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1、(八)随机变量及其概率分布(八)随机变量及其概率分布 1袋中装有大小相同的黑球和白球共 9 个，从中任取 2 个都是白球的概率为.现甲、乙两 5 12 人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，每次摸取 1 个球，取出的球不放回， 直到其中有一人取到白球时终止用X表示取球终止时取球的总次数 (1)求袋中原有白球的个数； (2)求随机变量X的概率分布及数学期望E(X) 解 (1)设袋中原有n个白球，则从 9 个球中任取 2 个球都是白球的概率为， C2 n C2 9 由题意知，化简得n2n300， C2 n C2 9 5 12 解得n6 或n5(舍去)，故袋中原有白球的个数为 6. (2)由
2、题意，X的可能取值为 1,2,3,4. P(X1) ，P(X2) ， 6 9 2 3 3 6 9 8 1 4 P(X3)，P(X4). 3 2 6 9 8 7 1 14 3 2 1 6 9 8 7 6 1 84 所以取球次数X的概率分布为 X1234 P 2 3 1 4 1 14 1 84 所求数学期望E(X)1 2 34. 2 3 1 4 1 14 1 84 10 7 2某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为P1 ，乙的命中率为P2，在射击比武活动 2 3 中每人射击两发子弹则完成一次检测 在一次检测中， 若两人命中次数相等且都不少于一发， 则称该射击小组为“先进和谐组” (1)若P2 ，
3、求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率； 1 2 (2)在 2018 年每月进行 1 次检测，设这 12 次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为， 如果E()5，求P2的取值范围 解 (1)所求概率P . (C 1 22 3 1 3)(C 1 21 2 1 2) ( 2 3 2 3)( 1 2 1 2) 1 3 (2)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率为 PC P2(1P2)PP2P. (C 1 22 3 1 3) 1 2 ( 2 3 2 3) 2 2 8 9 4 9 2 2 而B(12，P)，所以E()12P， 由E()5 知，125， ( 8 9P 24 9P 2 2) 解
4、得 P2 . 3 4 5 4 又 0P21， P21. 3 4 3(2018南通调研)从集合1,2,3,4,5的所有非空子集中，等可能地取出m个 (1)若m1，求所取子集的元素既有奇数又有偶数的概率； (2)若m2， 记所取子集的元素个数之差的绝对值为， 求的概率分布及数学期望E() 解 (1)当m1 时，记事件A：“所取子集的元素既有奇数又有偶数” 则集合1,2,3,4,5的非空子集数为 25131，其中非空子集的元素全为奇数的子集数为 23 17，全为偶数的子集数为 2213， 所以P(A). 3173 31 21 31 (2)当m2 时，的所有可能取值为 0,1,2,3,4， 则P(0)
5、， C2C1 5C2C2 5C2C3 5C2C4 5 C 2 31 110 465 22 93 P(1)， C1 5C2 5C2 5C3 5C3 5C4 5C4 5C5 5 C 2 31 205 465 41 93 P(2)， C1 5C3 5C2 5C4 5C3 5C5 5 C 2 31 110 465 22 93 P(3)， C1 5C4 5C2 5C5 5 C 2 31 35 465 7 93 P(4)， C1 5C5 5 C 2 31 5 465 1 93 所以的概率分布为 01234 P 22 93 41 93 22 93 7 93 1 93 所以的数学期望 E()01234. 22
6、 93 41 93 22 93 7 93 1 93 110 93 4 (2018启东模拟)如图， 已知正六棱锥SABCDEF的底面边长为 2， 高为 1.现从该棱锥的 7 个顶点中随机选取 3 个点构成三角形，设随机变量X表示所得三角形的面积 (1)求概率P(X)的值；3 (2)求X的概率分布，并求其数学期望E(X) 解 (1)从 7 个顶点中随机选取 3 个点构成三角形，共有 C 35(种)取法其中X的三角 3 7 3 形如ABF，这类三角形共有 6 个 因此P(X).3 6 C3 7 6 35 (2)由题意知，X的可能取值为，2， ，2，3.3633 其中X的三角形如ABF，这类三角形共有
7、 6 个；3 其中X2 的三角形有两类，如SAD(3 个)，SAB(6 个)，共有 9 个； 其中X的三角形如SBD，这类三角形共有 6 个；6 其中X2的三角形如CDF，这类三角形共有 12 个；3 其中X3的三角形如BDF，这类三角形共有 2 个3 因此P(X)，P(X2)，P(X)，3 6 35 9 35 6 6 35 P(X2)，P(X3).3 12 35 3 2 35 所以随机变量X的概率分布为 X326 2 3 3 3 P(X) 6 35 9 35 6 35 12 35 2 35 所求数学期望E(X)223.3 6 35 9 35 6 6 35 3 12 35 3 2 35 36 36 618 35