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1、第三章空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算,自 学 导 引 (学生用书P59),1.理解空间向量相等向量向量的模共线向量的概念. 2.掌握空间向量的加法减法运算,掌握空间向量的运算律. 3.能够正确运用空间向量的运算法则化简向量表达式.,课 前 热 身 (学生用书P59),1.定义:在空间中,_叫做空 间向量,通常用_表示向量,有向线段的长度叫做向 量的_,记为_.,1.既有大小,又有方向的量,有向线段,模,|a|,2.特殊向量 零向量:规定_,叫做零向量,记为_. 单位向量:_叫做单位向量. 相等向量:_称为相等向量. 相反向量:_称为相反向量.,长
2、度为0的向量,0,模长为1的向量,长度相等且方向相同的向量,长度相等,但方向相反的向量,3.加法法则:_和_. 4.加法运算律:交换律_. 结合律:_.,三角形法则,平行四边形法则,a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c),名 师 讲 解 (学生用书P59),1.正确理解向量的概念 向量是既有大小,又有方向的量,向量的模是正数或0,是可以 比较大小的,由于方向不能比较大小,因此“大于”“小于”对向 量来说是没有意义的,比如可以说|a|b|,但不能说ab.,2.正确应用向量的三角形法则和平行四边形法则 (1)在掌握向量加减法的同时,应首先掌握有特殊位置关系的 两个向量的和或差,如共线共起点
3、共终点等.,(3)在应用向量的三角形法则和平行四边形法则时,要注意其 要点: 对于向量加法运用平行四边形法则要求两向量共起点,运 用三角形法则要求向量首尾顺次相连. 对于向量的减法要求两向量有共同的起点.,3.空间向量和的多边形法则,此即为空间向量和的多边形法则. 用折线作向量的和时,有可能折线的终点恰恰重合到起点上, 这时的和向量就为零向量.,典 例 剖 析 (学生用书P60),题型一 空间向量的有关概念 例1:给出以下命题: 两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同; 若空间向量a、b满足|a|=|b|,则a=b; 若空间向量m、n、p满足m=n,n=p,则m=p; 空间中任意两个单
4、位向量必相等.,其中不正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:C,解析:当两个空间向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量 必相等;但两个向量相等,却不一定有起点相同、终点相同,故 错;根据向量相等的定义,要保证两向量相等,不仅模要相等, 而且方向还要相同,但中向量a与b的方向不一定相同,故 错;根据正方体的性质,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,向量,变式训练1:判断以下命题的真假: (1)向量 的长度相等; (2)将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点,则它们的 终点构成一个圆; (3)空间向量就是空间中的一条有向线段; (4)不相等的两个空间向量的模必不相等.
5、,(2)假命题.将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时, 它们的终点将构成一个球面,而不是一个圆; (3)假命题.有向线段只是空间向量的一种表示形式,但不能把 二者完全等同起来; (4)假命题.不相等的两个空间向量的模也可以相等,只要它们 的方向不相同即可.,题型二 空间向量的加、减运算,A.2个 B.3个 C.4个 D.6个 分析:灵活运用向量加法的三角形法则或平行四边形法则. 解析:根据空间向量的加法法则以及长方体的性质,逐一进行 判断.,答案:D,规律技巧:熟练掌握向量加法的三角形法则或平行四边形法 则是解决此类问题的关键,熟练之后也可借助字母规律解之.,变式训练2:已知正方体ABC
6、DABCD的中心为O, 则在下列各结论中正确的结论共有( ),A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,解析:如图所示,由正方体的性质知,中心O平分各体对角线. ,正确.,答案:C,题型三 空间向量的化简,答案:C,技 能 演 练 (学生用书P61),基础强化 1.下列命题中正确的有( ) (1)分别在两个平面内的两个向量不能转化为共面向量. (2)空间中,首尾相接的若干个向量构成一个封闭图形,则它们的和为0. (3)因为向量由长度和方向两个属性构成,一般地说,向量不能比较大小. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个,解析:在空间任何两个向量都是共面的,所以(1)不正确.在(2) 中它们的和应
7、为0,而不是0,所以(2)不正确,(3)是正确的. 答案:B,2.两个非零向量的模相等是两个向量相等的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:B,3.如图在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是( ),答案:D,答案:C,答案:C,6.已知向量a、b是两个非零向量,a0、b0是与a、b同方向的单位向量,那么下列各式中正确的是( ) A.a0=b0 B.a0=b0或a0=-b0 C.a0=1 D.|a0|=|b0| 答案:D,A. B. C. D.,答案:A,0,能力提升 9.如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,M为A1C1与 B1D1的交点,化简下列向量表达式.,10.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,以8个顶点中的 任意两个为始点和终点的向量中, (1)单位向量共有多少个? (2)写出与向量 相等的向量.,品味高考,答案:C,答案:C,