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1、正弦定理、余弦定理,1正弦定理、余弦定理及相关知识,b2c22bccosA,c2a22cacosB,a2b22abcosC,2RsinA,2RsinB,2RsinC,sinAsinBsinC,2.在ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下,ABC中的常用结论 A+B+C= A、B、C成等差数列的充要条件是B60； S= abABsin Asin B；,【知识拓展】,在ABC中，给定A、B的正弦或余弦值，则C的正弦或余弦有解(即存在)的充要条件是cosAcosB0.简证如下：C有解(AB)有解0cos(B)cos Acos Bcos Acos B0.因此判断C是否有解，只需考虑cos Acos
2、B的符号即可,(2)sin(AB)sin C，cos(AB)cos C，tan(AB)tan C，cos sin . (3)三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 (4)等边对等角，等角对等边，大边对大角，大角对大边,1(苏州市高三教学调研考试)在ABC中，A，B，C对应的三边长为a，b，c，若a2(bc)2bc，则A的大小等于_ 解析：根据余弦定理得cos A ， A 答案： 2(2010东台中学高三诊断)若ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，向量m(ac，ba)，n(ac，b)，若mn，则C等于_ 答案：60,3在ABC中，如果A60，c4，a2 ， 则
3、此三角形有_个解 解析：A60，c4，a2 ， 由正弦定理得： ，即 sin C1.又0C180，C90，B30. 因此三角形只有一个解 答案：一,在ABC中，已知acos Abcos B，则ABC的形状为_ 解析：由已知acos Abcos B得 ，又由正弦定理，得 所以 ，整理得：sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B. 因为A、B为三角形内角，所以2A2B或2A2B， 所以AB或AB ，即ABC为等腰三角形或直角三角形 答案：等腰三角形或直角三角形,4,5(江苏省高考命题研究专家原创卷)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a，b，c成等差数列，
4、sin A，sin B，sin C成等比数列，则该三角形的形状是_ 解析：由a，b，c成等差数列得2bac，由sin A，sin B，sin C成等比数列得sin2Bsin Asin C，所以由正弦定理得b2ac. ac，所以abc，所以三角形是等边三角形 答案：等边三角形,【例1】已知ABC中，sin Asin Bsin C ，求最大角 思路点拨：由三个角的正弦比，得出三边比，再判断哪个角最大， 然后运用余弦定理求解 解：由正弦定理，知 2R， abc 不妨设a 1，b 1，c ，由在三角形中大边对大角知， C最大由余弦定理，知cos C ，C120.,变式1：已知ABC中，abc2 1)，
5、 求ABC中的各角的大小 解：设a2k，b k，c( 1)k(k0)， 利用余弦定理，有cos A A45.同理可得cos B ，B60. C180(AB)75.,这类题型主要是利用正、余弦定理及其变形，把题设条件中的边、 角关系式转化为角或者边的简单关系式，进而进行判断 【例2】在ABC中，如果lg alg clg sin Blg ，且B为锐角，试判断此三角形的形状 思路点拨：先进行对数的运算，再将边化角即可,解：由lg alg clg sin Blg ，得sin B ， 又B为锐角，B45. 同时 ， . sin C2sin A2sin(135C)， 即sin Csin Ccos C， c
6、os C0，所以C90.故此三角形为等腰直角三角形,变式2：在ABC中，已知sin C2sin(BC)cos B，那么ABC的形状是_ 解析：由sin C2sin(BC)cos B，得sin C2sin Acos B. 再结合正、余弦定理得： 整理得a2b2，所以ABC一定是等腰三角形也可由sin C2sin Acos B， 可得sin(AB)2sin Acos B，sin(AB)0，从而AB. 答案：等腰三角形,1这类题型同一般三角函数中三角函数的求值与证明相类似，但也有着不同之处，如涉及到的关系式中除角外还可能涉及到边，因而转化方式有角的转化和边的转化 2三角形中三角函数的证明问题主要是围
7、绕三角形的边和角的三角函数展开的，从某种意义上来看，这类问题就是有了目标的含边和角的式子的化简问题,【例3】在ABC中，证明： 思路点拨：等式左边有边也有角，右边只有边，故考虑把等式左边的角转化为边 证明：左边 右边故原命题得证,【例4】 在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边长已知a、b、c成等比数列，且a2c2acbc，求A的大小及 的值 思路点拨：把已知条件a2c2acbc变形，构造余弦定理结构求出A的值，然后再利用正弦定理变形求出 的值,解：(1)a、b、c成等比数列，b2ac，又a2c2acbc， b2c2a2bc. 在ABC中，由余弦定理得cos A ，A60. (2)在AB
8、C中，由正弦定理sin B ， b2ac，A60，,变式3：(2010北京海淀区高考模拟题)在ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边如果(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，且AB， 求证：ABC是直角三角形,证明：由已知得：a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB) 利用两角和、差的三角函数公式可得2a2cos Asin B2b2sin Acos B. 由正弦定理得asin Bbsin A，acos Abcos B. 又由正弦定理得2Rsin Aa,2Rsin Bb， 2Rsin Acos A2Rsin Bcos B，即sin 2Asin
9、2B. AB，2A2B，AB .ABC是直角三角形,【规律方法总结】,1根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角； (2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换 2用正弦(余弦)定理解三角形问题时可适当应用向量数量积求三角形内 角与应用向量的模求三角形边长等 3在判断三角形形状或解斜三角形中，一定要注意解是否唯一，并注重 挖掘隐含条件 4注意体会函数与方程思想、等价转化思想的应用,【高考真题】,【例5】 (2009天津卷)在ABC中，BC ，AC3，sin C2sin A. (1)求AB的值；(2)求sin 的值 分析：根据正弦定理求AB的值，根据余弦定理求出A的余
10、弦，根据倍角公式求出2A的正弦值、余弦值，再根据两角和、差的正弦公式 求sin 的值,解：由 ，得sin A ab，AB45，A为锐角或钝角，A60或A120. 当A60时，C180604575， c 当A120时，C1801204515， c,2已知方程x2(bcos A)xacos B0的两根之积等于两根之和，且a，b为ABC的两边，A，B为a，b的对角，试判断ABC的形状 分析：要判断三角形的形状，就要根据条件得出三角形中的边的关系或角的关系，由题意，先得到边角的关系式，然后再根据正、余弦定理来判断 解：设方程的两根为x1，x2，由根与系数关系，得x1x2bcos A， x1x2acos B，由题意，得bcos Aacos B，由正弦定理， 得2Rsin Bcos A2Rsin Acos B，即sin Bcos Asin Acos B0， 即sin(AB)0，在ABC中，A，B为其内角， AB，AB0， ABC为等腰三角形,