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1、随堂巩固训练随堂巩固训练(31) 1. 若钝角三角形 ABC 的面积是 ，AB1，BC，则 AC_ 1 2 25 解析 ： 由题意得 SABC ABBCsinB， 即 sinB， 所以 B45或 B135.当 B135 1 2 2 2 时，cosB.利用余弦定理得 AC2AB2BC22ABBCcosB1221sin2B 2 2 5， 即 AC； 当 B45时， cosB.由余弦定理得 AC2AB2BC22ABBCcosB15 2 2 221，即 AC1，所以 AB2AC2BC2，即ABC 为直角三角形，不符合题意，所 以 AC . 5 2. 在ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为
2、a， b， c， 已知 ac2b， sinBsinC，22 则 cosA_ 2 4 解析：由 sinBsinC 得 bc.又 ac2b，所以 ac.由余弦定理得 cosA2222 . b2c2a2 2bc 2c2c22c2 2 2c2 2 4 3. 在ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 已知 8b5c， C2B， 则 cosC_ _ 7 25 解析 ： 因为 8b5c， 所以由正弦定理知 8sinB5sinC.因为 C2B， 所以 B ， 所以 8sin C 2 10sin cos .又因为 sin 0，所以 cos ，所以 cosC2cos21. C 2 C
3、2 C 2 C 2 C 2 4 5 C 2 7 25 4. 在锐角三角形ABC中， 角A， B， C所对的边分别为a， b， c， 已知23cos2Acos2A0， a 7，c6，则 b_5_ 解析 ： 因为 23cos2Acos2A23cos2A2cos2A10，所以 cos2A.因为 A 为锐角， 1 25 所以 cosA .又因为 a7， c6， 所以由余弦定理得 a2b2c22bccosA， 即 49b236 1 5 b，解得 b5 或 b(舍去)，则 b5. 12 5 13 5 5. 在ABC 中，其面积 S，则 C_ _ a2b2c2 4 3 6 解析 ： 由余弦定理得a2b2c2
4、2abcosC， 所以ABC的面积S a2b2c2 4 3 2abcosC 4 3 absinC，所以 cosCsinC，所以 tanC.因为 C 为ABC 的内角，所以 C . 1 2 3 3 3 6 6. 在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 1，则 A_ _ tanA tanB 2c b 3 解析：由正弦定理及 1得 1，化简可得 sin(AB) tanA tanB 2c b sinAcosB cosAsinB 2sinC sinB 2sinCcosA.又因为 sin(AB)sinC，且 sinC0，sinB0，所以 cosA .因为 A 为ABC 1 2 的内角
5、，所以 A . 3 7. 在锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 6cosC，则 b a a b _4_ tanC tanA tanC tanB 解析 ： 因为 6cosC，所以由余弦定理可得6，所以 a2b2， a b b a a2b2 ab a2b2c2 2ab 3c2 2 所以 tanC tanA tanC tanB cosAsinC cosCsinA cosBsinC cosCsinB sinC cosC( cosA sinA cosB sinB) sinC cosC sinBcosAsinAcosB sinAsinB 4. sin2C sinAsin
6、BcosC c2 abcosC c2 ab 2ab a2b2c2 2c2 3c2 2 c2 8. 在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 bc2a，3sinA5sinB， 则ABC 的形状为_钝角_三角形 解析：因为 3sinA5sinB，所以由正弦定理可得 3a5b，所以 a b.因为 bc2a， 5 3 所以 c b，所以 cosC .因为 C(0，)，所以 C，故ABC 为钝角三 7 3 a2b2c2 2ab 1 2 2 3 角形 9. 在ABC 中，已知(bc)(ca)(ab)456，下列结论中正确的序号是 _ 由已知条件，这个三角形被唯一确定； ABC 一定是钝
7、角三角形； sinAsinBsinC753; 若 bc8，则ABC 的面积是. 15 3 2 解析 ： 由已知可设 bc4k，ca5k，ab6k，k0，则 a k，b k，c k，k0， 7 2 5 2 3 2 所以由正弦定理 abc753，所以 sinAsinBsinC753，所以正确；同时 由于ABC 的边长不确定，故错误；因为 cosA 0， b2c2a2 2bc 25 4 k29 4k 249 4 k2 2 5 2k 3 2k 1 2 所以ABC 为钝角三角形，所以正确；若 bc8，则 b5，c3.因为 cosA ，所 1 2 以 sinA，所以 SABC bcsinA，故错误 3 2
8、 1 2 15 3 4 10. 已知在ABC 中， ABAC4， BC2， D 为 AB 延长线上一点， BD2， 连结 CD， 则BDC 的面积是_，cosBDC_ 15 2 10 4 解析 ： 如图， 取 BC 的中点 E.因为 ABAC4， BC2， 所以 BE BC1， 1 2 AEBC，所以AE， 所以SABC BCAE 2.AB2BE215 1 2 1 2 1515 因为BD2 AB， 所以 SBDC SABC.因为 BCBD2， 所以BDC 1 2 1 2 15 2 BCD， 所以ABE2BDC. 在 RtABE中，因为 cosABE ， 所 BE AB 1 4 以cosABE2
9、cos2BDC1 ，所以 cosBDC. 1 4 10 4 11. 在ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， asinA4bsinB， ac(a2b2c2)5 (1) 求 cosA 的值； (2) 求 sin(2BA)的值 解析：(1) 由题意得 a24b2，即 a2b. 因为 ac(a2b2c2)，所以由余弦定理得 cosA.5 b2c2a2 2bc 5 5 ac ac 5 5 (2) 由(1)可得 sinA，代入 asinA4bsinB，得 sinB. 2 5 5 asinA 4b 5 5 由(1)知 A 为钝角，所以 B 为锐角，所以 cosB，1sin2B
10、2 5 5 所以 sin2B2sinBcosB ，cos2B12sin2B ， 4 5 3 5 所以 sin(2BA)sin2BcosAcos2BsinA . 4 5( 5 5) 3 5 2 5 5 2 5 5 12. 在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 bcosB 是 acosC，ccosA 的 等差中项 (1) 求角 B 的大小； (2) 若 ac，b2，求ABC 的面积10 解析：(1) 由题意得 acosCccosA2bcosB， 由正弦定理得 sinAcosCsinCcosA2sinBcosB，即 sin(AC)2sinBcosB. 因为 ABC，所以 si
11、n(AC)sinB2sinBcosB. 因为 B(0，)，所以 sinB0，所以 cosB ，所以 B . 1 2 3 (2) 由余弦定理得cosB，即 . a2c2b2 2ac （ac）22acb2 2ac 1 2 将 ac，b2 代入上式，得 ac2，所以 SABC acsinB. 10 1 2 3 2 13. 在ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 且 m(cosA， cosC)， n(a， 2bc)， 若 mn. (1) 求角 A 的大小； (2) 当 a时，求 b2c2的取值范围3 解析：(1) 由 mn 得(2bc)cosAacosC， 由正弦定理得(2sinBsinC)cosAsinAcosC， 即 2sinBcosAsinAcosCcosAsinCsin(AC)sinB. 因为 sinB0，所以 cosA .因为 A(0，)，所以 A . 1 2 3 (2) 由正弦定理2，得 b2sinB，c2sinC， a sinA b sinB c sinC 所以 b2c24sin2B4sin2C2(1cos2B1cos2C)22cos2Bcos24 ( 2 3 B) 2sin. (2B 6) 因为 0B，所以 2B ，所以 sin1， 2 3 6 6 7 6 1 2 (2B 6) 所以 b2c2的取值范围是(3，6