠州高二检测)已知命题“若函数 f(x)=ex-mx 在(0,+)上是增函数,则 m1”,则下列结论正确 的是 ( ) A.否命题“若函数 f(x)=ex-mx 在(0,+)上是减函数,则 m1”是真命题 B.逆命题“若 m1,则函数 f(x)=ex-mx 在(0,+)上是增函数”是假命题 C.逆否命题“若 m1,则函数 f(x)=ex-mx 在(0,+)上是减函数”是真命题 D.逆否命题“若 m1,则函数 f(x)=ex-mx 在(0,+)上不是增函数”是真命题 【解析】 选 D.函数 f(x)=ex-mx 在(0,+)上是增函数等价于 f(x)=ex-m0 在(0,+)上
9、恒成立,即 mex 在(0,+)上恒成立,而 ex1,故 m1,所以命题“若函数 f(x)=ex-mx 在(0,+)上是增函数,则 m1”是真 命题,所以其逆否命题“若 m1,则函数 f(x)=ex-mx 在(0,+)上不是增函数”是真命题. 【补偿训练】命题“若ABC 有一内角为,则ABC 的三内角成等差数列”的逆命题 ( ) A.与原命题同为假命题 B.与原命题的否命题同为假命题 C.与原命题的逆否命题同为假命题 D.与原命题同为真命题 【解析】 选 D.原命题显然为真,原命题的逆命题为 “若ABC 的三内角成等差数列,则ABC 有一内角为 ”, 它是真命题. 二、填空题(每小题 5 分,
10、共 10 分)二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 3.(2016衡阳高二检测)在“a,b 是实数”的大前提之下,已知原命题是“若不等式 x2+ax+b0 的解集是 非空数集,则 a2-4b0”,给出下列命题: 若 a2-4b0,则不等式 x2+ax+b0 的解集是非空数集; 若 a2-4b0,则不等式 x2+ax+b0 的解集是空集; 若不等式 x2+ax+b0 的解集是空集,则 a2-4b0; 若不等式 x2+ax+b0 的解集是非空数集,则 a2-4b0; 若 a2-4b0,则不等式 x2+ax+b0 的解集是非空数集; 若不等式 x2+ax+b0 的解集是空集,则 a2-4b0.
11、 其中是原命题的逆命题、否命题、逆否命题的命题的序号依次是 (按要求的顺序填写). 【解题指南】根据四种命题间的关系确定 【解析】 “非空集”的否定是“空集”,“大于或等于”的否定是“小于”,根据命题的构造规则,题目的答 案是. 答案: 4.命题 “已知不共线向量e e1,e e2,若e e1+e e2=0 0,则=0” 的等价命题为 ,是 命题(填 “真” 或“假”). 【解题指南】求原命题的等价命题即为原命题的逆否命题,只需把原命题的条件与结论既交换又否定即可. 【解析】命题“已知不共线向量 e e1,e e2,若e e1+e e2=0 0,则=0”的等价命题为“已知不共线向量 e e1,e e2, 若,不全为 0,则e e1+e e20 0”,是真命题. 答案:已知不共线向量 e e1,e e2,若,不全为 0,则e e1+e e20 0 真 三、解答题三、解答题 5.(10 分)(2016益阳高二检测)写出命题:“若+(y+1)2=0,则 x=2 且 y=-1”的逆命题,否命题,逆 否命题,并判断它们的真假. 【解析】逆命题:若 x=2 且 y=-1,则+(y+1)2=0,真命题; 否命题:若+(y+1)20,则 x2 或 y-1, 因为逆命题为真,所以否命题为真; 逆否命题:若 x2 或 y-1,则+(y+1)20, 显然原命题为真命题,所以逆否命题为真命题.