2019届高三数学（理）二轮专题复习文档：考前冲刺二 10个二级结论高效解题 Word版含解析.pdf

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1、结论 1 奇函数的最值性质 已知函数 f(x)是定义在区间 D 上的奇函数， 则对任意的 xD， 都有 f(x)f(x)0. 特别地， 若奇函数 f(x)在 D 上有最值， 则 f(x)maxf(x)min0， 且若 0D， 则 f(0)0. 【例 1】 设函数 f(x)的最大值为 M，最小值为 m，则 Mm （x1）2sin x x21 _. 解析 显然函数 f(x)的定义域为 R， f(x)1， （x1）2sin x x21 2xsin x x21 设 g(x)，则 g(x)g(x)， 2xsin x x21 g(x)为奇函数， 由奇函数图象的对称性知 g(x)maxg(x)min0， M

2、mg(x)1maxg(x)1min2g(x)maxg(x)min2. 答案 2 【训练 1】 对于函数 f(x)asin xbxc(其中 a，bR，cZ)，选取 a，b，c 的一组值计算 f(1)和 f(1)，所得出的正确结果一定不可能是( ) A.4 和 6 B.3 和 1 C.2 和 4 D.1 和 2 解析 令 g(x)f(x)casin xbx， 则 g(x)是奇函数.又 g(1)g(1)f(1)c f(1)cf(1)f(1)2c，而 g(1)g(1)0，c 为整数，f(1)f(1)2c 为偶数.选项 D 中，123 是奇数，不可能成立. 答案 D 结论 2 抽象函数的周期性与对称性

3、1.函数的周期性 (1)如果 f(xa)f(x)(a0)，那么 f(x)是周期函数，其中一个周期 T2a. (2)如果 f(xa)(a0)，那么 f(x)是周期函数，其中的一个周期 T2a. 1 f（x） (3)如果 f(xa)f(x)c(a0)，那么 f(x)是周期函数，其中的一个周期 T2a. 2.函数的对称性 已知函数 f (x)是定义在 R 上的函数. (1)若 f(ax)f(bx)恒成立，则 yf(x)的图象关于直线 x对称，特别地， ab 2 若 f(ax)f(ax)恒成立，则 yf(x)的图象关于直线 xa 对称. (2)若函数 yf(x)满足 f(ax)f(ax)0，即 f(x

4、)f(2ax)，则 f(x)的图象关 于点(a，0)对称. 【例 2】 (1)已知函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数， 当 x0 时， 有 f(x3)f(x)， 且当 x(0，3)时，f(x)x1，则 f(2 017)f(2 018)( ) A.3 B.2 C.1 D.0 (2)(2018日照调研)函数 yf(x)对任意 xR 都有 f(x2)f(x)成立， 且函数 y f(x1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)4，则 f(2 016)f(2 017)f(2 018)的值为 _. 解析 (1)因为函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数， 所以 f(2 017)f(2 017)， 因为当

5、 x0 时，有 f(x3)f(x)， 所以 f(x6)f(x3)f(x)，即当 x0 时，自变量的值每增加 6，对应函数值 重复出现一次. 又当 x(0，3)时，f(x)x1， f(2 017)f(33661)f(1)2， f(2 018)f(33662)f(2)3. 故 f(2 017)f(2 018)f(2 017)31. (2)因为函数 yf(x1)的图象关于点(1，0)对称， 所以 f(x)是 R 上的奇函数， f(x2)f(x)，所以 f(x4)f(x2)f(x)，故 f(x)的周期为 4. 所以 f(2 017)f(50441)f(1)4， 所以 f(2 016)f(2 018)f

6、(2 014)f(2 0144) f(2 014)f(2 014)0， 所以 f(2 016)f(2 017)f(2 018)4. 答案 (1)C (2)4 【训练 2】 奇函数 f(x)的定义域为 R.若 f(x2)为偶函数， 且 f(1)1， 则 f(8)f(9) ( ) A.2 B.1 C.0 D.1 解析 由 f(x2)是偶函数可得 f(x2)f(x2)， 又由 f(x)是奇函数得 f(x2)f(x2)， 所以 f(x2)f(x2)，f(x4)f(x)，f(x8)f(x)，故 f(x)是以 8 为周期的 周期函数， 所以 f(9)f(81)f(1)1.又 f(x)是定义在 R 上的奇函

7、数， 所以 f(0) 0，所以 f(8)f(0)0，故 f(8)f(9)1. 答案 D 结论 3 两个经典不等式 (1)对数形式：x1ln x(x0)，当且仅当 x1 时，等号成立. (2)指数形式：exx1(xR)，当且仅当 x0 时，等号成立. 进一步可得到一组不等式链：exx1x1ln x(x0，且 x1). 【例 3】 (2017全国卷改编)已知函数 f(x)x1aln x. (1)若 f(x)0，求 a 的值； (2)证明：对于任意正整数 n， 0，由 f(x)1 知， a x xa x 当 x(0，a)时，f(x)0； 所以 f(x)在(0，a)单调递减，在(a，)单调递增， 故

8、xa 是 f(x)在(0，)的唯一最小值点. 因为 f(1)0，所以当且仅当 a1 时，f(x)0，故 a1. (2)证明 由(1)知当 x(1，)时，x1ln x0. 令 x1，得 ln 0， ln（x1）x 0，) 求得x|x1，且 x0，所以排除选项 C，D. 当 x0 时，由经典不等式 x1ln x(x0)， 以 x1 代替 x，得 xln(x1)(x1，且 x0)， 所以 ln(x1)x1，且 x0)，易知 B 正确. 答案 B (2)已知函数 f(x)ex，xR.证明 ： 曲线 yf(x)与曲线 y x2x1 有唯一公共点. 1 2 证明 令 g(x)f(x)ex x2x1，xR，

9、 ( 1 2x 2x1) 1 2 则 g(x)exx1， 由经典不等式 exx1 恒成立可知，g(x)0 恒成立，所以 g(x)在 R 上为单调递 增函数，且 g(0)0. 所以函数 g(x)有唯一零点，即两曲线有唯一公共点. 结论 4 三点共线的充要条件 A，B，C 三点共线，共线；向量， ，中，A，B，C 三点共线存AB AC PA PB PC 在实数，使得，且 1.PA PB PC 【例 4】 已知 A，B，C 是直线 l 上不同的三个点，点 O 不在直线 l 上，则使等 式 x2x0 成立的实数 x 的取值集合为( )OA OB BC A.1 B. C.0 D.0，1 解析 ，x2x0

10、，BC OC OB OA OB OC OB 即x2(1x)，x2(1x)1，OC OA OB 解得 x0 或 x1(x0 舍去)，x1. 答案 A 【训练 4】 在梯形 ABCD 中，已知 ABCD，AB2CD，M，N 分别为 CD，BC 的中点.若，则 _.AB AM AN 解析 如图，连接 MN 并延长交 AB 的延长线于 T. 由已知易得 AB AT， 4 5 ， 4 5AT AB AM AN ，AT 5 4 AM 5 4 AN T，M，N 三点共线， 1， . 5 4 5 4 4 5 答案 4 5 结论 5 三角形“四心”向量形式的充要条件 设 O 为ABC 所在平面上一点，内角 A，

11、B，C 所对的边分别为 a，b，c，则 (1)O 为ABC 的外心|.OA OB OC a 2sin A (2)O 为ABC 的重心0.OA OB OC (3)O 为ABC 的垂心.OA OB OB OC OC OA (4)O 为ABC 的内心abc0.OA OB OC 【例5】 已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足 (1OP 1 3 )(1)(12)，R，则点 P 的轨迹一定经过( )OA OB OC A.ABC 的内心 B.ABC 的垂心 C.ABC 的重心 D.AB 边的中点 解析 取 AB 的中点 D，则 2，OD OA OB (1)(1)(12)，OP 1 3

12、 OA OB OC 2(1)(12)OP 1 3 OD OC ， 2（1） 3 OD 12 3 OC 而1，P，C，D 三点共线， 2（1） 3 12 3 点 P 的轨迹一定经过ABC 的重心. 答案 C 【训练 5】 (1)P 是ABC 所在平面内一点，若，则 P 是PA PB PB PC PC PA ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 (2)O 是平面上一定点， A， B， C 是平面上不共线的三个点， 动点 P 满足OP OA ，0，)，则 P 的轨迹一定通过ABC 的( ) ( AB |AB | AC |AC |) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 解析 (

13、1)由，可得()0，即0，PA PB PB PC PB PA PC PB CA PB CA 同理可证，.P 是ABC 的垂心.PC AB PA BC (2)为上的单位向量，为上的单位向量， 则的方向为BAC AB |AB | AB AC |AC | AC AB |AB | AC |AC | 的平分线的方向.AD 又 0，)，的方向与的方向相同. ( AB |AB | AC |AC |) AB |AB | AC |AC | ，点 P 在上移动.OP OA ( AB |AB | AC |AC |) AD P 的轨迹一定要通过ABC 的内心. 答案 (1)D (2)B 结论 6 与等差数列相关的结论

14、 (1)若等差数列an的项数为偶数 2m，公差为 d，所有奇数项之和为 S奇，所有偶 数项之和为 S偶，则所有项之和 S2mm(amam1)，S偶S奇md，. S偶 S奇 am1 am (2)若等差数列an的项数为奇数 2m1，所有奇数项之和为 S奇，所有偶数项之 和为 S偶，则所有项之和 S2m1(2m1)am，S奇S偶am，. S奇 S偶 m m1 【例 6】 (1)等差数列an的前 n 项和为 Sn， 已知 am1am1a 0， S2m138， 2 m 则 m_. (2)一个等差数列的前 12 项和为 354， 前 12 项中偶数项的和与奇数项的和的比为 3227，则数列的公差 d_.

15、解析 (1)由 am1am1a 0 得 2ama 0，解得 am0 或 2. 2 m2 m 又 S2m1(2m1)am38， （2m1）（a1a2m1） 2 显然可得 am0，所以 am2. 代入上式可得 2m119，解得 m10. (2)设等差数列的前 12 项中奇数项和为 S奇，偶数项的和为 S偶，等差数列的公差 为 d. 由已知条件，得解得 S奇S偶354， S偶 S奇32 27，) S偶192， S奇162.) 又 S偶S奇6d，所以 d5. 192162 6 答案 (1)10 (2)5 【训练 6】 设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 Sm12，Sm0，Sm13， 则 m( )

16、 A.3 B.4 C.5 D.6 解析 Sm12， Sm0， Sm13， amSmSm12， am1Sm1Sm3， 公差 dam1am1， 由 Snna1dna1， n（n1） 2 n（n1） 2 得 ma1m（m1） 2 0， （m1）a1（m1）（m2） 2 2， ) 由得 a1，代入可得 m5. 1m 2 答案 C 结论 7 与等比数列相关的结论 (1)公比 q1 时，Sn，S2nSn，S3nS2n，成等比数列(nN*). (2)若等比数列的项数为 2n(nN*)， 公比为 q， 奇数项之和为 S奇， 偶数项之和为 S 偶，则 S偶qS奇. (3)已知等比数列an，公比为 q，前 n 项

17、和为 Sn.则 SmnSmqmSn(m，nN*). 【例 7】 (1)设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若3，则( ) S6 S3 S9 S6 A.2 B. C. D.3 7 3 8 3 解析 由已知3， 得 S63S3， 因为 S3， S6S3， S9S6也为等比数列， 所以(S6 S6 S3 S3)2S3(S9S6)，则(2S3)2S3(S93S3).化简得 S97S3，从而 . S9 S6 7S3 3S3 7 3 答案 B (2)已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 S3 ，S6. 7 2 63 2 求数列an的通项公式； 求 log2a1log2a2log2a3log2a

18、25的值. 解 由 S3 ， S6， 得 S6S3q3S3(1q3)S3， q2.又 S3a1(1qq2)， 7 2 63 2 得 a1 . 1 2 故通项公式 an 2n12n2. 1 2 由(1)及题意可得 log2ann2， 所 以 log2a1 log2a2 log2a3 log2a25 1 0 1 2 23 275. 25 （123） 2 【训练 7】 已知an是首项为 1 的等比数列，Sn是an的前 n 项和，且 9S3S6， 则数列的前 5 项和为_. 1 an 解析 设等比数列an的公比 q，易知 S30. 则 S6S3S3q39S3，所以 q38，q2. 所以数列是首项为 1

19、，公比为 的等比数列，其前 5 项和为. 1 an 1 2 1(1 2) 5 11 2 31 16 答案 31 16 结论 8 多面体的外接球和内切球 (1)长方体的对角线长 d 与共点的三条棱 a，b，c 之间的关系为 d2a2b2c2； 若长方体外接球的半径为 R，则有(2R)2a2b2c2. (2)棱长为 a 的正四面体内切球半径 ra，外接球半径 Ra. 6 12 6 4 【例 8】 (1)(2018安徽皖北协作区联考)如图，网格纸上小正方形的边长为 1， 粗线(实线和虚线)表示的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为 ( ) A.24 B.29 C.48 D.58 (2)(2

20、018石家庄教学质量检测)四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为6的正方 形，且 PAPBPCPD，若一个半径为 1 的球与此四棱锥所有面都相切，则 该四棱锥的高是( ) A.6 B.5 C. D. 9 2 9 4 解析 (1)由三视图知，该几何体为三棱锥，如图，在 324的长方体中构造符合题意的几何体(三棱锥 A BCD)，其外接球即为长方体的外接球 . 表面积为 4R2(322242)29. (2)过点 P 作 PH平面 ABCD 于点 H.由题意知，四棱锥 P ABCD 是正四棱锥， 内切球的球心O应在四棱锥的高PH上.过正 四棱锥的高作组合体的轴截面如图， 其中 PE，PF 是斜高，M

21、 为 球面与侧面的一个切点. 设 PHh，易知 RtPMORtPHF， 所以，即 ，解得 h . OM FH PO PF 1 3 h1 h232 9 4 答案 (1)B (2)D 【训练 8】 (1)已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，直角边长是 1，且其外 接球的表面积是 16，则该三棱柱的侧棱长为( ) A. B.2C.4 D.31436 (2)(2018济南调研)已知球 O 的直径 PA2r， B， C 是该球面上的两点， 且 BCPB PCr，三棱锥 PABC 的体积为，则球 O 的表面积为( ) 32 2 3 A.64 B.32C.16 D.8 解析 (1)由于直三棱柱 ABCA1B

22、1C1的底面 ABC 为等腰直角三角形.把直三棱 柱 ABCA1B1C1补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，因 为外接球的面积是 16，所以外接球半径为 2，因为直三棱柱的底面是等腰直角 三角形，斜边长，所以该三棱柱的侧棱长为.216214 (2)如图， 连接 OB， OC， 则几何体 OBCP 是棱长为 r 的正四面体， 所以 VOBCPr3，于是VPABC2VOBCPr3，令r3，得r 2 12 2 6 2 6 32 2 3 4.从而S球44264. 答案 (1)A (2)A 结论 9 圆锥曲线的切线问题 (1)过圆C： (xa)2(yb)2R2上一点P(x0， y0)的切

23、线方程为(x0a)(xa)(y0 b)(yb)R2. (2)若点 M(x0，y0)在曲线1(a0，b0)上，则过 M 的切线方程为1. x2 a2 y2 b2 x0x a2 y0y b2 (3)抛物线 y22px(p0)上一点 P(x0，y0)处的切线方程是 y0yp(xx0). 过抛物线y22px(p0)外一点P(x0， y0)所引两条切线的切点弦方程是y0yp(x x0). 【例 9】 已知抛物线 C：x24y，直线 l：xy20，设 P 为直线 l 上的点， 过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA，PB，其中 A，B 为切点，当点 P(x0，y0)为直 线 l 上的定点时，求直线 AB

24、 的方程. 解 联立方程得消去 y， x24y， xy20，) 整理得 x24x80， (4)248160)焦点的弦 过抛物线 y22px(p0)焦点的弦 AB 有： (1)xAxB. p2 4 (2)yAyBp2. (3)|AB|xAxBp( 是直线 AB 的倾斜角). 2p sin2 【例 10】 过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A， B 两点， 若|AF| 2|BF|，则|AB|等于( ) A.4 B. C.5 D.6 9 2 解析 由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设A，B在准线 上的射影分别为D，C， 作 BEAD 于 E， 设|BF|m，直线 l 的倾斜

25、角为 ， 则|AB|3m， 由抛物线的定义知 |AD|AF|2m，|BC|BF|m， 所以 cos ， 所以 tan 2.则 sin28cos2， sin2 .又 y24x， 知 2p AE AB 1 3 2 8 9 4，故利用弦长公式|AB| . 2p sin2 9 2 答案 B 【训练 10】 设 F 为抛物线 C：y23x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A，B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为( ) A. B. C. D. 3 3 4 9 3 8 63 32 9 4 解析 法一 由已知得焦点坐标为 F，因此直线 AB 的方程为 y， ( 3 4，0) 3 3(x 3 4) 即 4x4y30.3 与抛物线方程联立，化简得 4y212y90，3 故|yAyB|6. （y AyB）24yAyB 因此 SOAB |OF|yAyB| 6 . 1 2 1 2 3 4 9 4 法二 由 2p3，及|AB| 2p sin2 得|AB|12. 2p sin2 3 sin230 原点到直线 AB 的距离 d|OF|sin 30 ， 3 8 故 SAOB |AB|d 12 . 1 2 1 2 3 8 9 4 答案 D