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1、(五)空间向量与立体几何(五)空间向量与立体几何 1 (2018盐城模拟)如图， 已知四棱锥PABCD的底面是正方形，PA平面ABCD， 且PAAD 2，点M，N分别在PD，PC上，PMMD.PN 1 2NC (1)求证：PC平面AMN； (2)求二面角BANM的余弦值 (1)证明 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的 空间直角坐标系 又PAAD2， P(0,0,2)，D(0,2,0)， B(2,0,0)， M(0,1,1)，C(2,2,0) (2,2，2)，(0,1,1)PC AM 0220，PC AM PCAM. 设N(x，y，z)，PN 1 2N
2、C 求得N. ( 2 3， 2 3， 4 3) 0，ANPC.PC AN 4 3 4 3 8 3 又AMANA，AM，AN平面AMN， PC平面AMN. (2)解 设平面BAN的法向量为n n(x，y，z)， Error!即Error! 令z1，n n(0,2，1) (2,2，2)是平面AMN的法向量，PC cosn n， .PC n nPC |n n|PC | 15 5 由图知二面角BANM为钝二面角， 二面角BANM的余弦值为. 15 5 2.如图，已知三棱锥OABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA1，OBOC2，E是OC的 中点 (1)求异面直线BE与AC所成角的余弦值； (2)求
3、二面角ABEC的正弦值 解 (1)以O为原点，分别以OB，OC，OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，E(0,1,0) (2，1,0)，(0,2，1)，EB AC cos， ，EB AC 2 5 又异面直线所成的角为锐角或直角， 异面直线BE与AC所成角的余弦值为 . 2 5 (2)(2,0，1)，(0,1，1)，AB AE 设平面ABE的法向量为n n1(x，y，z)， 则由n n1，n n1，AB AE 得Error!取n n1(1,2,2)， 平面BEC的法向量为n n2(0,0,1)， cosn n1，n n2 ，
4、2 3 二面角ABEC的余弦值的绝对值为 ， 2 3 sin ， 5 3 即二面角ABEC的正弦值为. 5 3 3.三棱柱ABCA1B1C1在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB2，AC4，AA13，D是BC 的中点 (1)求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值； (2)求二面角B1A1DC1的正弦值 解 (1)由题意知，B(2,0,0)，C(0,4,0)，D(1,2,0)，A1(0,0,3)，B1(2,0,3)，C1(0,4,3)，则 (1,2，3)，(0,4,0)，(1，2,3)A1D A1C1 DB1 设平面A1C1D的一个法向量为n n(x，y，z) 由n nx2y3z0，n n4
5、y0，A1D A1C1 得y0，x3z， 令z1，得x3，n n(3,0,1) 设直线DB1与平面A1C1D所成的角为， 则 sin |cos，n n|.DB1 |33| 10 14 3 35 35 (2)设平面A1B1D的一个法向量为m m(a，b，c)，(2,0,0)A1B1 由m ma2b3c0，m m2a0，A1D A1B1 得a0,2b3c， 令c2，得b3，m m(0,3,2) 设二面角B1A1DC1的大小为， |cos |cosm m，n n|， |m mn n| |m m|n n| 2 65 sin . 3 7 65 3 455 65 所以二面角B1A1DC1的正弦值为. 3
6、455 65 4.如图，在三棱锥SABC中，底面是边长为 2的正三角形，点S在底面ABC上的射影O3 是AC的中点，侧棱SB和底面成 45角 (1)若D为棱SB上一点，当为何值时，CDAB； SD DB (2)求二面角SBCA的余弦值的大小 解 连结OB，由题意得OS，OB，OC两两垂直 以O为坐标原点，分别以OB，OC，OS所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系 由题意知SBO45，SO3. 所以O(0,0,0)，C(0， ，0)，A(0，0)，S(0,0,3)，33 B(3,0,0) (1)设(01)，连结OD，BD BS 则(1)(3(1)，0,3)，OD OB OS 所以(3(1)，3)CD 3 因为(3， ，0)，CDAB，AB 3 所以9(1)30，解得 .CD AB 2 3 故当 时，CDAB. SD DB 1 2 (2)平面ACB的法向量为n n1(0,0,1) 设平面SBC的法向量n n2(x，y，z)， 由Error!得Error! 解得Error!取z1， 则n n2(1， ，1)，3 所以 cosn n1，n n2， 1 0 3 01 1 1212 32 1 5 显然所求二面角的平面角为锐角， 故所求二面角的余弦值的大小为. 5 5