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1、6.2 常用统计分布,上侧分位数u ( 0 1）满足,标准正态分布,一、四种常用统计分布,对于正态分布有：,上侧分 位数u,阴影部分面积为,查表 如 0.025 时， u？,2. 2 (chi方)分布,a分位数例,由度为n 的2分布，记为,称随机变量X 服从自,例1 若XN(0, 1)， 则 Y= X2 的概率密度为,即Y=X2 服从 2(1)分布.,教案 例3.4.5,例2 若X1，X2相互独立, X1N(0, 1), X2N(0,1), 则Y= X12+X22 有,即Y= X12+X22 2(2) 分布.,统计量的分布 (之一),定理6.2.1 设 X1，X2，Xn 相互独立且都服从标准正
2、态分布，则,即随机变量 2 服从自由度为 n 的卡方分布.,标准正态随机变量的独立平方和,2分布的三条性质：,性质1. (数字特征) 设 2 2(n) ，则有 E( 2 ) = n ， D( 2 ) = 2n,证明,且 X1，X2，,Xn相互独立，XiN(0,1)，,性质2(可加性) 设Y1，Y2相互独立, 且Y12(n1) , Y12(n2)，则 Y1+Y2 2(n1+ n2) .,证明 记,从而 Y1+Y2 2 (n1+n2).,且Xi , i=1,2,n1+n2 相互独立，XiN(0,1),性质3.(大样本分位数 ) 当n 足够大(如 n 45 )时，有,证明,2(n) 的上侧分位数(
3、0 1 )：,阴影部分面积为,3.自由度为 n的 t 分布 Tt(n),又称学生氏分布-第一个研究者以Student 作笔名发表文章.,查表计算,即随机变量 T 服从自由度为 n 的 t 分布.,定理6.2.2 设随机变量X, Y 相互独立, X N(0,1)，Y 2(n)，则,阴影部分面积为,t (n) 的上侧分位数 t (n) ( 0 1 )：,T 分布的特点：,1.关于纵轴对称：,例 查表计算：,t,- t= t1-,因 =PTt=PT-t=1- PT -t,故 PTt=1.,即 t= - t1-,例 查表计算：,2. n 较大时，,4. F 分布 F F ( n1 , n2 ),称X
4、服从第一自由度为n1,第二自由度为n2的 F分布.,定理6.2.3 设随机变量X，Y 相互独立， X 2(n1) ，Y 2(n2)，则,即随机变量 F 服从第一自由度为n1，第二自由度为n2 的F分布.,例 统计量的分布(之二),F ( n1 , n2 )的上侧分位数F ( n1 , n2 ) ( 0 1 )：,阴影部分面积为,推论1,推论2,证,二、抽样分布定理,定理6.2.4,应用例,定理6.2.5,设正态总体 X 与 Y 相互独立，,X , 样本为X1， X2， X n1,样本均值和样本方差为 ；,Y ，样本为Y1， Y2， Y n2，样本均值和样本方差为 .,有,分析,证明: (2),
5、服从正态分布，Sw2可化为2分布, 二者组合而成的统计量应服从 t 分布.,因 ， 相互独立，故U 与 V也相互 独立，从而,总体、个体,简单随机样本,统计量,统计量的分布,正态总体的 2个抽样定理,样本均值 样本方差 样本矩（样本相关系数）,2分布 t 分布 F分布,分位数,结构定理,例6.2.1 设随机变量X 服从正态分布N(0,1), 对给定的(01)，数u满足 ，,则 x 等于,u是上侧分位数.,解,阴影部分面积为 (1-)/2,面积为,#,例6.2.2 统计量的分布(之一),解,设 X1, X2 , , Xn 是来自正态总体 的容量为 n 的样本，求下列统计量的概率分布：,#,例6.
6、2.3 查表计算概率,注意 应注意分布表的定义与查法！,#,解,例6.2.4 统计量的分布(之二),设 X1, X2, , Xn +m是来自正态总体 的样本，求下列统计量的概率分布,由 t 分布结构定理，,#,3. 因Zt(m), 根据 t 分布结构定理，有,例6.2.5 设X1 ,X2 ,X9是来自正态总体X的随机样本，令,证明统计量Z 服从自由度为2 的t 分布.,证 记 D(X)=2(未知)，有,由于Y1, Y2相互独立 , 故,从而,由抽样分布定理知,因Y1和Y2相互独立, Y1和S2 相互独立, 而且 Y2和S2 相互独立，故Y1Y2 和S2 相互独立.,根据t 分布结构定理知,服从自由度为2 的 t 分布.,#,证明,且 X1，X2，,Xn相互独立，XiN(0,1)，,证 因,也相互独立同分布，,根据独立同分布中心极限定理有,近似成立，故,#,