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1、4 平面向量的坐标4 平面向量的坐标 内容要求 1.会用坐标表示平面向量的加、 减与数乘运算， 并能将向量的几何运算和代数运 算灵活地结合起来解决一些平面向量的计算(重点).2.理解用坐标表示的平面向量共线的条 件，并能正确地进行有关计算(难点) 知识点 1 平面向量的坐标表示 (1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解 (2)向量的坐标表示 ： 在平面直角坐标系中， 分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i i，j j 作为基底，a a为坐标平面内的任意向量，以坐标原点O为起点作a a.由平面向量基本定理OP 可知，有且只有一对实数x，y，使得xi iyj
2、 j，因此a axi iyj j.我们把实数对(x，y)叫OP 作向量的坐标，记作a a(x，y) (3)向量坐标的求法 ： 在平面直角坐标系中， 若A(x，y)， 则(x，y)， 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，OA 则(x2x1，y2y1)AB 【预习评价】 1(正确的打“” ，错误的打“”) (1)相等向量的坐标相同；() (2)平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；() (3)一个坐标对应于唯一的一个向量；() (4)平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应() 2相等向量的坐标相同吗？相等向量的起点、终点的坐标一定相同吗？ 提示 由向量坐标的定义知 ： 相等向量的坐
3、标一定相同，但是相等向量的起点、终点的坐标 可以不同 知识点 2 平面向量的坐标运算 (1)若a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，则a ab b(x1x2，y1y2)，即两个向量和的坐标等于这 两个向量相应坐标的和 (2)若a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，则a ab b(x1x2，y1y2)，即两个向量差的坐标等于这 两个向量相应坐标的差 (3)若a a(x，y)，R R，则a a(x，y)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数 乘原来向量的相应坐标 (4)已知向量的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)AB AB 【预习评价】 (1)若A(2
4、，1)，B(1,3)，则的坐标是( )AB A(1,2)B(1，2) C(3,4)D(3，4) (2)若向量a a(2,3)，b b(1,2)，则a ab b的坐标为( ) A(1,5)B(1,1) C(3,1)D(3,5) 答案 (1)C (2)C 知识点 3 向量平行的坐标表示 设a a，b b是非零向量，且a a(x1，y1)，b b(x2，y2) (1)当a ab b时，有x1y2x2y10. (2)当a ab b且b b不平行于坐标轴，即x20，y20 时，有.即若两个向量(与坐标轴不 x1 x2 y1 y2 平行)平行，则它们相应的坐标成比例；若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平
5、行 【预习评价】 1平面向量a a(1，2)，b b(2，x)，若a ab b，则x_. 答案 4 2已知向量a a(2，6)，b b(1，)，若a ab b，则_ 解析 a ab b， 260， 解得3， 当3 时，b b(1， 3)，a a2b b， a ab b 成立 答案 3 题型一 平面向量的坐标表示 【例1】 已知边长为2的正三角形ABC， 顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D 为AC的中点，分别求向量， ， ，的坐标AB AC BC BD 解 如图，正三角形ABC的边长为 2，则顶点A(0,0)，B(2,0)，C(2cos 60，2sin 60)， C(1，)，D(
6、 ，)，3 1 2 3 2 (2,0)，(1，)，AB AC 3 (12，0)(1，)，BC 33 ( 2，0)( ，)BD 1 2 3 2 3 2 3 2 规律方法 (1)向量的坐标等于终点的坐标减去起点的相应坐标，只有当向量的起点在坐标 原点时，向量的坐标才等于终点的坐标 (2)求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义 和性质进行计算 【训练 1】 若已知A(1,2)，B(0，1)，C(3，k) (1)求；AB (2)若已知(m，2)，试求k、m. 1 2AB BC 解 (1)A(1,2)，B(0，1)， (1，3)AB (2) (1，3)(3，k1)
7、1 2AB BC 1 2 . ( 7 2， 5 2k) 由已知(m，2)， ( 7 2， 5 2k) m ，k . 7 2 1 2 题型二 平面向量坐标的线性运算 【例 2】 已知三点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，点P满足(R R)AP AB AC (1)为何值时，点P在函数yx的图像上？ (2)设点P在第三象限，求的取值范围 解 设P(x，y)，则(x2，y3)AP AP AB AC (52,43)(72,103) (3,1)(5,7) (35，17)， Error! Error! 点P的坐标是(55，47) (1)令 5547，可得 ， 1 2 当 时，点P在函数yx的图像上
8、 1 2 (2)点P在第三象限， Error!解得1. 的取值范围是|1 规律方法 1.向量的坐标表示法，可以使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来， 这样许多几何问题的解决就可以转化为我们熟知的数量运算 2如果两个向量是相等向量，那么它们的坐标一定对应相等 【训练 2】 已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及t，试问：OP OA AB (1)当t为何值时，P在x轴上、P在y轴上、P在第三象限？ (2)四边形OABP是否能成为平行四边形？若能，则求出t的值；若不能，说明理由 解 (1)由tOP OA AB (13t,23t)，则P(13t,23t) 若P在x轴上，则 23t0，
9、所以t ； 2 3 若P在y轴上，则 13t0，所以t ； 1 3 若P在第三象限，则Error! 所以t . 2 3 (2)因为(1,2)，(33t,33t)，若OABP是平行四边形，则，OA PB OA PB 所以Error!此方程组无解 故四边形OABP不可能是平行四边形 方向 1 向量共线的判定 【例 31】 已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，3)判断与是否共线？如果共线，AB CD 它们的方向相同还是相反？ 解 (0,4)(2,1)(2,3)AB (5，3)(1,3)(4，6)CD 方法一 (2)(6)340， 且(2)40，与共线且方向相反AB CD 方法二 2
10、，CD AB 与共线且方向相反AB CD 方向 2 利用向量共线求参数 【例 32】 已知a a(1,2)，b b(3,2)，当k为何值时，ka ab b与a a3b b平行？平行时 它们是同向还是反向？ 解 方法一 ka ab bk(1,2)(3,2)(k3,2k2)， a a3b b(1,2)3(3,2)(10，4) 当ka ab b与a a3b b平行时，存在唯一的实数， 使ka ab b(a a3b b)， 即(k3,2k2)(10，4)， Error! 解得k . 1 3 当k 时，ka ab b与a a3b b平行， 1 3 这时ka ab b (a a3b b)a ab b. 1
11、 3 1 3 0，ka ab b与a a3b b反向 1 3 方法二 由方法一知ka ab b(k3,2k2)， a a3b b(10，4) ka ab b与a a3b b平行， (k3)(4)10(2k2)0， 解得k . 1 3 此时ka ab b (a a3b b) ( 1 33， 2 32) 1 3 当k 时，ka ab b与a a3b b平行，并且反向 1 3 方向 3 向量共线的综合应用 【例 33】 如图， 已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)， 求AC与OB的交点P的坐标 解 方法一 由题意知P，B，O三点共线，可设(4，4)，OP OB 则(44,4)
12、，AP OP OA (2,6)，AC OC OA 由与共线，AP AC 得(44)64(2)0， 解得 ， 3 4 (3,3)，OP 3 4OB P(3,3)即为所求 方法二 设P(x，y)，则(x，y)，OP 且(4,4)，又与共线，xy.OB OP OB 又(x4，y)，(2,6)，与共线，AP AC AP AC 则得(x4)6y(2)0， 解得xy3，即P点坐标为(3,3) 规律方法 1.由向量共线求参数的值的方法： 2a ab b的充要条件有两种表达方式： (1)a ab b(b b0)a ab b(R R)； (2)设a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，则a ab bx1y2
13、x2y10. 两种充要条件的表达形式不同 第(1)种是用线性关系的形式表示的， 而且有前提条件b b0， 而第(2)种无b b0 限制. 课堂达标 1已知平面向量a a(1,1)，b b(1，1)，则向量a ab b等于( ) 1 2 3 2 A(2，1)B(2,1) C(1,0)D(1,2) 解析 a ab b (1,1) (1，1)(1,2) 1 2 3 2 1 2 3 2 答案 D 2已知向量a a(1,1)，b b(x2，x2)，若a a，b b共线，则实数x的值为( ) A1B2 C1 或2D1 或 2 解析 由题意知，1(x2)x210，即x2x20，解得x1 或x2. 答案 D
14、3已知向量a a(2，3)，b b(1,2)，p p(9,4)，若p pma anb b，则mn_. 解析 由Error!解得Error! 答案 7 4已知向量(k,12)，(4,5)，(10，k)，如果A、B、C三点共线，则实数kOA OB OC _. 解析 (k,12)，(4,5)，(10，k)，OA OB OC (4k，7)，(6，k5)，AB BC A、B、C三点共线， (4k)(k5)(7)60， 解得k2 或k11. 答案 2 或 11 5已知点A(1，3)，B(1,1)，直线AB与直线xy50 交于点C，求点C的坐标 解 设点C(x，y)A、B、C三点共线， (2,4)(2，4)
15、AC AB (x1，y3)(2，4)， Error!C(21,43) 把点C(21,43)代入xy50 得 (21)(43)50，解得 . 3 2 C(2,3) 课堂小结 1在平面直角坐标系中，向量的坐标与点的坐标形式相同，但意义不同它们之间的对应 关系： 有序实数对(x，y)向量点A(x，y) 一一对应 OA 一一对应 2通过平面向量的坐标表示和运算，应着重体会用向量处理问题的两种方法：向量法和坐 标法体会数形结合思想的指导作用，体会向量在解决问题中的工具性作用 3两个向量共线条件的表示方法 已知a a(x1，y1)，b b(x2，y2) (1)当b b0 时，a ab b. (2)x1y2
16、x2y10. (3)当x2y20 时，即两向量的相应坐标成比例. x1 x2 y1 y2 基础过关 1已知a ab b(1,2)，a ab b(4，10)，则a a等于( ) 1 2 A(2，2)B(2,2) C(2,2)D(2，2) 答案 D 2若a a(2cos ，1)，b b(sin ，1)，且a ab b，则 tan 等于( ) A2B.1 2 C2D1 2 解析 a ab b，2cos 1sin . tan 2.故选 A. 答案 A 3已知向量a a(1,2)，b b(2,3)，c c(3,4)，且c c1a a2b b，则1，2的值分别为 ( ) A2,1B1，2 C2，1D1,2
17、 解析 由Error!解得Error! 答案 D 4已知点A(1,3)，B(4，1)，则与向量同方向的单位向量为_AB 解析 (4，1)(1,3)(3，4)，AB OB OA 与同方向的单位向量为.AB A B |AB | ( 3 5， 4 5) 答案 (3 5， 4 5) 5若三点P(1,1)，A(2，4)，B(x，9)共线，则x的值为_ 解析 (1，5)，(x1，10)，PA PB P、A、B三点共线，与共线PA PB 1(10)(5)(x1)0，解得x3. 答案 3 6已知a a(2,1)，b b(1,3)，c c(1,2)，求p p2a a3b bc c，并用基底a a、b b表示p
18、p. 解 p p2a a3b bc c 2(2,1)3(1,3)(1,2) (4,2)(3,9)(1,2)(2,13) 设p pxa ayb b，则有 Error!解得Error! p pa ab b. 19 7 24 7 7已知(3,4)，(7,12)，(9,16)，求证：A，B，C三点共线OA OB OC 证明 (4,8)，AB OB OA (6,12)，AC OC OA ，即与共线AC 3 2AB AB AC 又与有公共点A，AB AC A，B，C三点共线 能力提升 8 已知向量集合Ma a|a a(1,2)(3,4)，R R，Na a|a a(2， 2)(4,5)， R R，则MN等于
19、( ) A(1,1)B(1,1)，(2，2) C(2，2)D 解析 令(1,2)1(3,4)(2，2)2(4,5)， 即(131,241)(242，252) Error!解得Error! 故M与N只有一个公共元素(2，2) 答案 C 9已知A、B、C三点在一条直线上，且A(3，6)，B(5,2)，若C点的横坐标为 6，则C 点的纵坐标为( ) A13B9 C9D13 解析 设C点坐标(6，y)，则(8,8)，(3，y6)AB AC A、B、C三点共线，y9. 3 8 y6 8 答案 C 10 在平面直角坐标系xOy中， 已知A(1,0)，B(0,1)， 点C在第一象限内， AOC， 且OC2，
20、 6 若，则的值是_OC OA OB 解析 由题意，知(1,0)，(0,1)OA OB 设C(x，y)，则(x，y)OC 因为，OC OA OB 所以(x，y)(1,0)(0,1)(，)， 所以Error!又因为AOC，OC2， 6 所以x2cos，y2sin1， 6 3 6 所以1.3 答案 13 11 对于任意的两个向量m m(a，b)，n n(c，d)， 规定运算 “” 为m mn n(acbd，bcad)， 运算“”为m mn n(ac，bd)设m m(p，q)，若(1,2)m m(5,0)，则(1,2)m m等于 _ 解析 由(1,2)m m(5,0)， 可得Error!解得Erro
21、r! 所以(1,2)m m(1,2)(1，2)(2,0) 答案 (2,0) 12已知向量(4,3)，(3，1)，点A(1，2)AB AD (1)求线段BD的中点M的坐标； (2)若点P(2，y)满足(R R)，求y与的值PB BD 解 (1)设点B的坐标为(x1，y1) (4,3)，A(1，2)，AB (x11，y12)(4,3) Error!Error! B(3,1) 同理可得D(4，3) 设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)， 则x2 ，y21， 34 2 1 2 13 2 M. ( 1 2，1) (2)由已知得(3,1)(2，y)(1,1y)，PB (4，3)(3,1)(7，4)BD
22、 又，PB BD (1,1y)(7，4)， 即Error!Error! 13(选做题)已知向量u u(x，y)和向量v v(y,2yx)的对应关系用v vf(u u)表示 (1)若a a(1,1)，b b(1,0)，试求向量f(a a)及f(b b)的坐标； (2)求使f(c c)(4,5)的向量c c的坐标； (3)对任意向量a a，b b及常数，证明f(a ab b)f(a a)f(b b) (1)解 由条件可得u u(x，y)v v(y,2yx)，则f(a a)(1,211)(1,1)，f(b b) f (0,201)(0，1) (2)解 设c c(x，y)，则f(c c)(y,2yx)(4,5) Error!解得Error!即c c(3,4) (3)证明 设a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，则a ab b(x1x2，y1y2)， f(a ab b)(y1y2,2y12y2x1x2)， 又f(a a)(y1,2yx1)(y1,2y1x1)， f(b b)(y2,2y2x2)(y2,2y2x2) f(a a)f(b b)(y1y2,2y12y2x1x2) f(a ab b)f(a a)f(b b)