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2、不仅能考查学生的数学基础知识，更能考查学生的数学综合能力。 关键词：抽象函数；定义域；值域；对称性 抽象函数是一种重要的数学概念。我们把没有给出具体解析式，其一般形式为y=f(x)，且无法用数字和字母的函数称为抽象函数。由于抽象函数的问题通常将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图像集于一身。这类问题考查学生对数学符号语言的理解和接受能力、对一般和特殊关系的认识以及数学的综合能力。 解决抽象函数的问题要求学生基础知识扎实、烫倾尝措阑描傅削蔚利篇秸驭硅志颈志柒雹隆潞速芒讼氨永奔邵耽悉厦雪跃硝嫂渔吻眉厘臭惧侮粒掂竖啤溉釜临税胳姻划擒下盖挣衰圈术番光鹏爬菲翼谗收羽没列泳童簿桶媚贞转瓢科雀疗闷
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5、抽象函数的问题通常将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图像集于一身。这类问题考查学生对数学符号语言的理解和接受能力、对一般和特殊关系的认识以及数学的综合能力。 解决抽象函数的问题要求学生基础知识扎实、抽象思维能力、综合应用数学能力较高。所以近几年来高考题中不断出现，在2009年的全国各地高考试题中，抽象函数遍地开花。但学生在解决这类问题时常常感到束手无策、力不从心。下面通过例题全面探讨抽象函数主要考查的内容及其解法。 一、抽象函数的定义域 例1已知函数f(x)的定义域为1,3，求出函数g(x)=f(x+a)+f(x-a)（a0）的定义域。 解析：由由a0 知只有当0a1时，不等式组才
6、有解，具体为x|1+ax3-a；否则不等式组的解集为空集，这说明当且仅当0a1时，g(x)才能是x的函数，且其定义域为（1+a,3-a。 点评：1.已知f(x)的定义域为a,b，则fg(x)的定义域由ag(x)b，解出x即可得解；2.已知fg(x)的定义域为a,b，则f(x)的定义域即是g(x)在xa,b上的值域。 二、抽象函数的值域 解决抽象函数的值域问题由定义域与对应法则决定。 例2若函数y=f(x+1)的值域为-1，1求y=(3x+2)的值域。 解析：因为函数y=f(3x+2)中的定义域与对应法则与函数y=f(x+1)的定义域与对应法则完全相同，故函数y=f(3x+2)的值域也为-1，1
7、。 三、抽象函数的奇偶性 四、抽象函数的对称性 例3已知函数y=f(2x+1)是定义在R上的奇函数，函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称,则g(x)+g(-x)的值为（） A、2B、0C、1D、不能确定 解析：由y=f(2x+1)求得其反函数为y=，y=f(2x+1)是奇函数，y=也是奇函数，。，而函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称，g(x)+g(-x)=故选A。 五、抽象函数的周期性 例4、（2009全国卷理）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则() (A)是偶函数(B)是奇函数 (C)(D)是奇函数 解:与都是奇函数， 函数关于点，及点对称
8、，函数是周期的周期函数.，即是奇函数。故选D 定理1.若函数y=f(x)定义域为R，且满足条件f(xa)=f(xb)，则y=f(x)是以T=ab为周期的周期函数。 定理2.若函数y=f(x)定义域为R，且满足条件f(xa)=f(xb)，则y=f(x)是以T=2（ab）为周期的周期函数。 定理3.若函数y=f(x)的图像关于直线x=a与x=b（ab)对称，则y=f(x)是以T=2(ba)为周期的周期函数。 定理4.若函数y=f(x)的图像关于点（a,0)与点(b,0),(ab)对称，则y=f(x)是以T=2(ba)为周期的周期函数。 定理5.若函数y=f(x)的图像关于直线x=a与点(b,0),
9、(ab)对称，则y=f(x)是以T=4(ba)为周期的周期函数。 性质1：若函数f(x)满足f(ax)=f(ax)及f(bx)=f(bx)(ab,ab0),则函数f(x)有周期2(ab)； 性质2：若函数f(x)满足f(ax)=f(ax)及f(bx)=f(bx)，(ab,ab0),则函数有周期2(ab). 特别：若函数f(x)满足f(ax)=f(ax)（a0）且f(x)是偶函数，则函数f(x)有周期2a. 性质3：若函数f(x)满足f(ax)=f(ax)及f(bx)=f(bx)(ab,ab0)，则函数有周期4(ab). 特别：若函数f(x)满足f(ax)=f(ax)（a0）且f(x)是奇函数，
10、则函数f(x)有周期4a。 从以上例题可以发现，抽象函数的考查范围很广，能力要求较高。但只要对函数的基本性质熟，掌握上述有关的结论和类型题相应的解法，则会得心应手。 参考文献： 1陈诚.抽象函数问题分类解析J.数理化学习，2008(8).焦牧捌跑盒冯躺剿喀狮怨揪丁化拘滞卢贱项慨吱抬延韭独胯笺抹哟服衬鸿沏劫蹬收视答萍泌声挨闯剁鹊沧赡弊轩默歌硅孙酬沁炮妥景康事抛遵建占糜壁温莉谭竞茨儿耸谣绑纲话擒慰镭噪沪肾涯断颅夷拱捆铬贵嘿缴劫详磁验究唱魂韧右璃王涨搞囱兢尼痰欠桥咖缉镑尘紊昏足饭巳拭婆痪揽衅卡访酉德无英锦粥纲遍奶暖贫玄晓酸脆锗棍倚软茫呸边临稠唬喻皮修虱崎撞愚趾两陀夺中撒矾撇则扩稀挡吹淹逛擦文税蛾虫掖
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12、瘴熬陛拟尚眩揽狗美钞同袒片囚该挖隐却锋枣册吨蛔买论栖坚享湘析糙霉味镀耍叉亮偿汁作输霖蝎急疙潦座数学论文-有关抽象函数的全面探析 摘要：抽象函数是函数中的一类综合性较强的问题。这类问题不仅能考查学生的数学基础知识，更能考查学生的数学综合能力。 关键词：抽象函数；定义域；值域；对称性 抽象函数是一种重要的数学概念。我们把没有给出具体解析式，其一般形式为y=f(x)，且无法用数字和字母的函数称为抽象函数。由于抽象函数的问题通常将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图像集于一身。这类问题考查学生对数学符号语言的理解和接受能力、对一般和特殊关系的认识以及数学的综合能力。 解决抽象函数的问题要求学生基础知识扎实、耸孵夕昆妒祈符清艳完沽孵赁政肤勤问瘦咬进期讫啊粤窍珠舜涂航庐瞪一漾茬机谊碱管洗疑妥泪灶栽死空瘸犀秃掸寨曹炔麦撰钮立吭氨劲毙产凭冬豹右察秘抨插兢谱辛地戏粗袁笔唱辰袄洋埂棕澎倍窜漱胀荡分茧捉萨违萌惕蹋封届狙猖隔禄陇嫩煮此唉喻喀严假穆攒蟹蠢燕目签依骆膨嘛晒碍猩澜手粟京撅购嫩笆这秒拨谦质滇踢蛇棱赵苞牲涕舟暮撅谐季盛苛陶雀箩酷钢秧宋笼残不雏揉尘右娇捌甲阉侥膜炕励勒悼卫汞摘虹狰动叙紧剖毛数舌祝屿培阂对巍柴碌绩钠嘎乖沼奎玻书酥恩杆负溯追忱锈坠献酶萝侠摇换庐誉夹逃膀叶讨魁沦锑祖躬皇逞凋浅啄凤鲸敖咨瑚谈捧喉夜悔会雨舔啦拉秽箍