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1、考点 35 ：直线与圆方程 【考纲要求】 1直线与方程 （ 1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素； （ 2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式； （ 3）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直； （ 4）掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截 式与一次函数的关系；学科网 （ 5）能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标； （ 6）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离 2圆与方程 （ 1）掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程； （ 2）能根据给定直线
2、、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关 系； （ 3）能用直线和圆的方程解决一些简单的问题； 来源 :Zxxk.Com （ 4）初步了解用代数方法处理几何问题的思想 【命题规律】 从近三年的高考试题来看，该部分主要考查热点及题型如下：（1）两条直线的平行与垂直、点到直线的距 离、两点间距离是命题的热点，对于距离问题常常多融入到解答题中进行考查；（2）求圆的方程或已知圆 的方程求圆心坐标、半径是高考热点，多与直线相结合命题，着重考查待定系数法求圆的方程；（3）直线 与圆的位置关系，特别是直线与圆相切一直是高考考查的重点和热点 预计 2018 年的高考将会继续保持
3、稳定，主要还是会从直线与圆的位置关系、弦长、 圆与圆的位置关系三个 热点进行考查，体现等价转化的思想、数形结合思想的应用，难度中等偏易 【典型高考试题变式】 （一）两条直线的位置关系 【例 1】【2011浙江卷】若直线与直线250xy与直线260xmy互相垂直， 则实数m=_ _ 【变式 1】 【变为两个方程中同时含有参数】若直线220mxmy与310xmy互相垂直，则 点,1m到y轴的距离为 _ 【变式 2】 【变垂直与平行同时出现在试题中】已知过点2,Am和点,4B m的直线为 1 l，直线 210xy为 2 l，直线10xny为 3 l，若 12 / /ll， 23 ll，则实数mn的值
4、为 _ （二）直线与圆的位置关系的判断 【例 2】【 2017全国卷 1】已知集合A= 22 ( , )1x yxy，B=( , )x yyx，则AB中元素的 个数为（） A3 B 2 C1 D0 来源 学科网 【变式 1】 【由例题变为根据交点个数求解参数问题，且与常用逻辑用语交汇】直线0xym与圆 22 210xyx有两个不同交点的一个必要不充分条件是（） 来源 :Z 。xx。k.Com A01mB40mC1mD31m 【变式 2】 【变例题与三角函数交汇】圆 22 221xy与直线sin10xy（R， 2 k， kZ）的位置关系是_ （横线内容从“相交、相切、相离、不确定”中选填） （三
5、）两条直线相交问题 【例 3】 【2014四川卷】 设mR，过定点A的动直线0xmy和过定点B的动直线30mxym 交于点( , )P x y，则|PAPB的取值范围是（）学 -科网 A5,2 5B 10,25C 10,45D2 5,45 【变式 1】 【变为根据两直线交点位置求参数】若直线 1: 1lykx与 2 :10lxy的交点在第一象限内， 则k的取值范围是（） A1kB 11k C11kk或D 1k 【答案 】B 【变式 2】 【变两直线相交为三直线相交】若三条直线2 ,3,50yx xymxny相交于同一点，则 点,m n到原点的距离的最小值为（） A5B6C2 3D2 5 （四）
6、距离公式的应用 【例 4】 （1） 【2016 年全国 2 卷】圆 22 28130xyxy的圆心到直线10axy的距离为1，则 a（） A 4 3 B 3 4 C3D ）2 （2） 【2016 上海卷】已知平行直线012:,012: 21 yxlyxl，则 1 l与 2 l的距离是 _ 【变式 1】 【变求直线中参数为求点中参数】点2,pm到直线:51260lxy的距离为4，则m （） A1 B3C1 或 5 3 D 17 3 3 或 【变式 2】 【变为求含有参数的两条平行间的距离】若直线 1 l：210xy与直线 2 l：10xay平行， 则 1 l与 2 l的距离为（） A 5 5 B
7、 2 5 5 C 1 5 D 2 5 （五）直线与圆相交的弦长问题 【例 5】 【2016新课标卷】设直线2yxa与圆C： 22 220xyay相交于AB，两点，若 2 3AB，则圆C的面积为 【变式 1】 【变为只有直线方程中含有参数】 已知直线:210lkxyk与圆 22 6xy交于,A B两点， 若|22AB，则k( ) A 3 4 B 3 4 C 4 3 D 4 3 【变式 2】 【变求参为求直线方程】过点 3,6P 且被圆 22 25xy截得弦长为8 的直线的一般方程是 _ （六）圆与圆的位置关系 【例 6】 【2014湖南卷】 若圆 22 1: 1Cxy与圆 22 2: 680Cx
8、yxym外切，则m（） A21 B19 C9 D 11 【变式 1】 【变外切为内切】圆 222( 0)xym m内切于圆 22 68110xyxy，则m 【变式 2】 【变相切求参为相交求参】已知圆 22 9xy与圆 222 86250(0)xyxyrr相交， 则r的取值范围是 _ （七）直线与圆位置关系综合题 【例 7】 【2014新课标卷】 已知点)2,2(P，圆C:08 22 yyx，过点P的动直线 l与圆C交于BA, 两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点 (1) 求M的轨迹方程； 来源:Zxxk.Com (2) 当OMOP时，求l的方程及POM的面积 【变式 1】 【第（ 2）问变
9、为弦长问题】已知定点0, 4A，点P圆 22 4xy上的动点 （1）求AP的中点C的轨迹方程； （2）若过定点 1 , 1 2 B的直线l与C的轨迹交于,M N两点，且3MN，求直线l的方程 【变式 2】 【第（ 1）问变为相切，第（2）问变为求三角形面积最值】已知圆 22 :344Cxy， 直线 1 l经过点A (1 ，0) （1）若直线 1 l与圆C相切，求直线 1 l的方程； （2）若直线 1 l与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ面积的最大值，并求此时直线 1 l的方程 【数学思想】 1函数思想 求与直线与圆方程的最小值问题，通常通过建立目标函数，转化为求二次函数的最小值问题，或利用
10、基本 不等式求最值问题等，其实质就是函数思想的应用. 2方程思想 求直线的方程或圆的方程常常要利用待定系数法求解，体现是方程思想的应用；根据直线与圆间的位置关 系求相关参数时，常常需要建立方程来求解 3转化与化归的思想 在直线与圆的方程中的应用主要体现在：（ 1）最值问题常常转化为函数最值与平面几何图形中距离最短或 最长问题；（ 2）与直线或圆上的点有关系的一些代数式，常常根据它们的几何意义将问题进行转化求解 4分类讨论思想 分类讨论思想在直线与圆问题中的应用主要有常见的两种情形，即讨论直线斜率的存在性与根据需要对图 形中的直线或圆的不同位置的讨论在解题时能作出图形的尽量作图，使隐含的条件直观
11、显现，解答就会 更加完备 【处理集合问题注意点】 1处理直线倾斜角与求直线方程时，易忽略斜率不存在的情况、对倾斜角的取值范围不清楚造成错解；忽 略截距为0 的情况造成 少解； 2判断两条直线的位置关系忽视斜率是否存在；求两平行线间的距离忽视两直线的系数的对应关系；忽略 检验两直线重合的情况； 3对含有参数的一般式方程，忽视表示圆的条件 22 40DEF；遗漏方程的另一个解；忽略圆方程中 变量的取值范围； 4处理两圆位置关系时，忽视分两圆内切与外切两种情形；忽视切线斜率k不存在的情形；求弦所在直线 的方程时遗漏一解 【典例试题演练】 1 【 2017? 梅河口市二模】已知角是第二象限角，直线 2
12、tan10xy 的斜率为 8 3 ，则cos等于 （） A 3 5 B 3 5 C 4 5 D 4 5 2 【湖北省武汉市硚口区2017 届高三 9 月调研】已知0b，直线02) 1( 2 ayxb与直线 01 2 ybx互相垂直，则ab的最小值为（） A1 B2 C2 2D2 3 3 【江西师范大学附属中学2017 届高三第三次模拟】已知直线 1: 424240lmxmym与 2: 1210lmxmy，则“2m”是“ 12 ll”的（） A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分又不必要条件 4 【2017 届江西省九江市高三下学期三模】已知直线l经过圆042: 22 yxyxC的
13、圆心，且坐标原 点到直线l的距离为5，则直线l的方程为（） A 052yx B 052yx C 052yx D 032yx 5 【北京市石景山区2017 届高三 3 月 统一练习】以1,1为圆心且与直线0xy相切的圆的方程 是（） A 22 112xyB 22 114xy C 22 112xyD 22 114xy 6 【江西省2017 届高三 4 月新课程教学质量监测】已知点 ,P a b及圆 O： 222 xyr，则“点P在 圆 O 内”是“直线 l ： 2 axbyr与圆 O 相离”的（） A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D 既不充分也不必要条件 7 【海南省海南中学、文昌中学2
14、017 届高三下学期联考】抛物线 2 23yxx与坐标轴的交点在同 一个圆上，则交点确定的圆的方程为（） A 2 2 14xy B 22 114xy C 2 2 14xyD 22 115xy 8【广东省韶关市2017 届高三 4 月高考模拟】过直线1yx上的点P作圆 C : 22 162xy的 两条切线 1 l、 2 l，当直线 1 l， 2 l关于直线1yx对称时，PC（） A3B2 2C12D2 9 【河南省安阳市2017 届高三第二次模拟】已知圆 1 C： 22 4430xyxy，动点 P 在圆 2 C： 22 4120xyx上，则 12 PCC面积的最大值为（） ABCD 10 【20
15、17 届江西省南昌市高三第一次模拟】已知点 P 在直线320xy上，点 Q 在直线360xy 上，线段PQ的中点为 00 Mxy，且 00 2yx，则 0 0 y x 的取值范围是 A 1 ,0 3 B 1 ,0 3 C 1 , 3 DU 1 ,0, 3 U 11 【海南省海口市2017 届高三 4 月调研】已知圆M与直线 340xy及 34100xy都相切， 圆心在直线4yx上，则圆M的方程为（） A 22 311xy B 22 311xy C 22 311xyD 22 311xy 12 【安徽省黄山市2017 届高三第二次模拟】已知圆 22 :1C xy，点P为直线1 42 xy 上一动点
16、， 过点P向圆 C 引两条切线,PA PB A B 为切点，则直线AB经过定点（） A 1 1 , 2 4 B 1 1 , 4 2 C 3 ,0 4 D 3 0, 4 13 【2017 届南京市、盐城市高三年级第二次模拟】在平面直角坐标系xOy中，直线 1: 20lkxy与 直线 2 :20lxky相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线40xy的距离的最大值为_ （） A1 B2C 3 2 2 D3 2 14 【 2017 届贵州铜仁一中高三上学期入学模拟】已知直线3430xy， 6140xmy平行，则它 们之间的距离是 15 【安徽省蚌埠市2017 届第二次（ 3 月）教学质量检查】在平面
17、直角坐标系中，已知点2,2P， 对于任意不全为零的实数a、b，直线:120l a xb y，若点P到直线 l 的距离为 d ，则 d 的取值范围是_ 16 【湖南省浏阳一中2017 届高三高考适应性考试（6 月） 】已知直线 1 l：250xy与直线 2 l： 50mxnynZ相互垂直，点2,5到圆C： 22 1xmyn的最短距离为3，则 mn_ 17 【四川省师范大学附属中学2017 届高三下学期5 月模拟】已知圆 22 3425Cxy：，圆C上 的点到直线340(0)lxymm：的最短距离为1， 若点,N a b在直线l位于第一象限的部分， 则 11 ab 的最小值为 _ 18 【广东省珠
18、海一中等六校2018 届高三第一次联考】已知直线yax与圆C: 22 2220xyaxy 相交于 ,A B两点 ,且ABC为等边三角形 ,则圆C的面积为 _ 19 【2017 届南京市、盐城市高三年级第二次模拟】在平面直角坐标系xOy中，直线 1: 20lkxy与 直线 2 :k20lxy相交于点P， 则当实数k变化时，点P到直线40xy的距离的最大值为_ 20 【宁夏中卫市2017 届高三第二次模拟】已知从圆 C ： 22 122xy外一点 11,P xy 向该 圆引一条切线，切点为M， O 为坐标原点，且有PMPO，则当PM取得最小值时点P的坐 标为_ _ 21 【广东省汕头市2017 届高三第三次模拟】已知圆C经过2,4、1,3，圆心C在直线10xy上， 过点 0,1A ，且斜率为k的直线l交圆相交于M、N两点 来源 学_科_ 网 （1）求圆C的方程； （2）请问AM AN是否为定值若是，请求出该定值，若不是，请说明理由； 若O为坐标原点，且12OM ON，求直线l的方程 22 【2016 届山西省高三高考考前质量检测考试（三）】已知圆9: 22 yxO及点)1 ,2(C （1 ）若线段OC的垂直平分线交圆O于BA,两点，试判断四边形OACB的形状，并给与证明； （2）过点C的直线l与圆O交于QP,两点，当OPQ的面积最大时，求直线l的方程