《2020版高考数学（福建专用）一轮复习课件：7.5 数学归纳法 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学（福建专用）一轮复习课件：7.5 数学归纳法 .pdf（23页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、7 7. .5 5 数学归纳法数学归纳法 知识梳理 -2- 知识梳理双基自测21 1.数学归纳法的定义 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立; (2)(归纳递推)假设n=k(kn0,kN*)时命题成立,证明当n= 时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数 n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法. 知识梳理 -3- 知识梳理双基自测21 2.数学归纳法的框图表示 知识梳理 2 -4- 知识梳理双基自测3415 答案 答案 关闭 (1) (2) (3) (4) (5) 1.下列结论正
2、确的打“”,错误的打“”. (1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立.( ) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.( ) (3)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1 时,项数都增加了一项.( ) (4)用数学归纳法证明问题时,必须要用归纳假设.( ) (5)用数学归纳法证明等式“1+2+22+ ”,验证当n=1 时,等号左边的式子应为1+2+22+23.( ) 知识梳理 -5- 知识梳理双基自测23415 答案 答案 关闭 C 知识梳理 -6- 知识梳理双基自测23415 A.n=k+1时等式成立 B.n=k+2时等式成立 C.
3、n=2k+2时等式成立 D.n=2(k+2)时等式成立 答案 答案 关闭 B 知识梳理 -7- 知识梳理双基自测23415 4.在用数学归纳法证明“平面内有n条(n2)直线,任何两条不平 行,任何三条不过同一个点的交点个数为 时,第一步验证n0等 于( ) A.1B.2 C.3D.4 答案解析解析 关闭 因为平面内不平行的两条相交直线就有交点,所以验证n0=2. 答案解析 关闭 B 知识梳理 -8- 知识梳理双基自测23415 5.用数学归纳法证明1+2+3+n2= ,当n=k+1时,左端应 在n=k的基础上增添的代数式是 . 答案解析解析 关闭 当n=k时,左侧=1+2+3+k2,当n=k+
4、1时,左侧 =1+2+3+k2+(k2+1)+(k2+2)+(k+1)2, 当n=k+1时,左端应在n=k的基础上增添(k2+1)+(k2+2)+(k+1)2. 答案解析 关闭 (k2+1)+(k2+2)+(k+1)2 -9- 考点1考点2考点3 思考用数学归纳法证明等式的注意点有哪些? 证明：当n=1时, -10- 考点1考点2考点3 假设当n=k时等式成立, 这就是说,当n=k+1时等式也成立. 由和可知,对任何nN*等式都成立. -11- 考点1考点2考点3 解题心得用数学归纳法证明等式的注意点: (1)用数学归纳法证明等式问题,要“先看项”,弄清等式两边的构 成规律,等式两边各有多少项
5、,初始值n0是多少. (2)由n=k时等式成立,推出n=k+1时等式成立,一要找出等式两边 的变化(差异),明确变形目标;二要充分利用归纳假设,进行合理变 形,正确写出证明过程. (3)不利用归纳假设的证明,就不是数学归纳法. -12- 考点1考点2考点3 -13- 考点1考点2考点3 -14- 考点1考点2考点3 例2若函数f(x)=x2-2x-3,定义数列xn如下:x1=2,xn+1是过点 P(4,5),Qn(xn,f(xn)的直线PQn与x轴的交点的横坐标,试运用数学归 纳法证明:2xna2. (2)假设当n=k(kN+)时,ak+10,nN* (1)求a1,a2,a3,并猜想an的通项
6、公式; (2)证明通项公式的正确性. 思考解决“归纳猜想证明”问题的一般思路是什么?哪些问题 常用该模式解决? -20- 考点1考点2考点3 -21- 考点1考点2考点3 -22- 考点1考点2考点3 解题心得解决“归纳猜想证明”问题的一般思路:通过观察有 限个特例,猜想出一般性的结论,然后用数学归纳法证明.这种方法 在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广 泛的应用. -23- 考点1考点2考点3 对点训练对点训练3把一个圆分成n(n3)个扇形,设用4种颜色给这些扇形 染色,每个扇形恰染一种颜色,并且要求相邻扇形的颜色互不相同, 设共有f(n)种方法. (1)写出f(3),f(4)的值; (2)猜想f(n)(n3),并用数学归纳法证明. 解：(1)f(3)=24,f(4)=84. (2)当n4时,第1个扇形a1有4种不同的染法,因为第2个扇形a2的 颜色与a1的颜色不同,所以a2有3种不同的染法,类似地,扇形a3,an- 1均有3种染法. 对于扇形an,用与扇形an-1不同的3种颜色染色,但是,这样包括了它 与扇形a1颜色相同的情况,而扇形a1与扇形an颜色相同的不同染色 方法数就是f(n-1),于是可得f(n)=43n-1-f(n-1).