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1、密 级 公 开 学 号 200940404065 衡水学院毕业论文（设计）反循环矩阵的性质及其逆矩阵的讨论论文作者： 指导教师： 系别：数学与计算机科学系专业数学与应用数学年级：2009级提交日期：2013年5月22日答辩日期：2013年5月30日毕业论文（设计）学术承诺本人郑重承诺：所呈交的毕业论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不存在抄袭情况，论文中不包含其他人已经发表的研究成果，也不包含他人或其他教学机构取得的研究成果。作者签名： 日 期： 毕业论文（设计）使用授权的说明本人了解并遵守衡水学院有关保留、使用毕业论文的规定。即：学
2、校有权保留或向有关部门送交毕业论文的原件或复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公开论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文及相关资料。作者签名： 指导教师签名： 日 期： 日 期： 2009级数学与应用数学专业毕业论文论文题目：反循环矩阵的性质及其逆矩阵的讨论摘 要：反循环矩阵是矩阵理论的一个重要组成部分,具有很多良好的性质和结构,因此在数理统计、编码理论等很多学科中都有应用，越来越成为应用数学领域中一个非常活跃和重要的研究内容。故很有必要对其进行研究,讨论其特殊的性质和结构。本文共分为三部分：1、 给出相关的预备知识,主要是文中用到的循环矩阵的基本概念以及性质。2、
3、给出了一个新的矩阵类型反循环矩阵的概念,并给出了该矩阵的一系列性质及其对角化的问题,并给出反循环矩阵的逆矩阵的性质以及求逆矩阵的一般方法。3、 给出了反循环矩阵求逆矩阵的简便方法，另外给出几类特殊的反循环矩阵的求逆方法。关键词：循环矩阵；反循环矩阵；对角化；逆矩阵；IIITitle：Properties of reverse circulation matrix and discuss the inverse matrixAbstract: The reverse circulation matrix is an important part of the matrix theory,havi
4、ng a lot of good nature and structure,therefore it has applications in many disciplines of mathematical statistics, coding theory, increasingly become a very active field of applied mathematics and important research.It is necessary to study it, discuss its special nature and structure.The paper is
5、divided into three parts:No. 1:Given prior knowledge, mainly is the basic concept of cyclic matrix used in this paper and properties.No. 2:Presents a new matrix type, the concept of reverse circulation matrix, and gives a series of properties of the matrix diagonalization problem, and given the natu
6、re of the reverse circulation inverse matrix inverse matrix method.No. 3: Reverse circulation is presented, the simple method of matrix inverse matrix, the other is given several categories of special reverse circulation matrix inversion methodKeywords: circulation matrix; reverse circulation matrix
7、 ; diagonalization ; inverse matrix.目 录摘 要IAbstractII1 绪论11.1 循环矩阵的发展与现状11.2 循环矩阵的概念11.3 循环矩阵的性质22 反循环矩阵的介绍22.1 反循环矩阵的概念32.2 反循环矩阵的性质42.3 反循环矩阵的对角化问题62.4 反循环矩阵的逆的一般求法73 几类特殊反循环矩阵的求逆方法103.1 第一行元素为的反循环矩阵103.2 二元反循环矩阵113.3 反对称反循环矩阵123.3.1 反对称反循环矩阵的概念123.3.2 反对称反循环矩阵的性质133.3.3 反对称反循环矩阵的逆矩阵的求法14结 语16参考文献
8、17致 谢18柳亚林：VLAN在校园网中的高效应用第 1 页 共 5 页2009级数学与应用数学专业毕业论文1 绪论1.1 循环矩阵的发展与现状Muir.T在1885年提出了循环矩阵的概念之后一直到1950年,关于循环矩阵的研究并没有引起广大数学工作者的重视。到1950年至1955年间,I.J.Good等人才分别对循环矩阵的逆、行列式以及特征值进行了研究。循环矩阵很特殊，它只含有n个元素，且任意行都可以通过对矩阵的第一行进行置换得到。这种特殊的结构使得它具有良好的性质，对它进行研究可以得到很多很有意义的结果。近些年来,循环矩阵已成为矩阵理论和应用数学领域中一项非常活跃和重要的研究内容,自195
9、0年以后,对它的研究引起了人们的高度重视。它不仅受到代数学诸多专家的重视，而且受到了计算数学、应用数学界等许多领域的研究人员的关注。另外，有关它的理论研究也得到了飞快发展。我国学者在这方面也做了很多卓有成效的工作。1.2 循环矩阵的概念我们先来了解一下循环矩阵的基本概念：定义1.2.1 复数域C上形如的矩阵称为n阶循环矩阵，简记为循环矩阵中还包含有一些特殊的矩阵，他们可以作为循环矩阵的分支。对于这些特殊矩阵的研究可以帮助我们更好地认识循环矩阵，同时对反循环矩阵的研究也有重要意义。接下来介绍一下这些特殊循环矩阵的概念。定义1.2.2 称具有这种形式的矩阵称为基本循环矩阵，简记为由定义1.2.2可
10、知定义1.2.3 若是复数域上的矩阵，称为分块循环矩阵，简记为定义1.2.4 具有这种形式的矩阵称为分块对称循环矩阵，记为1.3 循环矩阵的性质性质1.3.1 循环矩阵的基本列都是线性无关的。性质1.3.2 任意的循环矩阵都可以用循环矩阵基本列线性表出.性质1.3.3 若是阶循环矩阵,则：（1) 是循环矩阵。（2） 是循环矩阵,且（3） 是循环矩阵。性质1.3.4 一个循环矩阵如果可逆,则其逆矩阵也为循环矩阵。2 反循环矩阵的介绍反循环矩阵是在循环矩阵的基础上提出来的，它是一类特殊的矩阵，对于它的研究对编码理论、图象处理、结构计算等领域都有很重要的作用。在研究这类矩阵之前，先对反循环矩阵进行简
11、单的介绍。2.1 反循环矩阵的概念定义2.1.1 复数域C上形如的矩阵称为n阶反循环矩阵，简记为下面几个矩阵是反循环矩阵的一些特殊形式，了解和研究这些特殊矩阵对我们掌握好反循环矩阵的知识有着重要作用。定义2.1.2 具有这种形式的矩阵称为基本反循环矩阵，简记为由定义2.1.2可知此外，我们验证（其中E为n阶单位阵）。由此我们可以看出都是n阶反循环矩阵,并且他们是线性无关的。定义2.1.3 设为阶单位矩阵，为阶零矩阵，称这样形式的矩阵为基本的分块反循环矩阵。定义2.1.4 若是复数域上的矩阵，称为分块反循环矩阵，简记为定义2.1.5 具有这种形式的矩阵称为分块对称反循环矩阵，记为2.2 反循环矩
12、阵的性质性质2.2.1 阶反循环矩阵可以由基本反循环矩阵的方幂线性表出，反过来，如果矩阵可以由基本反循环矩阵的方幂线性表出，那么一定为反循环矩阵。因为任意一个阶反循环矩阵是基本反循环矩阵的方幂构成的多项式。例如：性质2.2.2 若是阶反循环矩阵,则：（2) 是反循环矩阵。（4） 是反循环矩阵,且（5） 是反循环矩阵。证明：（1）设则显然是阶反循环矩阵。（2） 由性质2.1.1可知注意到其中为非负整数。易知仍为反循环矩阵且（3)显然为反循环矩阵。性质2.2.3 若反循环矩阵可逆,则它的逆矩阵必为反循环矩阵。证明：设又设为的逆.下面证明:存在一组数使得而且因此有方程组的系数行列式为,而方程组有唯一
13、解，设为则使,由性质2.1.1可知是反循环矩阵。性质2.2.4 反循环矩阵一定与循环矩阵相似。证明：设为一反循环矩阵,的生成多项式为,是一循环矩阵,的生成多项式为由性质2.1.4可知存在可逆矩阵可将对角化,即再由相似的传递性,欲使与相似,只须令与相似即可,所以令即而此方程组的系数矩阵就是由于所以线性方程组存在唯一解此时故与相似。2.3 反循环矩阵的对角化问题性质2.3.1 任意的反循环矩阵在复数域上都可以对角化。性质2.3.2 任一阶矩阵可对角化的充要条件是它与某一阶反循环矩阵相似。证明：（1）充分性：若矩阵A和某个阶反循环矩阵相似,由性质2.1.4和相似关系的传递性知矩阵A可以对角化。（2）
14、必要性：若矩阵A可以对角化,则存在可逆矩阵C,使得令考虑下面的方程组：由于方程组的系数行列式的值为,故方程组有唯一解,设其解为则是一个反循环矩阵,且由性质2.1.4知:于是即与反循环矩阵相似。性质2.3.3 基本分块反循环矩阵S可对角化。2.4 反循环矩阵的逆矩阵的求法反循环矩阵的逆矩阵在矩阵理论中占有重要的地位。要计算反循环矩阵逆矩阵，我们可以将它看为是一般的矩阵，利用我们平时计算逆矩阵的方法来求。方法一：公式法例2.4.1 求反循环矩阵的逆矩阵。解：（法一）利用公式计算则可逆。要求，首先求的代数余子式。按照同样的方法可求得因此可求得这样根据公式我们就可求出运用求逆公式来求矩阵的逆，一般用于
15、二阶的矩阵，不建议对再高阶的矩阵求逆，因为那样计算量会比较大，不利于计算。对于高阶的矩阵求逆，我们有另一种方法来计算。方法二：初等行变换法如果n阶的矩阵A可逆，那么做一个的矩阵,然后对这个的矩阵进行初等行变换，直到将A化为单位矩阵，则E化为。下面我们根据方法三来计算一下例2.4.1.解：（法二）由此可得反循环矩阵的逆矩阵我们可以用一般的方法求得，下面我们来介绍一种简单实用的方法。方法三：设为反循环矩阵，它可逆，设其逆矩阵为求则需要确定的值。因为可逆，所以因此满足 （1）也即因此，要求只要求线性方程组（1），解出即可。下面我们根据方法三来计算一下例2.4.1.解：（法三）可逆。设其逆矩阵为因为可
16、逆，所以故满足 解线性方程组可得因此方法四：若反循环矩阵A可逆，那么是第一行元素为的反循环矩阵，其中分别是的第一行元素的代数余子式。方法四可以根据证得。3 几类特殊反循环矩阵的求逆方法3.1 第一行元素为的反循环矩阵设我们根据上面介绍的方法三来计算逆矩阵。以为系数矩阵的线性方程组为对的增广矩阵做初等行变换，得故线性方程组的解由下式决定：（1） 当时，所以（2） 当时，所以（3） 当且时，令那么所以为第一行元素的反循环矩阵。3.2 二元反循环矩阵设为二元反循环矩阵，计算可得所以当时，A可逆。根据上面介绍的方法四可以得到3.3 反对称反循环矩阵反对称反循环矩阵是一种特殊的反循环矩阵，它的特殊性使它
17、具有一些特殊的性质，也有着更为简单的求逆方法。3.3.1 反对称反循环矩阵的概念定义3.3.1 复数域C上形如且满足的矩阵称为阶反对称反循环矩阵，简记为本文用表示复数域上的所有阶矩阵，用表示中的所有反对称反循环矩阵的集合。由定义可知如果A是反对称反循环矩阵，那么故当时记为当时记为3.3.2 反对称反循环矩阵的逆矩阵的性质性质3.3.1 设是阶反对称反循环矩阵，则若可逆，那么也是反对称反循环矩阵。证明：要证结论成立，只要找到阶反对称反循环矩阵其中为待定常数使得即可。其中为单位矩阵。 因为所以 （2）(2) 式是以为未知数，以的转置矩阵为系数矩阵的线性方程组。由题设所以(2)式有唯一解而就是的逆矩
18、阵且可由线性表示，故是反对称反循环矩阵。3.3.3 反对称反循环矩阵的逆矩阵的求法在上面的内容中我们已经介绍了反循环矩阵的逆矩阵的求法，反对称反循环矩阵作为一种特殊的循环矩阵，它的逆矩阵当然可以用上面的方法来求。下面我们学习一种反对称反循环矩阵特殊的求逆矩阵的方法。引理3.3.1 记复数域上的阶范德蒙德矩阵则有上述引理是研究反对称反循环逆矩阵的重要内容。定理3.3.1 若且当时，可逆，则也是反对称反循环矩阵。其中证明:是-1的个次方根：反对称反循环矩阵对应的多项式的值为：这里反对称反循环矩阵的逆矩阵对应的多项式为：由(2)式有：即 （3）由引理3.3.1中复数域上的阶范德蒙德矩阵有可知则有由定
19、理3.3.1可知给出了反对称反循环矩阵的逆矩阵求法公式，为这类问题的求解提供了很大的方便。结 语反循环矩阵是矩阵理论中的一部分重要的内容，它在数学领域甚至其它学科中都有着广泛的应用论文在以循环矩阵的知识为基础的前提下，对反循环矩阵的性质及其逆矩阵进行了讨论，并且介绍了几类特殊的反循环矩阵求逆的方法。力求将反循环矩阵的知识系统全面起来，有利于以后反循环矩阵更深层次的研究与运用。第 17 页 共 18 页参考文献1姚存峰.循环矩阵的逆矩阵J.数学通报,1986(10).2詹颖,于宝满.循环矩阵的逆J.数学通报,1989(15).3丘和.循环矩阵的逆矩阵J.数学通报,1992(3).4王济荣.反循环
20、矩阵的逆J.数学通报,1992(3).5北京大学数学系.高等代数M.北京:高等教育出版社,1999.6樊恽等.代数学辞典Z.武汉:华中师范大学出版社,1994.7李炯生.轮回矩阵的逆矩阵J.数学的实践和认识,1981,(2):31-37.8江兆林.关于两类循环矩阵的非异性J.数学的实践和认识,1995,(2):52-58.9毛纲源.循环矩阵逆矩阵的插值法证明J.武汉工业大学学报,1991,(4):109-113.10王济荣.反循环矩阵的逆J.数学通报,1992(3).11章志明,沈元华,陈惠芬.光学(第二版)M.北京:高等教育出版社,2000:91-101.12Ore O.Some studi
21、es on cyclic determinantsJ.Duke Math.1951,18:343-354.13Varga R.S.Eigenvalues of circulantsJ.Pacific J.Math.1954,4:151-160.致 谢首先感谢我的导师白椿。论文从选题、结构安排、文字处理直至最终定稿的全过程无一不是在老师的悉心指导、严格要求和亲切关怀下完成的。从白椿老师的身上，我不仅学到了扎实、宽广的专业知识，也学到了做人的道理。在此我要向我的指导老师白椿老师表示最衷心的感谢和深深的敬意，谢谢您。再次感谢衡水学院图书馆，它给了我们搜索知识，文献的良好平台，让我们有更多资料充实自己！还有你们，我的同学们，无私地与我一起分享宝贵的材料，谢谢你们！需要特别感谢的是我的父母和家人，谢谢你们这么多年来对我的培养、无私奉献和一贯的支持，同时感谢亲戚、朋友们多年来精神上和物质上的帮助，没有你们当年的鼓励和资助我就不可能完成现在的学业最后，向所有关心、支持和爱护我的师长、同学和朋友们道一声谢谢！