专题7.1与数学文化相关的数学考题(原卷版).pdf

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1、【方法综述】 关注学生数学文化的意识的养成，努力推进数学文化的教育，已经成为当今数学教师与改革的一个重要特 征，在新课改的数学命题中，数学文化已经得到足够的重视，但并没由得到应有的落实，造成数学文化教 学的缺失的根本原因在于教师自身数学文化素养的缺乏，令人欣喜的是在近几年的高考试题中已经开始有 意识的进行尝试和引导，在众多的经典试题中，湖北卷的数学文化题更超凡脱俗和出类拔萃，因此，我们 特别策划了此专题，将数学文化与数学知识相结合，选取典型样题深度解读，希望能够给予广大师生的复 习备考以专业的帮助与指导. 【解答策略】 类型一、取材数学游戏 游戏可以让数学更加好玩，在游戏中运用数学知识，或蕴含

2、着数学原理的智力游戏可笼统地称为数学游 戏，把数学游戏改编为高考试题，既不失数学型，又能增加了考题的趣味性，充分体现了素质教育与大众 数学的理念 . 例 1、五位同学围成一圈依次循环报数，规定： 第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同 学所报出的数之和； 若报出的数是3 的倍数，则报该数的同学需拍手一次. 已知甲同学第一个报数，当五位同学依次循环报到第100 个数时，甲同学拍手的总次数为. 【指点迷津】以数学游戏为素材的命制高考题目，创造了既宽松又竞争的环境，拉近了考生与数学的心理 距离，但要注意游戏素材的选择应与考生的实际生活密切相关，便

3、于考生更好地理解游戏.例如： 2012 年高 考湖北卷第13 题“回文数”， 考查排列、 组合和归纳推理等知识.本题以此为背景，以简单的游戏为分析计 算对象，考查学生的阅读理解能力和合情推理能力. 【举一反三】回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数.如22，,11,3443,94249等.显然 2位回文数 有9个： 11,22,33 ， 99.3位回文数有 90个： 101,111,121 ， 191,202 ， 999.则 （） 4位回文数有 _个； （） 2n1（nN+）位回文数有_个. 类型二、取材数学名著 如数学家的传记、数学演讲报告、数学讲义等，这些都是命制考题好的素材，从中选

4、取一段有关的数 学素材，突出索要考查的数学知识，在引导中学数学教学知能并重的同时，有意识地培养学生的数学素养. 例 2、我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺， 重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5 尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1 尺，重 4 斤；在细的一端截下1 尺，重 2 斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化 的，其重量为M，现将该金杖截成长度相等的10 段，记第i段的重量为1,2,10 i ai，且 1210 aaa，若485 i aM，则i（） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【指点迷津】

5、本题主要考查阅读能力、等差数列的通项公式、等差数列的前n项和公式以及转化与划归思 想，属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量 1, , , nn a d n aS， 一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列 的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.学*科网 【举一反三】 【辽宁省丹东市2019 届高三测试（一)】我国明代伟大数学家程大位在算法统综中常以诗 歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节 三升九，上梢四节

6、贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明”意思 是：九节竹的盛米容积成等差数列，其中的“三升九”指3.9 升，则九节竹的中间一节的盛米容积为（） A0.9 升B 1 升C 1.1 升D2.1 升 类型三、取材数学名题 数学名题具有非凡的魅力，它常常蕴涵深刻的数学内容、经典的数学方法或与一些数学大师相关联， 数学名题能持续地是命制试题的重点取材之一. 例 3、 【江西省南昌市2019 届高三第一次模】我国南宋数学家杨辉1261 年所著的详解九章算法一书里 出现了如图所示的表，即杨辉三角， 这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第行的所有数字之 和为，若去除所

7、有为1 的项，依次构成数列，则此数列的前55 项和为 ( ) A4072 B 2026 C 4096 D2048 【指点迷津】利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1 行，然后令x1 得到对应项的系数和，结合 等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可 【举一反三】 【广西桂林市，贺州市，崇左市2019 年高三 3 月调研】 2018 年 9 月 24 日，英国数学家M.F 阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特 殊数列求和 .记无穷数列的各项的和，那么下列结论正确的是（） ABC D 类型四、取材数学推理 数学猜想是推动数学发展的强大动力

8、之一，是数学发展中最活跃、最主动、最积极的因素，也是人类理 性中最富有创造性的部分，数学猜想一旦被证明，就将转化为定理，从而丰富数学理论，即使被否定或不 能被证实，也常常能给数学带来不可预期的成果，数学猜想是命制考题的好素材，它包含丰富的数学知识 和思想方法 . 例 4、古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如： 他们研究过图1 中的 1，3， 6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图 2 中的 1， 4，9， 16 这样的数成为正方形数.下列数中及时三角形数又是正方形数的是 A.289 B.1024 C.1225 D.1378 【指点迷津】合情推理主要

9、包括归纳推理和类比推理.数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助 猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.合情推理仅是“合乎 情理”的推理，它得到的结论不一定正确.而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提 下). 【举一反三】 【湖北省恩施州2019 届高三 2 月检测 】朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的四 元玉鉴卷中“如像招数”五问中有如下问题：今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四 人，次日转多七人. ”其大意为“官府陆续派遣1864 人前往修筑堤坝，第一天派出64 人，从第二天开始每 天派出的人数比前一天多7

10、 人 . ”在该问题中的 1864 人全部派遣到位需要的天数为（） A9 B 16 C 18 D20 类型五、取材数学图形 例 5、一幅图胜过一千字，“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”， 图形不仅包含大量信息，而且形象直观，生动绚丽，还能展示数学之美，图形是数学总要的组成部分，高 考试题中自然少不了这样的试题，同时能较好的体现数学文化，甚至富有诗意的数学图形. 【贵州省凯里市第一中学2019 届高三下学期模拟考试黄金卷二】如图，是我国古代数学家赵爽的弦图， 它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为，小正方形 的面积为，直角

11、三角形较小的锐角为，则（） ABC D 【举一反三】 1.中国古代数学名著九章算术中记载了公元前344 年商鞅督造的一种标准量器商鞅铜方升，其三 视图如图所示（单位：寸），若取 ，立方寸 = 升，则商鞅铜方升的容积约为（） A升B升C 升D升 2.【黑龙江省哈尔滨市第六中学2019 届高三二模】牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一 种方法，若定义是函数零点近似解的初始值，过点的切线为 ，切线与轴交点的横坐标，即为函数零点近似解的下一个初始值，以此类 推， 满足精度的初始值即为函数零点的近似解，设函数， 满足应用上述方法， 则（） ABC D 类型六、取材数学文化与现代科学： 数学文

12、化与现代科学泛指最近一段时间国内外发生的数学方面的大事，被广大媒体和公众共同关注，具 有方向性和短暂性和聚焦性等特点，命题专家从一段时事材料中甄选一个角度，简明扼要的交代时事背景， 抽象出数学模型，突出索要考查的数学问题，类似于文科综合卷中的时事材料，既能达到一般试题的考查 效果，又能融入肥厚的数学文化，平添点滴生活气息. 例 6、 【福建省2019 届高考适应（三)】习总书记在十九大报告中指出：必须树立和践行绿水青山就是金 山银山的理念.某市为贯彻落实十九大精神，开展植树造林活动，拟测量某座山的高.如图，勘探队员在山脚 A 测得山顶B 的仰角为，他沿着倾斜角为的斜坡向上走了40 米后到达C

13、，在 C 处测得山顶B 的仰 角为，则山高约为 _米.（结果精确到个位，在同一铅垂面）.参考数据：. 【指点迷津】1.命题者抓住“嫦娥奔月”这个古老而又现代的浪漫话题，以探测卫星轨道为背景，抽象出 共一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆的几何性质，并以加减乘除的方式构造两个等式和两个不 等式，考查椭圆的几何性质，可谓匠心独运. 2.注意到椭圆轨道和共一个顶点P和一个焦点F，题目所给四个式子涉及长半轴长和半焦距，从焦距入 手，这是求解的关键，本题对考生的数学能力进行了比较全面的考查，是一道名副其实的小中见大、常中 见新、蕴文化于现代科学技术应用之中的好题. 【举一反三】 【河北省沧州市201

14、9 年高考模拟】中国最早的天文学和数学著作周髀算经里提到了七衡， 即七个等距的同心圆.七衡的直径和周长都是等差数列，最里面的一圆叫内一衡，外面的圆依次叫次二衡， 次三衡，. 设内一衡直径为 ，衡间距为，则次二衡直径为，次三衡直径为，执 行如下程序框图，则输出的中最大的一个数为（） ABC D 【强化训练】 一、选择题 1 【河南省八市重点高中2019 届高三第二次测评】 九章算术中有一题：今有牛、马、羊食人苗苗主责 之粟五斗羊主曰：“我羊食半马”马主曰：“我马食半牛”今欲衰偿之，问各出几何其意思是：今有牛、 马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟羊主人说： “我羊所吃的禾苗只有马的一半”

15、马主人说： “我马所吃的禾苗只有牛的一半”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少？设牛、马、羊的主 人分别应偿还x 斗、 y 斗、 z 斗，则下列判断正确的是（） A且B且 C 且D且 2 【安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2019 届高三第二次联考】 算法统宗是中国古代数 学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数 学的名著在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌” 就是其中一首：一个公 公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推在 这个问题中，记这位公公的第个

16、儿子的年龄为，则( ) A23 B32 C 35 D38 3 【陕西省宝鸡中学2019 届高三一模】我国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题意为 ：“有一 个人要走378 里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6 天后到达 目的地 “那么，此人第4 天和第 5 天共走路程是 A24 里B36 里C 48 里D60 里 4 【河北省沧州市2019 年高考模拟】中国最早的天文学和数学著作周髀算经里提到了七衡，即七个等 距的同心圆 .七衡的直径和周长都是等差数列，最里面的一圆叫内一衡，外面的圆依次叫次二衡，次三衡， . 设内一衡直径为，衡间距为，则次二衡直径为，次三衡

17、直径为，执行如下程序框 图，则输出的中最大的一个数为（） ABC D 5 【安徽省合肥市2019 届高三第二次检测】“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在梦溪笔谈中 首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、 三角垛等等 .某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1 件，以后每一层比上一 层多 1 件，最后一层是件.已知第一层货物单价1 万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的.若这 堆货物总价是万元，则的值为（） A7 B 8 C 9 D10 6 【安徽省黄山市2019 届高三第二次检测】在九章算术中，将四个面都是直角

18、三角形的四面体称为鳖 臑，在鳖臑中，平面，且，为AD的中点， 则异面直线 与夹角的余弦值为（） ABC D 7 【辽宁省沈阳市郊联体2019 届高三一模】我国南北朝时的数学著作张邱建算经有一道题为：“今有 十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出， 中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，中等级中的五等人与六等人所得黄金数 （） ABC D 8.【北师大实验中学2019 届高三二模】中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内 有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为 三角形周长的一半，这个公式

19、也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足， 则此三角形面积的最大值为( ) ABC D 9 【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019 届高三第二次模拟】赵爽是我 国古代数学家、天文学家，大约在公元222 年，赵爽为周髀算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图”， 亦称“赵爽弦图” （以弦为边长得到的正方形由4 个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）， 类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形 拼成的一个大等边三角形，设，则（） AB C D 10 【山东省济南市2019 届高三 3 月模拟】我国

20、南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂 势既同，则积不容异. ”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何 体的体积相等.已知曲线，直线 为曲线在点处的切线 .如图所示，阴影部分为曲线、直线 以 及轴所围成的平面图形，记该平面图形绕轴旋转一周所得的几何体为.给出以下四个几何体： 图是底面直径和高均为的圆锥； 图是将底面直径和高均为的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体； 图是底面边长和高均为的正四棱锥； 图是将上底面直径为，下底面直径为，高为的圆台挖掉一个底面直径为，高为的倒置圆锥得到的几 何体 . 根据祖暅原理，以上四个几何体中与的体积

21、相等的是（） ABC D 11 【山西省吕梁市2019 年高考模拟】孔明锁，也叫鲁班锁，起源于中国古代建筑中首创的榫卵结构，它 是用 6 根木条制作的一件可拼可拆的、广泛流传于中国民间的智力玩具如图，网格纸上小正方形的边长 为 1，粗线画出的是其中3 根木条的三视图，记这3 根木条的体积分别为，则（） ABC D 二、填空题 12. 【福建省2019 届高三模拟】我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”. 其中“幂”是 截面积，“势”是几何体的高.该原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个 平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体

22、积相等.如图，在空间直角坐 标系中的平面内，若函数的图象与轴围成一个封闭的区域，将区域沿 轴的正方向平移8 个单位长度，得到几何体如图一，现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域的 面积相等，则此圆柱的体积为_ 13 【浙江省杭州地区(含周边 )重点中学 2019 届高三第一学期期中】九章算术中有一题：今有牛、马、 羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马，”马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各出 几何？其意：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只 有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例偿还，问羊的主人应赔偿_

23、斗粟，在这个问题中牛主人比羊主人多赔偿_斗粟 14 【四川省内江、眉山等六市2019 届高三第二次诊断】中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题： 今有男子善走，日增等里，九日走里，第一日，第四日，第七日所走之和为里，则该男子的第三日 走的里数为 _ 15 【湖南省长沙市长郡中学2019 届高三一模】太极图被称为“中华第一图”. 从孔庙大成殿粱柱，到楼观 台、三茅宫、白外五观的标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗、新加坡空军机徽， 太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”. 在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用小等式组

24、或来表示， 设是阴影中任意一点，则的最大值为 _. 16 孙子算经是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖，周五丈四尺，深一 丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能装 多少斛米. ”则该圆柱形容器能装米_斛.（古制 1 丈=10 尺， 1 斛 =1.62 立方尺，圆周率） 17 【江苏省南通市通州区2019 届高三下期末】对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期商高就提出了 “勾三股四玄五”勾股定理的特例，而西方直到公元前6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股 定理 如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形面积的最大值等于_