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1、专题能力训练专题能力训练 12 数列的通项与求和数列的通项与求和 一、能力突破训练 1.已知等差数列an的前 n项和为 Sn,若 a1=2,a4+a10=28,则 S9=( ) A.45B.90C.120D.75 2.已知数列an是等差数列,满足 a1+2a2=S5,下列结论错误的是( ) A.S9=0B.S5最小C.S3=S6D.a5=0 3.已知数列an的前 n项和 Sn=n2-2n-1,则 a3+a17=( ) A.15B.17C.34D.398 4.已知函数 f(x)满足 f(x+1)= +f(x)(xR),且 f(1)= ,则数列f(n)(nN*)前 20 项的和为( ) 3 2 5
2、 2 A.305B.315C.325D.335 5.已知数列an,构造一个新数列 a1,a2-a1,a3-a2,an-an-1,此数列是首项为 1,公比为 的等比数列,则 1 3 数列an的通项公式为( ) A.an=,nN* 3 2 3 2 (1 3) B.an=,nN* 3 2 + 3 2 (1 3) C.an= 1, = 1, 3 2 + 3 2 (1 3) , 2,且 N * D.an=1,nN* 6.已知数列an满足 a1=1,an-an+1=nanan+1(nN*),则 an= . 7.(2018全国,理 14)记 Sn为数列an的前 n 项和.若 Sn=2an+1,则 S6= .
3、 8.已知 Sn是等差数列an的前 n 项和,若 a1=-2 017,=6,则 S2 017= . 2 014 2 014 2 008 2 008 9.已知在数列an中,a1=1,an+1=an+2n+1,且 nN*. (1)求数列an的通项公式; (2)令 bn=,数列bn的前 n 项和为 Tn.如果对于任意的 nN*,都有 Tnm,求实数 m 的取值范围. 2 + 1 + 1 10.已知数列an的前 n项和为 Sn,且 a1=0,对任意 nN*,都有 nan+1=Sn+n(n+1). (1)求数列an的通项公式; (2)若数列bn满足 an+log2n=log2bn,求数列bn的前 n 项
4、和 Tn. 11.设数列an的前 n项和为 Sn .已知 2Sn=3n+3. (1)求an的通项公式; (2)若数列bn满足 anbn=log3an,求bn的前 n 项和 Tn. 二、思维提升训练 12.给出数列, ,在这个数列中,第 50 个值等于 1 的项的序号是( ) 1 1, 1 2, 2 1, 1 3, 2 2, 3 1 1 , 2 - 1 1 A.4 900B.4 901C.5 000D.5 001 13.设 Sn是数列an的前 n项和,且 a1=-1,an+1=SnSn+1,则 Sn= . 14.已知等差数列an的公差为 2,其前 n 项和 Sn=pn2+2n(nN*). (1)
5、求 p 的值及 an; (2)若 bn=,记数列bn的前 n 项和为 Tn,求使 Tn成立的最小正整数 n 的值. 2 (2 - 1) 9 10 15.已知数列an满足 an+2=qan(q 为实数,且 q1),nN*,a1=1,a2=2,且 a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列. (1)求 q 的值和an的通项公式; (2)设 bn=,nN*,求数列bn的前 n 项和. log22 2 - 1 16.设数列 A:a1,a2,aN(N2).如果对小于 n(2nN)的每个正整数 k 都有 aka1,则 G(A); (3)证明:若数列 A满足 an-an-11(n=2,3,N),则 G(A
6、)的元素个数不小于 aN-a1. 专题能力训练 12 数列的通项与求和 一、能力突破训练 1.B 解析 因为an是等差数列,设公差为 d,所以 a4+a10=a1+3d+a1+9d=2a1+12d=4+12d=28,解得 d=2.所以 S9=9a1+d=18+362=90.故选 B. 9 8 2 2.B 解析 由题设可得 3a1+2d=5a1+10d2a1+8d=0,即 a5=0,所以 D 中结论正确. 由等差数列的性质可得 a1+a9=2a5=0,则 S9=9a5=0,所以 A 中结论正确. 9(1+ 9) 2 S3-S6=3a1+3d-6a1-15d=-3(a1+4d)=-3a5=0,所以
7、 C中结论正确. B中结论是错误的.故选 B. 3.C 解析 Sn=n2-2n-1, a1=S1=12-2-1=-2. 当 n2 时,an=Sn-Sn-1 =n2-2n-1-(n-1)2-2(n-1)-1 =n2-(n-1)2+2(n-1)-2n-1+1 =n2-n2+2n-1+2n-2-2n=2n-3. an= - 2, = 1, 2 - 3, 2. a3+a17=(23-3)+(217-3)=3+31=34. 4.D 解析 f(1)= ,f(2)=, 5 2 3 2 + 5 2 f(3)=, 3 2 + 3 2 + 5 2 f(n)= +f(n-1), 3 2 f(n)是以 为首项, 为公
8、差的等差数列. 5 2 3 2 S20=20=335. 5 2 + 20(20 - 1) 2 3 2 5.A 解析 因为数列 a1,a2-a1,a3-a2,an-an-1,是首项为 1,公比为 的等比数列, 1 3 所以 an-an-1=,n2.所以当 n2 时, ( 1 3) - 1 an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1) =1+ 1 3 +(1 3) 2 ( 1 3) - 1 = 1 - ( 1 3) 1 - 1 3 = 3 2 3 2 (1 3) . 又当 n=1 时,an=1, 3 2 3 2 (1 3) 则 an=,nN*. 3 2 3 2 (1 3) 6 解
9、析 因为 an-an+1=nanan+1,所以=n,. 2 2- + 2 - + 1 + 1 = 1 + 1 1 + 1 =( 1 - 1 - 1) +( 1 - 1 - 1 - 2) ( 1 2 - 1 1) + 1 1 =(n-1)+(n-2)+3+2+1+ 1 1 =+1=(n2). ( - 1)( - 1 + 1) 2 2- + 2 2 所以 an=(n2). 2 2- + 2 又 a1=1也满足上式,所以 an= 2 2- + 2. 7.-63 解析 Sn=2an+1, Sn-1=2an-1+1(n2). -,得 an=2an-2an-1,即 an=2an-1(n2). 又 S1=2
10、a1+1,a1=-1. an是以-1为首项,2为公比的等比数列,则 S6=-63. - 1(1 - 26) 1 - 2 8.-2 017 解析 Sn是等差数列an的前 n 项和, 是等差数列,设其公差为 d. =6,6d=6,d=1. 2 014 2 014 2 008 2 008 a1=-2 017,=-2 017. 1 1 =-2 017+(n-1)1=-2 018+n. S2 017=(-2 018+2 017)2 017=-2 017. 故答案为-2 017. 9.解 (1)an+1=an+2n+1, an+1-an=2n+1, an-an-1=2n-1, an=a1+(a2-a1)+
11、(a3-a2)+(an-an-1) =1+3+5+(2n-1)=n2. (1 + 2 - 1) 2 (2)由(1)知,bn=, 2 + 1 + 1 = 2 + 1 2( + 1)2 = 1 2 1 ( + 1)2 Tn=+=1-, ( 1 12 - 1 22) +( 1 22 - 1 32) 1 2 - 1 ( + 1)2 1 ( + 1)2 数列Tn是递增数列, 最小值为 1-,只需要 m, 1 (1 + 1)2 = 3 4 3 4 m的取值范围是(- , 3 4). 10.解 (1)(方法一)nan+1=Sn+n(n+1), 当 n2 时,(n-1)an=Sn-1+n(n-1), 两式相减
12、,得 nan+1-(n-1)an=Sn-Sn-1+n(n+1)-n(n-1), 即 nan+1-(n-1)an=an+2n,得 an+1-an=2. 当 n=1时,1a2=S1+12,即 a2-a1=2. 数列an是以 0为首项,2 为公差的等差数列. an=2(n-1)=2n-2. (方法二)由 nan+1=Sn+n(n+1),得 n(Sn+1-Sn)=Sn+n(n+1), 整理,得 nSn+1=(n+1)Sn+n(n+1), 两边同除以 n(n+1), 得=1. + 1 + 1 数列是以=0 为首项,1 为公差的等差数列,=0+n-1=n-1.Sn=n(n-1). 1 1 当 n2 时,a
13、n=Sn-Sn-1=n(n-1)-(n-1)(n-2)=2n-2. 又 a1=0适合上式,数列an的通项公式为 an=2n-2. (2)an+log2n=log2bn, bn=n=n22n-2=n4n-1.2 Tn=b1+b2+b3+bn-1+bn=40+241+342+(n-1)4n-2+n4n-1, 4Tn=41+242+343+(n-1)4n-1+n4n, 由-,得-3Tn=40+41+42+4n-1-n4n=-n4n= 1 - 4 1 - 4 (1 - 3) 4 - 1 3 . Tn= (3n-1)4n+1. 1 9 11.解 (1)因为 2Sn=3n+3, 所以 2a1=3+3,故
14、a1=3. 当 n1时,2Sn-1=3n-1+3, 此时 2an=2Sn-2Sn-1=3n-3n-1=23n-1,即 an=3n-1, 所以 an= 3, = 1, 3 - 1, 1. (2)因为 anbn=log3an, 所以 b1= , 1 3 当 n1时,bn=31-nlog33n-1=(n-1)31-n. 所以 T1=b1= ; 1 3 当 n1时,Tn=b1+b2+b3+bn= +(13-1+23-2+(n-1)31-n), 1 3 所以 3Tn=1+(130+23-1+(n-1)32-n), 两式相减,得 2Tn= +(30+3-1+3-2+32-n)-(n-1)31-n=-(n-
15、1)31-n=, 2 3 2 3 + 1 - 31 - 1 - 3 - 1 13 6 6 + 3 2 3 所以 Tn= 13 12 6 + 3 4 3. 经检验,当 n=1 时也适合. 综上可得 Tn= 13 12 6 + 3 4 3. 二、思维提升训练 12.B 解析 根据条件找规律,第 1 个 1 是分子、分母的和为 2,第 2 个 1 是分子、分母的和为 4,第 3 个 1是分子、分母的和为 6,第 50 个 1 是分子、分母的和为 100,而分子、分母的和为 2 的有 1 项,分子、分母的和为 3 的有 2 项,分子、分母的和为 4 的有 3 项,分子、分母的和为 99 的有 98 项
16、,分子、分母的和为 100 的项依次是:,第 50 个 1 是其中第 50 项,在数列中的 1 99, 2 98, 3 97 50 50, 51 49 99 1 序号为 1+2+3+98+50=+50=4 901. 98(1 + 98) 2 13.- 解析 由 an+1=Sn+1-Sn=SnSn+1,得=1,即=-1,则为等差数列,首项为=-1,公 1 1 1 + 1 1 + 1 1 1 1 1 差为 d=-1,=-n,Sn=- 1 1 . 14.解 (1)(方法一)an是等差数列, Sn=na1+d=na1+2=n2+(a1-1)n. ( - 1) 2 ( - 1) 2 又由已知 Sn=pn
17、2+2n,p=1,a1-1=2,a1=3, an=a1+(n-1)d=2n+1,p=1,an=2n+1. (方法二)由已知 a1=S1=p+2,S2=4p+4, 即 a1+a2=4p+4,a2=3p+2. 又等差数列的公差为 2,a2-a1=2, 2p=2,p=1,a1=p+2=3, an=a1+(n-1)d=2n+1,p=1,an=2n+1. (方法三)当 n2时,an=Sn-Sn-1=pn2+2n-p(n-1)2+2(n-1)=2pn-p+2, a2=3p+2,由已知 a2-a1=2,2p=2,p=1, a1=p+2=3,an=a1+(n-1)d=2n+1, p=1,an=2n+1. (2
18、)由(1)知 bn=, 2 (2 - 1)(2 + 1) = 1 2 - 1 1 2 + 1 Tn=b1+b2+b3+bn =+=1- ( 1 1 - 1 3) +(1 3 - 1 5) +(1 5 - 1 7) ( 1 2 - 1 - 1 2 + 1) 1 2 + 1 = 2 2 + 1. Tn, 9 10 2 2 + 1 9 10 20n18n+9,即 n 9 2. nN*, 使 Tn成立的最小正整数 n 的值为 5. 9 10 15.解 (1)由已知,有(a3+a4)-(a2+a3)=(a4+a5)-(a3+a4),即 a4-a2=a5-a3, 所以 a2(q-1)=a3(q-1). 又
19、因为 q1,故 a3=a2=2,由 a3=a1q,得 q=2. 当 n=2k-1(kN*)时,an=a2k-1=2k-1=;2 - 1 2 当 n=2k(kN*)时,an=a2k=2k=2 2. 所以,an的通项公式为 an=2 - 1 2 ,为奇数, 2 2,为偶数. (2)由(1)得 bn=设bn的前 n 项和为 Sn,则 Sn=1+2+3+(n-1) log22 2 - 1 = 2 - 1. 1 20 1 21 1 22 1 2 - 2 +n, 1 2 - 1 Sn=1+2+3+(n-1)+n, 1 2 1 21 1 22 1 23 1 2 - 1 1 2 上述两式相减,得 Sn=1+=
20、2-, 1 2 1 2 + 1 22 1 2 - 1 2 = 1 - 1 2 1 - 1 2 2 2 2 2 整理得,Sn=4- + 2 2 - 1. 所以,数列bn的前 n项和为 4-,nN*. + 2 2 - 1 16.(1)解 G(A)的元素为 2和 5. (2)证明 因为存在 an使得 ana1, 所以iN*|2iN,aia1. 记 m=miniN*|2iN,aia1, 则 m2,且对任意正整数 ka1. 由(2)知 G(A). 设 G(A)=n1,n2,np,n1. 如果 Gi,取 mi=minGi, 则对任何 1kmi,ak . 从而 miG(A)且 mi=ni+1, 又因为 np是 G(A)中的最大元素,所以 Gp=. 从而对任意 npkN,ak,特别地,aN . 对 i=0,1,p-1, + 1 - 1 . 因此+()+1. + 1= + 1 - 1 + 1 + 1 - 1 所以 aN-a1-a1=)p. = 1(ani - 1 因此 G(A)的元素个数 p 不小于 aN-a1.