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1、-1- 第三章 导数应用 -2- 1 函数的单调性与极值函数的单调性与极值 -3- 1.1 导数与函数的单调性 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 导数与函数的单调性 如果在某个区间内,函数y=f(x)的导数f(x)0,则在这个区间上,函 数y=f(x)是增加的. 如果在某个区间内,函数y=f(x)的导数f(x)0(或f(x)0,则f(x)在该区间上是增加的,反之亦成 立. ( ) (2)函数f(x)在区
2、间(x1,x2)上的导数比在区间(x2,x3)上的导数大,则 函数在(x1,x2)上比在(x2,x3)上增长的快. ( ) (3)函数f(x)=ln x+ 在(-,1)上是减少的. ( ) (4)在某个区间内有f(x)=0,则f(x)为常数函数. ( ) XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三探究四思想方法 求函数的单调区间求函数的单调区间 【例1】 求下列函数的单调区间. (1)f(x)=x4-2x2+3. (2)f(x)=2x-ln x. 分析:先求f(x),再解不等式f(x)0得递增区间,解不等
3、式f(x)0,解得-11, 函数f(x)的递增区间是(-1,0)和(1,+). 令4x(x+1)(x-1)0(或f(x)1,即a2时,函数f(x)在(-,1)上是增加的,在(1,a-1)上是减 少的,在(a-1,+)上是增加的. 依题意知,函数f(x)在区间(1,4)上是减少的,在(6,+)上是增加的, 4a-16,即5a7. a的取值范围是5,7. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三探究四思想方法 (方法二)f(x)=x2-ax+a-1, 由题意知f(x)0在区间(1,4)上恒成立,f(x)0在
4、(6,+)上恒成立. 5a7.故a的取值范围为5,7. 反思感悟已知f(x)在区间(a,b)上的单调性,求参数的方法 (1)利用集合的包含关系处理:f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相 应单调区间的子集. (2)利用不等式的恒成立处理:f(x)在(a,b)上单调,则f(x)0或 f(x)0在(a,b)内恒成立,注意验证等号是否成立. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三探究四思想方法 变式训练变式训练3已知函数f(x)=x3-kx在区间(-3,-1)上不单调,则实数k的 取值范围是 .
5、解析:f(x)=3x2-k,由题意知3x2-k=0在(-3,-1)内有解,即k=3x2在(- 3,-1)内有解. 又当x(-3,-1)时,3x2(3,27),k(3,27). 答案:(3,27) XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三探究四思想方法 变式训练变式训练4若函数f(x)=x3-ax2+1在0,2内是减少的,求实数a的取 值范围. 解:(方法一)f(x)=3x2-2ax=x(3x-2a). 当a=0时,f(x)0,故y=f(x)在(-,+)上是增加的,与y=f(x)在0,2 内是减少的不符,
6、舍去. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三探究四思想方法 (方法二)f(x)=3x2-2ax. 由y=f(x)在0,2内是减少的知3x2-2ax0在0,2内恒成立. 当x=0时,由3x2-2ax0在0,2内恒成立得aR. 当x0时,3x2-2ax0在0,2内恒成立, 综上可知,a的取值范围是3,+). XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三探究四思想方法 证明不等式证明不等式 分析:由题目可获取以下主要信
7、息:要证明当x0时,x- 0), 可先令F(x)=x-sin x,于是F(0)=0, 由于F(x)=1-cos x0,所以F(x)在(0,+)上是增加的,从而有 F(x)F(0)=0, 即x-sin x0,xsin x(x0). XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三探究四思想方法 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三探究四思想方法 反思感悟利用导数证明不等式的步骤 (1)构造函数:F(x)=f(x)-g(
8、x). (2)求导:F(x)=f(x)-g(x). (3)判断函数的单调性. (4)若F(x)在区间上的最小值大于或等于0,则f(x)g(x); 若F(x)在区间上的最大值小于或等于0,则f(x)g(x). XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三探究四思想方法 变式训练变式训练5已知函数f(x)= +ln x,则有 ( ) A.f(2)0恒成立,即f(x)在(0,+)上是增加的. 又21,求证:xln(1+x). 分析:构造函数f(x)=x-ln(1+x),只要证明在x(1,+)上,f(x)0恒 成立
9、即可. 证明:设f(x)=x-ln(1+x)(x1). f(x)在(1,+)上是增加的. 又f(1)=1-ln 21-ln e=0, 即f(1)0,f(x)0,即xln(1+x)(x1). XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三探究四思想方法 函数与其导函数的关系函数与其导函数的关系 【例4】 下图是函数f(x)的导函数f(x)的图像,则下列判断中正确 的是( ) A.函数f(x)在区间(-3,1)上是增加的 B.函数f(x)在区间(1,3)上是减少的 C.函数f(x)的递增区间为(-3,1),(3,
10、+) D.函数f(x)的递增区间为(0,2),(4,+) 解析:根据f(x)的正、负判断函数f(x)的单调性,在(0,2),(4,+)上 f(x)0,所以函数f(x)的递增区间是(0,2),(4,+),函数f(x)的递减区间 是(-3,0),(2,4). 答案:D XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三探究四思想方法 反思感悟研究一个函数的图像与其导函数的图像之间的关系时, 要注意抓住各自的关键要素.对原函数,我们重点考察其图像在哪 个区间上是增加的,哪个区间上是减少的,而对于导函数图像,则应 考察导
11、函数值在哪个区间上大于0,哪个区间上小于0,并考察这些 区间与原函数的单调区间是否吻合. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三探究四思想方法 变式训练变式训练7f(x)是函数f(x)的导函数,y=f(x)的图像如图所示,则 y=f(x)的图像最有可能是下列选项中的( ) XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三探究四思想方法 解析:题目所给出的是导函数的图像,导函数的图像在x轴的上方, 表示导函数值大于零,原
12、函数的图像呈上升趋势;导函数的图像在x 轴的下方,表示导函数值小于零,原函数的图像呈下降趋势. 当x(-,0)时,导函数图像在x轴的上方,表示在此区间上,原函数 的图像呈上升趋势,可排除B,D两选项. 当x(0,1)时,图像在x轴的下方,表示在此区间上,原函数的图像 呈下降趋势,可排除A选项.故选C. 答案:C XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三探究四思想方法 分类讨论思想在研究函数单调性中的应用 【典例】 已知函数f(x)= (xR),其中aR,当a0时, 求函数f(x)的单调区间. 分析:因为
13、a的大小及符号不确定,所以要先求f(x),然后对a的取值 进行讨论,以确定单调区间. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三探究四思想方法 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三探究四思想方法 方法点睛导函数值的符号是影响函数在区间上的单调性的决定 因素,在涉及含参数函数的单调性的判定、求单调区间问题时,需 要分类讨论: (1)讨论导数的最高次项系数,若最高次项含参数,则需分大于0、 小于0、等于0讨论.若最
14、高次项不含参数,则不需要讨论. (2)讨论导数不等式的解集,一般情况下导函数都是二次函数,要 讨论二次函数的判别式是否大于零,再讨论两根的大小,以确定不 等式的解集. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三探究四思想方法 解:当-10,则f(x)0,函数在区间(-1,1)上是增加的. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 5 1.函数f(x)=2x-sin x在(-,+)上( ) A.是增加的 B.是减少的 C
15、.在(0,+)上是增加的,在(-,0)上是减少的 D.在(0,+)上是减少的,在(-,0)上是增加的 解析:由f(x)=2-cos x0,可知f(x)在(-,+)上是增加的. 答案:A XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 5 2.若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则实数m的取值范围是( ) 解析:由已知函数是R上的单调函数,可得y=3x2+2x+m0恒成立, 判别式=4-12m0,解得m . 答案:C XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJ
16、IEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 5 3.若在区间(a,b)内有f(x)0,且f(a)0,则在(a,b)内有( ) A.f(x)0B.f(x)0,且f(a)0, 函数f(x)在区间(a,b)上是增加的. f(x)f(a)0. 答案:A XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 5 4.函数f(x)的导函数y=f(x)的图像如图,则函数f(x)的递增区间为 . 解析:由y=f(x)的图像,可知在(-1,0)和(2,+)上,f(x)0,故f(x)的递增 区间为(-1,0)和(2,+). 答案:(-1,0)和(2,+)