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1、专题 30专题 30 平面向量 平面向量的概念及线性运算 平面向量 平面向量的概念及线性运算 【考点讲解】 【考点讲解】 一、具本目标：一、具本目标： 1平面向量的实际背景及基本概念 （1）了解向量的实际背景. （2）理解平面向量的概念和两个向量相等的含义. （3）理解向量的几何表示. 2向量的线性运算 （1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义. （2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义. （3）了解向量线性运算的性质及其几何意义. 备考情况：1.1.以考查向量的线性运算、共线为主，主要是在理解含义的基础上，进一步解题，比如利用向 量的线性运算求参数. 2.单独考查
2、平面向量的实际背景及基本概念的题目极少. 3.备考重点： (1) 理解相关概念是基础，掌握线性运算的方法是关键； (2) 注意与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题，注意运用数形结合的思想方法. 二、知识概述：二、知识概述： 1向量的概念1向量的概念 1向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模 2零向量：长度等于 0 的向量，其方向是任意的 3单位向量：长度等于 1 个单位的向量 4平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量共线 5相等向量：长度相等且方向相同的向量 6相反向量：长度相等且方向相反的向量 2平面向量的线性运算2平面向量的线性运算 一
3、向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何意义)运算律 加法 求两个向量 和的运算 三角形法则 平行四边形法则 交换律： 结合律： 减法 求a与b的 相反向量 -b的和的 运算叫做a 与b的差 三角形法则 二向量的数乘运算及其几何意义 1定义：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作a，它的长度与方向规定如 下： |a|a|； 当0 时，a的方向与a的方向相同 ； 当0 时，a的方向与a的方向相反 ； 当0 时，a0. 2运算律：设，是两个实数，则： ； . 3.向量共线定理： 如果有一个实数，使，那么 b与 a是共线向量； 反之，如果 b与 a 0 a是共线向量，那么有且只有一个
4、实数，使 ba. 4.三点共线的性质定理： (1)若平面上三点、 、ABC共线，则.AB BC (2)若平面上三点ABC、 、共线，O为不同于ABC、 、的任意一点，则，且1.OC OA OB 【温馨提示】 (1)如果两个向量起点相同，终点相同，那么这两个向量相等；但两个相等向量，不一定有相同的起点和终 点 (2)零向量和单位向量是两个特殊的向量它们的模确定，但方向不确定 (3)两个重要的结论： 向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性； 向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量 【真题分析】【真题分析】 1.【2018 年全国文】在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则E
5、B （ ） ABC D 【答案】A 【变式】 【2017 宁夏育才】设D为ABC所在平面内一点，CDBC3，则（ ） A. B. C. D. 【解析】 .故选 B. 【答案】B 2.【2015 四川文 2】设向量)共线，则实数x ( ) A.2 B.3 C.4 D.6 【解析】 本题考点是向量的坐标表示以及向量共线的性质的应用， 因为两向量平行， 所以有， 有 24x6， 解得x3，选 B. 【答案】B 3.【2014 课标全国，文 6】设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EBFC ( ) AAD B 1 2 AD CBC D 1 2 BC 【答案】 A 4.【2017 四
6、川七中三诊】设D为ABC中BC边上的中点，且O为AD边上靠近点A的三等分点，则 （ ） A. B. C. D. 【 解 析 】 本 题 考 点 是 平 面 向 量 的 加 减 法 运 算 法 则 ， 由 题 意 可 知 在 三 角 形BAO中 ： ，故选A. 【答案】A 5.【2017安徽六校联考】在平行四边形ABCD中，aAB ，bAC ， 则BE( ) Aab 3 1 Bab 3 2 Cab 3 4 Dab 3 1 【解析】因为，所以 =ab 3 4 ，故选 C. 【答案】C 6. 【2017 安徽马鞍山二模】已知PQ为ABC中不同的两点，且 ， ，则 为（ ） A. 1:2 B. 2:1
7、 C. 2:3 D. 3:2 【答案】A. 7.【2014 福建,文 10】设M为ABCD对角线的交点，O为ABCD所在平面内任意一点， 则等于 （ ） A.OM B.OM2 C.OM3 D.OM4 【解析】本题的考点是平面向量的线性运算，相反向量的和向量是零向量. 由已知得， 而所以 . 【答案】D 8.【2016 广西联考】直线l过ABCD的两条对角线AC与BD的交点O，与AD边交于点N,与AB的 延长线交于点M.又知AB mAM ，AD nAN，则mn= . 【 解 析 】 据 题 意 ,点O为BD的 中 点 . AB mAM ，AD nAN 又,M O N三点共线，由平面内三点共线的向量式定理可得：1 22 mn 2mn.【答案】2 【模拟考场】【模拟考场】 1已知O为ABC所在平面内一点且满足：，则AOB与 AOC的面积之比为 ( ) A1 B. 3 2 C. 2 3 D2 【错解】 据题意O为ABC的重心， 从而 AOB与AOC的面积之比为 1，选 A 【正解】, 令 所以，则O为AB C 的重心， 从而：, 1 2 OAB SS , 1 3 OAC SS , AOB的面积与AOC的面积之比为 3：2