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1、2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系,2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系,第二章 点、直线、平面之间的位置关系,生 活 数 学,地铁线条与柱子线条,水流线条与桥面线条,相交直线 （有一个公共点）,平行直线 （无公共点）,立交桥中, 两条路线,复习回顾,两路相交,立交桥,既不平行又不相交,不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。,概念定义,异面直线的定义,异面直线的画法：为了体现不共面的特点采用平面衬托法,异面直线的判定定理,连结平面内一点和平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线,知识延伸,证明：,点,点,直线,直线 异面,想一想,做一做：,1.已知M、N分
2、别是长方体的棱C1D1与CC1上的点，那么MN与AB所在的直线是异面直线吗？,2. 下图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？,想一想,做一做：,三对,AB与CD AB与GH EF与GH,a与b是相交直线,a与b是平行直线,a与b是异面直线,答：不一定：它们可能异面，可能相交， 也可能平行。,分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？,合作探究,空间两条直线的位置关系有且只有三种,没有,只有一个,没有,共面,不共面,共面,空间中两条直线的位置关系,2、在同一平面内，同平行于一条直线的两条直线有什么位置关系？,互相平行,提出问题
3、：空间中的两条直线呢？,问题2：没有公共点的直线一定平行吗？,问题3：没有公共点的两直线一定在同 一平面内吗？,2. 空间两平行直线,提出问题：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？,公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。,公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。,公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。,ab cb,ac,符号表示：设空间中的三条直线分别为a, b, c,若,想一想:空间中,如果两条直线都与第三条直线垂直,是否也有类似的规律?,例题示范,例1： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是A
4、B，BC，CD，DA的中点。 求证：四边形EFGH是平行四边形。,分析：,欲证EFGH是一个平行四边形,只需证EHFG且EHFG,E，F，G，H分别是各边中点,连结BD,只需证： EH BD且EH BD FG BD且FG BD,例题示范,例1： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。 求证：四边形EFGH是平行四边形。,变式一： 在例2中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形?,E,H,F,G,分析： 在例题2的基础上我们只需要证明平行四边形的两条邻边相等。,菱形,3. 等角定理,提出问题:在平面上,我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角
5、的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”。在空间中,结论是否仍然成立呢?,观察思考：如图,ADC与ADC、ADC与ABC的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？,3. 等角定理,定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。,3. 等角定理,定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。,定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.,4. 异面直线所成的角,如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线aa，bb，我们把a与b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角（或夹角）。,为了简便，
6、点O通常取在两条异面直线中的一条上，例如，取在直线b上，然后经过点O作直线aa，a 和b所成的锐角（或直角）就是异面直线a与b所成的角。,想一想:a与b 所成角的大小与点O的位置有关吗?,4. 异面直线所成的角,如果两条异面直线所成的角为直角，就说两条直线互相垂直，记作ab。,异面直线所成的角,已知两条异面直线a、b，在空间任取一点O，作aa，bb ，,a与b所成的锐角或直角，叫做异面直线a、b所成的角(或叫做夹角),b,O,a,思考：异面直线所成角的范围是,5. 异面直线的判定定理,异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线,与 是异面直线,例题示
7、范,例2、如图，已知正方体ABCDABCD 中。 （1）哪些棱所在直线与直线BA是异面直线？ （2）直线BA 和CC 的夹角是多少？ （3）哪些棱所在的直线与直线AA 垂直？,解：（1）由异面直线的判定方法可知，与直线,成异面直线的有直线,，,例题示范,例2、如图，已知正方体ABCDABCD 中。 （1）哪些棱所在直线与直线BA是异面直线？ （2）直线BA 和CC 的夹角是多少？ （3）哪些棱所在的直线与直线AA 垂直？,解：（2）由 可知， 等于异面直线 与 的夹角,所以异面直线 与 的夹角为450 。,(3) 直线,与直线 都垂直.,例3: 如图， 是平面 外的一点 分别是 的重心， 求证
8、： 。,证明：连结 分别交 于 ,连结 , G,H分别是ABC,ACD的重心,M,N分别是BC,CD的中点, MN/BD, 又 GH/MN,由公理4知GH/BD.,练习反馈：,1. 判断: （1）平行于同一直线的两条直线平行.（ ） （2）垂直于同一直线的两条直线平行.（ ） （3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 . （ ） （4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条. （ ） （5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（ ） （6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等. （ ）,课堂小结： 这节课我们学习了两条直线的位置关系（平行、相交、异面），平行公理和等角定理及其推论异面直线的概念、判断及异面直线夹角的概念； 证明两直线异面的一般方法是“反证法”或“判定定理”；求异面直线的夹角的一般步骤是：“作证算答”,