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1、十四用相似三角形解决平衡问题（基础篇）十四用相似三角形解决平衡问题（基础篇） 一.选择题 1.（2019 兰州六校联考）内壁光滑的球体壳半径为 R，一长度小于直径的轻杆两端固定质量分别为mA、 mB 的小球 A、B。将轻杆置于球体内部后，最终静止在图示位置不动，球心 O 与杆在同一竖直面内，过球心 O 竖直向下的半径与杆的交点为 M，OM=R/2。下列判断中正确的是（ ） AmA mB，选项 A 错误。隔离小球 A 受力分析，画出 A 球所受的各个力，如图，由力三角形和几何三角形相似可得，mAgR/2=NAR，解得NA=2mAg，选项 B 正确。 隔离小球 B 受力分析，画出 B 球所受的各个
2、力，如图，由力三角形和几何三角形相似可得，mBgR/2=FBR， 解得 FB=2mBg，一定大于 B 小球的重力，选项 C 错误。若增大小球 A 的质量 mA，角会减小，选项 D 错误。 2. （6 分） （2019 河北邯郸一模）如图所示，光滑直角三角形支架 ABC 竖直固定在水平地面上，B、C 两点 均在地面上，AB 与 BC 间的夹角为 ，分别套在 AB、AC 上的小球 a 和 b 用轻绳连接，系统处于静止状态， 轻绳与 CA 间的夹角为 a、b 的质量之比为（ ） ABCD 【参考答案】A 【名师解析】分别以 a 和 b 为研究对象，进行受力分析，受到重力、支持力和绳子拉力，将重力和支
3、持力 进行合成，如图所示； 根据几何关系得到图中各个角度，利用正弦定理可得： ，解得 ma ，解得：mb 所以有：，故选项 A 正确、BCD 错误。 3. (2018开封联考)如图所示，质量均为m的小球A、B用劲度系数为k1的轻弹簧相连，B球用长为L的细 绳悬于O点，A球固定在O点正下方，当小球B平衡时，绳子所受的拉力为T1，弹簧的弹力为F1； 现把A、B 间的弹簧换成原长相同但劲度系数为k2(k2k1)的另一轻弹簧，在其他条件不变的情况下仍使系统平衡，此 时绳子所受的拉力为T2，弹簧的弹力为F2，则下列关于T1与T2、F1与F2大小之间的关系正确的是( ) AT1T2 B.T1T2 CF1F
4、1；故选项 A、D 错误，B、C 正确。 4如图所示，表面光滑的半球形物体固定在水平面上，光滑小环 D 固定在半球形物体球心 O 的正上方，轻 质弹簧一端用轻质细绳固定在A点，另一端用轻质细绳穿过小环 D 与放在半球形物体上的小球 P 相连，DA 水平。现将细绳固定点A向右缓慢平移的过程中(小球 P 未到达半球最高点前)，下列说法正确的是 （ ） A 弹簧变短 B 弹簧变长 C 小球对半球的压力不变 D 小球对半球的压力变大 【参考答案】AC 【名师解析】试题分析：分析小球受力情况：重力 G，细线的拉力T和半球面的支持力，作出、T，G N F N F 的矢量三角形，根据三角形相似法分析、T的变
5、化 N F 对小球P受力分析，受到绳子的拉力T，半球的支持力，竖直向下的重力G，如图所示，根据相似三角 N F 形法可知， 因为 OP 和 OD 都是恒定不变的，G也不变， DP 减小， 所以可知不变，T减小， N F 根据牛顿第三定律可知小球对半球的压力不变， 绳子的拉力减小， 即弹簧的弹力减小， 所以弹簧变短， 故AC 正确 5如图所示质量为 m、电荷量为 q 的带电小球 A 用绝缘细线悬挂于 O 点，带有电荷量也为 q 的小球 B 固定 在 O 点正下方绝缘柱上.其中 O 点与小球 A 的间距为l。O 点与小球 B 的间距为，当小球 A 平衡时，悬线 与竖直方向夹角，带电小球 A、B 均
6、可视为点电荷，静电力常量为 k，则（ ） A A、B 间库仑力大小 B A、B 间库仑力 C 细线拉力大小 D 细线拉力大小 【参考答案】B 【名师解析】A 的受力如图所示， 几 何 三 角 形 OAB 与 力 三 角 形 相 似 ， 由 对 应 边 成 比 例， 则， 由 余 弦 定 律 ，则，故 B 正确。 点睛：本题借助于相似三角形和余弦定理求解拉力的大小，对于此类题要正确的画出受力图，组建三角形。 6如图所示为一简易起重装置，AC 是上端带有滑轮的固定支架 BC 为质量不计的轻杆，杆的一端 C 用较链 固定在支架上，另一端 B 悬挂一个质量为 m 的重物，并用钢丝绳跨过滑轮 A 连接在
7、卷扬机上.开始时，杆 BC 与 AC 的夹角BCA90，现使BCA 缓缓变小，直到BCA=30.在此过程中，杆 BC 所受的力（不计一切 阻力） （ ） A 逐渐增大 B 先减小后增大 C 大小不变 D 先增大后减小 【参考答案】C 【名师解析】以结点B为研究对象，分析受力情况，作出力的合成图如图，根据平衡条件则知，F、N的合 力F合与G大小相等、方向相反。 根据三角形相似得：，又F合=G，得：，现使BCA缓慢变小的过程中，AB 变小，而AC、BC不变，则得到，F变小，N不变，所以绳子越来越不容易断，作用在BC杆上的压力大小不 变；故选 C。 【点睛】本题运用三角相似法研究动态平衡问题，直观形
8、象，也可以运用函数法分析研究 7如图所示，轻杆 OP 可绕 O 轴在竖直平面内自由转动，P 端挂一重物，另用一轻绳通过滑轮 A 系在 P 端。 在拉力 F 作用下当 OP 和竖直方向间的夹角 缓慢减小时，则（ ） A 拉力 F 的大小逐渐增大 B OP 杆的弹力 N 的大小保持不变 C OP 杆的弹力 N 做正功 D 拉力 F 做的功大于重力 G 做的功 【参考答案】B 【名师解析】 以P点为研究对象， 受到重物的拉力G、 轻绳的拉力F和OP杆的弹力N三个力作用， 由于平衡， 三力构成如图所示的力三角形。 上述力的三角形与几何三角形AOP相似，则，当缓慢减小时，AO、OP保持不变，AP逐渐 减
9、小，可知绳中拉力F逐渐减小，OP杆的弹力N大小保持不变，选项 A 错误、选项 B 正确；运动过程中弹 力N与速度方向垂直，所以弹力N不做功，选项 C 错误；由动能定理知拉力F做的功等于重力G做的功， 选项 D 错误。 8如图所示，固定在水平面上的光滑半球半径为R，球心O的正上方固定一 定滑轮，细线一端绕定滑轮， 今将小球的初始位置缓慢拉至B点，在小球到达B点前的过程中，小球对半球的压力FN，细线的拉力T大 小变化情况是（ ） A FN变大T变大 B FN变小T变大 C FN不变T变小 D FN变大T变小 【参考答案】C 【名师解析】对小球受力分析如图： 力三角形与边三角形相似，F=T，F合=G
10、，则，小球逐渐上移，L 逐渐减小，T 逐渐减小；R 不 变，FN不变。故 ABD 错误，C 正确。 9如图所示，是上端带定滑轮的固定坚直杆，质量不计的轻杆一端通过铰链固定在 点，另一端 悬 挂一重为 的物体，且 端系有一根轻绳并绕过定滑轮 ，用力 拉绳，开始时，现使缓慢变 小，直到杆接近竖直杆。此过程中（ ） A 力 逐渐增大 B 力 先逐渐减小后逐渐增大 C 轻杆对 端的弹力大小不变 D 轻杆对 端的弹力先减小后增大 【参考答案】C 【名师解析】以 B 点为研究对象，分析受力情况：重物的拉力 T（等于重物的重力 G） 、轻杆的支持力 N 和 绳子的拉力 F，作出力的示意图如图 由平衡条件得知
11、，N 和 F 的合力与 T 大小相等，方向相反，根据三角形相似可得：，又 T=G 解得 ：，使缓慢变小时，CA、AB 保持不变，CB 变小，则 F 减小，N 不变，故 ABD 错 误，C 正确。故选 C。 【点睛】以 B 点为研究对象，分析其受力情况，作出受力图，利用三角形相似法，得出各力与三角形 ABC 三边边长的关系，再分析 F 和 N 的变化。 10如图所示，不计重力的轻杆 OP 能以 O 点为圆心在竖直平面内自由转动，P 端用轻绳 PB 挂一重物，另用 一根轻绳通过滑轮系住 P 端 在力 F 的作用下， 当杆 OP 和竖直方向的夹角 (0)缓慢增大时， 力 F 的大小应( ) A 逐渐增大 B 恒定不变 C 逐渐减小 D 先增大后减小 【参考答案】A 【名师解析】试题分析：以P点为研究对象，分析受力情况，运用三角形相似法，得到力 F 与重力的关系， 再分析F的变化情况 以P点为研究对象，分析受力情况，根据平衡条件得：N和F的合力与重力G大小相等、方向相反，作出力 的合成图如图， 由三角形相似法得， 当杆 OP 和竖直方向的夹角（） 缓慢增大时，AP FG APAO 0 增大，而G、AO不变，得到F逐渐增大，A 正确