二维抛物方程的九点差分格式的研究毕业论文.doc

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1、本科毕业论文 论文题目： 二维抛物方程的九点差分格式的研究 学生姓名： 学号： 200900820130 专业： 信息与计算科学 指导教师： 学 院： 数学科学学院 1 2013 年 5 月 20 日 毕业论文（设计）内容介绍论文（设计）题 目二维抛物方程的九点差分格式的研究选题时间2012.11.25完成时间2013.5.20论文（设计）字数3970关 键 词二维抛物方程，五点差分格式，九点差分格式，数值验证论文（设计）题目的来源、理论和实践意义：题目来源：在大学所学的课程中，我对抛物方程与九点差分格式有过比较详细比较系统的学习，通过与老师交流我觉得这个题目既有理论分析又有上机编程实验，能过

2、体现我们信计专业的教学内容及特色，因此在指导老师的指导下确定了这一题目。 理论：五点差分格式、九点差分格式 实践意义：对于一般的二维抛物方程，原坐标轴逆时针旋转45度后，在此坐标平面建立五点差分格式，将此五点差分格式与经典的五点差分格式进行加权相加，即得抛物方程的九点差分格式。此方法跟更为灵活，画出图像后可形象生动的看出精确解的图像与九点差分格式的图像，可体现出偏微分方程的有关内容在解决问题时的优越性。论文（设计）的主要内容及创新点 主要内容：对于一般的二维抛物方程，原坐标轴逆时针旋转45度后，在此坐标平面建立五点差分格式，将此五点差分格式与经典的五点差分格式进行加权相加，即得抛物方程的九点差

3、分格式。此方法跟更为灵活，且九点差分格式相比五点差分格式误差更小。画出图像后可形象生动的看出精确解的图像与九点差分格式的图像，可体现出偏微分方程的有关内容在解决问题时的优越性。创新点：对于同一个二维抛物方程在同一个坐标平面内求出五点差分格式与九点差分格式，分析误差、稳定性、收敛阶、精度，是本文的创新点。附：论文（设计）本人签名： 年 月 日 目录中文摘要I英文摘要II第一章 引言1第二章 基础知识2第三章 二维抛物方程的九点差分格式及其稳定性分析33.1经典的五点差分格式33.2旋转坐标轴后二维抛物方程的五点差分格式53.3二维抛物方程的九点差分格式63.4九点差分格式的稳定性7第四章 二维抛

4、物方程的九点差分格式的matlab算法实现8第五章 数值实验验证9第六章 总结12参考文献13附录14 二维抛物方程的九点差分格式的研究摘要：对于二维抛物方程，在原坐标平面内建立经典五点差分格式，坐标轴逆时针旋转45度后，再建立五点差分格式，并通过将其与经典的五点差分格式进行加权平均，建立了抛物方程的九点差分格式。 并且，分析了九点差分格式的稳定性。与经典的五点差分格式相比，在一定条件下，此方法误差较小，对稳定性的要求未变。最后，我们给出了数值算例，误差图像，画出图像后可形象生动的看出精确解的图像与九点差分格式的图像，验证了九点差分格式的有效性。关键字： 二维抛物方程;九点差分格式;五点差分格

5、式;数值实验IV Research on two-dimensional parabolic equations nine-point finite difference methodAbstract： For the two-dimensional parabolic equation，we establish its classic five-point finite difference method in the original coordinate plane and then establish a new five-point finite difference method

6、when rotating the original coordinate plane of 45 degrees. Based on the two five-point finite difference method, we formulate a new nine-point finite difference method by a weighed average method. Also, we analyses this finite difference methods stability. Compared with the classic five-point finite

7、 difference method, this new method has the same requirement about stability but smaller error on given circumstances. Finally, a numerical experiment is given and figures for the error are also present. It is more flexible to differ the exact solutions figure and the new methods figure as well as t

8、o prove the new methods effectiveness after the figures are given. Keywords: the two-dimensional parabolic equation, a nine-point finite difference method, a five-point finite difference method, numerical experiment.IV 第一章 引言 差分法是把构件划分为许多单元，通过把连续体离散为互有联系的有限数量单元的数值求解。有限差分法是指用泰勒技术展开式将变量的导数写成变量，在不同时间或空

9、间点值的差分形式的方法。有限差分法的基本思想是：按时间步长和空间步长将时间和空间区域剖分成若干网格，用未知函数在网格节点上的值所构成的差分近似代替所用偏微分方程中出现的各阶导数，从而把表示变量连续变化关系的偏微分方程离散为有限个代数方程，然后解此线性代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可得到原方程组在离散点上的近似解然后再利用插值法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。在采用数值计算方法求解偏微分方程时，若将每一处导数由有限差分近似公式代替，从而把求解偏微分方程的问题转化为求解代数方程的问题，即所谓的有限差分法。有限差分法求解偏微分方程的步骤是：1.区域离散化，即把所给求解区域

10、分成有限个格点组成的网格；2.近似代替，即采用有限差分公式替代每一个格点的导数；3.逼近求解，即用一个插值多项式及其微分代替偏微分方程的解。 随着科学技术的发展，工程、数学、计算机的结合表现的愈来愈广泛且愈来愈深刻。九点差分格式是有限差分法中的一部分，可用于解决偏微分方程中的一些问题，譬如，椭圆方程、抛物方程，双曲方程等，且九点差分格式相比于经典的五点差分格式可减小误差。整体思想采用构建问题解决问题计算机编程进一步分析的线路，所得结果可进一步应用于水利科技、工程力学、工程结构、建筑材料等方面。通过计算机编程可进一步分析出差分格式的优劣，以及通过所构造的差分格式得出的实验解与精确解之间的差异，可

11、使结果更加生动形象。第2章 基础知识 步长：将区间分成N 等分，分点为，i=0,1,2,.,N，h=(b-a)/N，于是我们得到区间的一个网格剖分。称为网格节点，h称为步长。 正则内点：xy平面上的一有界区域G，其边界为分段光滑曲线，取定沿x轴和y轴的步长和，做两族与坐标轴平行的直线:两族直线的交点称为网点或节点，记为或（i,j)。说两个节点和是相邻的，如果或。以表示所有属于G内部的节点集合，并称如此的节点为内点，以表示网线或与的交点集合，并称如此的点为界点。若内点的四个相邻点都属于，就称为正则内点，否则称为非正则内点。 Taylor展开式：一般函数f，设它在存在直到n阶的导数，由这些导数构造

12、一个n次多项式，称为函数f在点出的泰勒多项式，一般余项可写为，这里的即为步长h。 第一边值条件：G是xy平面上一有界区域，其边界为分段光滑曲线，在上u满足边值条件：，是连续函数。第三章 二维抛物方程的九点差分格式及其稳定性分析3.1经典的五点差分格式 考虑二维抛物方程： （1.1)其中a是正常数，f(x,y)是给定的连续函数。具有所需次数偏微商的函数满足方程（1.1）（，）和初始条件（1.2），（1.3) 假定在相应区域光滑，并且在与边值相容，是上述问题有唯一充分光滑的解。 现在考虑边值问题（1.1），（1.2）（1.3）的在原坐标轴下的经典五点差分格式。原坐标轴首先，取平面空间步长和时间步长

13、，其中N，M都是正整数。用平行直线， 将区域分割成网格，网格节点为。 其次，用表示定义在网点的函数。现在假定为正则内点。沿着x,y方向分别用二阶中心差商代替和，用一阶中心差商代替，因为在求误差以及格式的推导过程中并未起到实质性的作用，对实验的结果无影响，所以可取特殊情况，令，则可得（1.1）的五点差分格式为=(1)利用泰勒展式令等式两边在点处展开可得：从而可得五点差分格式的截断误差:=。3.2旋转坐标轴后二维抛物方程的五点差分格式 t坐标轴不做变换，将xy坐标轴逆时针方向旋转45度： 因为t坐标轴并未变化，所以可继续用一阶中心差商格式得：，而在新的xy平面内用二阶中心差商可得：（*），其中泰勒

14、展开后：代入（*）可得=从而可得旋转坐标轴后的五点差分格式的截断误差：=3.3二维抛物方程的九点差分格式为 二维抛物方程的九点差分格式为(1/2)*(1)+(1/2)*(*)，即： 误差为 = 误差：与相比，在一定的情况下误差会减小。 收敛阶：由可得，九点差分格式收敛阶为二阶,精度为，与经典的五点差分格式收敛阶和精度（摘自李荣华偏微分方程数值解法）相同。 边值条件的处理：以表示非正则内点集合，表示界点集合，表示区域边界，因为，当时，利用（1.2），（1.3）可得到的值，当即为非正则内点时，可建立新的差分格式以便求解。3.4九点差分格式的稳定性 对于九点差分格式 引进新变量将它化为一阶方程组：，

15、令，代入上式可得： 得：从而可知增长矩阵为：B=。B的行列式的特征多项式为，为保持差分格式的稳定性，该特征多项式的特征值的模应该小于等于1，从而可得。 综上可知该九点差分格式是条件稳定的，稳定条件为，。而我们已知经典的五点差分格式的稳定性条件也为（摘自李荣华偏微分方程数值解法），可得九点差分格式相比于经典的五点差分格式稳定性要求未变。第四章 二维抛物方程的九点差分格式的matlab算法实现 考虑二维抛物方程： （1.1)其中a是正常数，f(x,y)是给定的连续函数。具有所需次数偏微商的函数满足方程（1.1）（，）和初始条件（1.2），（1.3) 为使计算能够逐层进行，除外，还要用到。可由（1.

16、2)求出，可用向前差分格式：求出。 从开始，利用已推导出的九点差分公式： 进一步求出。 第五章 数值实验验证数值算例：精确解为：,取1/8。在计算过程中，取空间步长=0.1，时间步长=0.01，此时刚好满足稳定性条件。 用所得的九点差分格式进行逼近，以时间为层，运行程序后会得到从t=0.02s开始的后九十九个时刻的图像（MATLAB程序见附录），截取五个时刻的九点差分格式图像分别与此时刻的真解图像作比较，并给出相应时刻下经典的五点差分格式、九点差分格式与真解的误差表格。 真解在t=0.02s时的图像 九点差分格式在t=0.02s时的图像 真解在t=0.11s时的图像 九点差分格式在t=0.11

17、s时的图像 真解在t=0.21s时的图像 九点差分格式在t=0.21s时的图像 真解在t=0.31s时的图像 九点差分格式在t=0.31s时的图像 真解在t=0.41s时的图像 九点差分格式在t=0.41s时的图像 进一步可给出在0.02s、0.11s、0.21s、0.31s、0.41s这五个时刻下，经典的五点差分格式、九点差分格式和真解之间的最大误差表格：时刻t=0.02st=0.11st=0.21st=0.31st=0.41s经典五点差分格式最大误差0.859060763244350.680956070073820.524827880797940.403592799525740.31260

18、822593865九点差分格式最大误差0.859645332736500.683173256207970.528268551177700.407578294969660.31364575909566 由九点差分格式和真解的图像可知此九点差分格式的整体近似情况较好。 由误差表格可知所给算例的九点差分格式的最大误差相比于经典的五点差分格式的最大误差是增大的，而由两种差分格式的余项我们可知在一定条件下，九点差分格式的误差相比于经典五点差分格式的误差应是减小的。造成实验算例这种结果的原因为该实验算例自身的特殊性，在以后的实验过程中我们可以选择更为符合九点差分格式的实验算例或者将此论文中九点差分格式的显

19、式差分变为隐式差分，实验结果可得到改善。第六章 总结 本文主要研究了二维抛物方程的九点差分格式，在进行差分时采用了显式差分，通过研究可知该九点差分格式与经典的五点差分格式的收敛阶，精度，稳定性要求相同，即收敛阶为二阶，精度为二次精度，稳定性要求为r小于等于1/4。数值实验表明此格式与经典的五点差分格式相比，数值精度有所提高，体现了该差分格式的部分优越性。但此格式对稳定性的要求仍然比较高，在以后的研究中，可考虑隐式的九点差分格式。参考文献 1李荣华，偏微分方程数值解法，北京:高等教育出版社，2010.2周品，赵新芬, matlab数学建模与仿真，北京:国防工业出版社, 2009.3谷超豪等, 数

20、学物理方程，北京:高等教育出版社, 2002.4华东师范大学数学系, 数学分析，北京:高等教育出版社, 2001.5王岩，隋思涟等, 试验设计与MATLAB数据分析，北京：清华大学出版社, 2012.6孙志忠, 偏微分方程数值解法，北京：科学出版社, 2012.7(美）哈伯曼, 实用偏微分方程（原书第四版），北京：机械工业出版社, 2007.16 附录九点差分格式的求解：clear,clcformat longN=10;M=100;h=1/N;t=1/M;a=1/8;r=(a*t)/(h*h);u1=zeros(N+1,N+1);%定义零矩阵%u2=zeros(N+1,N+1);u3=zero

21、s(N+1,N+1);for i=1:N+1 for j=1:N+1u1(i,j)=sin(pi*(i-1)*h)*sin(pi*(j-1)*h);%利用初始条件求出第一层的值% endendfor i=2:N for j=2:Nu2(i,j)=u1(i,j)+(r/2)*(u1(i+1,j+1)+u1(i-1,j-1)+u1(i-1,j+1)+u1(i+1,j-1)-4*u1(i,j);%用向前差分格式求出第二层上的值% endendu=zeros(N+1,N+1);for k=1:M-1for i=2:N for j=2:Nu3(i,j)=u1(i,j)+r*(u2(i+1,j)-6*u2

22、(i,j)+u2(i-1,j)+u2(i,j+1)+u2(i,j-1)+(u2(i+1,j+1)/2+(u2(i-1,j-1)/2+(u2(i-1,j+1)/2+(u2(i+1,j-1)/2);%用推导出的九点差分格式求出第三层上的值% endendfiguremesh(0:0.1:1,0:0.1:1,u3)u1=u2;%将每个ui往前走一步，再求u3的值，此时即为u4的值%u2=u3;end真解的求解：clear,clcfor t=0.02:0.01:1x=0:0.1:1;y=x;x,y=meshgrid(x,y);u=exp(-pi*pi*t/8)*sin(pi*x).*sin(pi*y)

23、;figuremesh(x,y,u)end 九点差分格式最大误差的求解：clear,clcclose allformat longN=10;M=100;h=1/N;t=1/M;a=1/8;r=(a*t)/(h*h);R=zeros(1,N+1);u=zeros(N+1,N+1);u1=zeros(N+1,N+1);%定义零矩阵%u2=zeros(N+1,N+1);u3=zeros(N+1,N+1);for i=1:N+1 for j=1:N+1u1(i,j)=sin(pi*(i-1)*h)*sin(pi*(j-1)*h);%利用初始条件求出第一层的值% endendfor i=2:N for

24、j=2:Nu2(i,j)=u1(i,j)+(r/2)*(u1(i+1,j+1)+u1(i-1,j-1)+u1(i-1,j+1)+u1(i+1,j-1)-4*u1(i,j);%用向前差分格式求出第二层上的值% endendfor k=1:M-1for i=2:N for j=2:Nu3(i,j)=u1(i,j)+r*(u2(i+1,j)-6*u2(i,j)+u2(i-1,j)+u2(i,j+1)+u2(i,j-1)+(u2(i+1,j+1)/2+(u2(i-1,j-1)/2+(u2(i-1,j+1)/2+(u2(i+1,j-1)/2);%用推导出的九点差分格式求出第三层上的值% u=exp(-p

25、i*pi*(k+1)*t/8)*sin(pi*(i-1)*h).*sin(pi*(j-1)*h); endendR=max(max(abs(u3-u);u1=u2;%将每个ui往前走一步，再求u3的值，此时即为u4的值%u2=u3;end五点差分格式最大误差的求解：clear,clcclose allformat longN=10;M=100;h=1/N;t=1/M;a=1/8;r=(a*t)/(h*h);R=zeros(1,N+1);u=zeros(N+1,N+1);u1=zeros(N+1,N+1);%定义零矩阵%u2=zeros(N+1,N+1);u3=zeros(N+1,N+1);fo

26、r i=1:N+1 for j=1:N+1u1(i,j)=sin(pi*(i-1)*h)*sin(pi*(j-1)*h);%利用初始条件求出第一层的值% endendfor i=2:N for j=2:Nu2(i,j)=u1(i,j)+(r/2)*(u1(i+1,j+1)+u1(i-1,j-1)+u1(i-1,j+1)+u1(i+1,j-1)-4*u1(i,j);%用向前差分格式求出第二层上的值% endendfor k=1:M-1for i=2:N for j=2:Nu3(i,j)=u1(i,j)+2*r*(u2(i+1,j)-4*u2(i,j)+u2(i-1,j)+u2(i,j+1)+u2

27、(i,j-1);%用推导出的五点差分格式求出第三层上的值% u=exp(-pi*pi*(k+1)*t/8)*sin(pi*(i-1)*h).*sin(pi*(j-1)*h); endendR=max(max(abs(u3-u);u1=u2;%将每个ui往前走一步，再求u3的值，此时即为u4的值%u2=u3;end山东师范大学本科毕业论文（设计）题目审批表学院：数学科学学院（章）系别/教研室：信息与计算科学 时间：2012年11月25日课题情况题目名称二维抛物方程的九点差分格式的研究课题性质A基础研究 B基础应用研究 C应用研究教师姓名吴亭亭职称讲师 学位博士 课题来源A.科研 B.生产 C.教

28、学 D. 学生自拟 E. 其它成果类别A.论文 B.设计主要研究内容与研究目标主要研究内容： 本文详细研究了二维抛物方程的九点差分格式，以及其在稳定性、误差、收敛阶、精度方面与经典的五点差分格式的比较，给出一般的matlab算法，最后利用数值试验在matlab上进行了验证。研究目标： 本文旨在研究九点差分格式与经典的五点差分格式相比较的优劣，研究其稳定性、误差、收敛阶、精度。 指导教师（签名）： 年 月 日 选题学生（签名）： 年 月 日系所或教研室审题意见负责人（签名）: 年 月 日学院审批意见学院学位分委员会主任（签名）: 年 月 日山东师范大学本科毕业论文（设计）开题报告 论文题目： 二

29、维抛物方程的九点差分格式的研究学院名称： 数学科学学院 专 业： 信息与计算科学 学生姓名： 赵月 学 号： 200900820130 指导教师： 吴亭亭 2012年 12月16日1、 选题的性质 基础应用研究二、选题的目的和意义 在现在社会中工程与数学的联系越来越密切，用数学解决实际问题是数学的重要应用。本文详细研究了二维抛物方程的九点差分格式，以及其稳定性、误差、精度、收敛阶，给出一般的matlab算法，最后利用数值试验在matlab上进行了验证。 本文旨在研究用五点差分格式和九点差分格式近似精确解时的优劣性，研究其稳定性、误差、精度、收敛阶。充分体现了数值近似计算的威力。三、与本课题相关

30、的国内外研究现状，预计可能有所创新的方面 目前对于抛物型方程出现较多的是向前EULER格式，向后EULER格式，Richardson格式，紧差分格式，紧交替方式隐格式。 对于同一个二维抛物方程在同一个坐标平面内求出五点差分格式与九点差分格式，分析误差、精度、稳定性、收敛阶，是本文的创新点。四、课题研究的可行性分析1、 学校图书馆与资料室可提供丰富的图书资料；二、可以与数学院老师积极交流，并与其他学院相关专业老师及时沟通这方面的知识。五、课题研究的策略、方法和步骤策略： 本文从二维抛物方程的近似解问题出发，结合五点差分格式和九点差分格式背景知识，对二维抛物方程的五点差分格式和九点差分格式进行研究

31、。最后利用matlab编程解数值算例来验证理论的可行性。方法： 1、举例法 通过在程序中解具体的数值算例，展示具体的计算机实现算法，并验证了差分格式的可行性。 2、比较法 比较五点差分格式及九点差分格式。比较两种差分格式对于近似精确解的优劣。步骤： 1、2012年11月中旬 根据资料及文献学习制定论文提纲，明确写作方向。 2、2013年3月中旬 根据搜集的资料及制定的论文结构安排，完成论文初稿。 3、2013年4月中旬 在导师指导下，修改初稿内容，完成二稿。 4、2013年4月下旬 在导师指导下反复进行修改、完善二稿。 5、2013年5月中旬 按照要求规范格式，最终定稿。六、预期成果形式描述

32、预计形成4000字左右的论文7、 指导教师意见指导教师（签名）：年 月 日8、 学院学位分委员会意见 学院学位分委员会主任（签名）： 年 月 日山东师范大学本科毕业论文（设计）教师指导记录表学院：_数学科学学院_系别：_信息与计算科学系 专业：_信息与计算科学论文（设计）题目：二维抛物方程的九点差分格式的研究 学生姓名赵月学号200900820130指导教师吴亭亭职称讲师计划完成时间：2013年5月18日1.2012年11月中旬，吴亭亭老师就开始指导论文的选题，对选题的角度，选题的高度，所选课题所应该涵盖的范围进行了初步的沟通和确定。2.2013年1月至3月，吴亭亭老师对所选课题所应该涵盖的范

33、围及研究内容等应该注意的问题都作了一个详尽的解释，经过面对面交流和多次的电子邮件交流、对话交流，最终在老师的指导下对论文的结构框架有了大体的安排，并制定了论文初稿写作时间计划。3.2013年3月25日，完成论文初稿，对初稿进行修改。吴亭亭老师指出在论文初稿中有必要在切入正题之前写一部分所需的准备知识，对准备叙述问题的背景加以介绍。其次，对文章中层次不分明，初稿内容与所定提纲的出入等问题提出修改意见。4. 2013年4月20日，对论文二稿进行指导，包括：论文正文格式的规范，文章标题结构的划分，参考文献的引用。5.2013年5月18日，对论文三稿进行指导，按照要求，强调具体的论文格式问题，包括：论

34、文目录结构、中英文摘要规范、标点符号的应用以及标题的形式。对论文定稿前做认真审核工作，并按照要求进行表格填写工作。指导教师（签名）： 学生（签名）：学院学位分委员会主任（签名）： 年 月 日注：本科论文（设计）的指导应不少于5次，如表格空间不足可另附页。 赵月同学的毕业论文主要研究了二维抛物方程的九点差分格式，在原坐标平面内建立经典五点差分格式，坐标轴逆时针旋转45度后，再建立五点差分格式，并通过将其与经典的五点差分格式进行加权平均，建立了抛物方程的九点差分格式，分析了九点差分格式的稳定性，在稳定性、误差、精度、收敛阶方面与经典的五点差分格式作比较，给出了数值算例，误差图像，验证了九点差分格式

35、的有效性。 本文选题意义有一定的的实际意义，从论文可以看出学生在资料收集或实验方法、数据处理等方面的能力较强，实验合理，主要结果正确，在九点差分法方面有新的创新性。论文写作规范，逻辑严密，行文流畅，写作水平较高 。为使结果更好，该同学可在查分时考虑隐式差分格式。 从论文可以看出，赵月同学已经较好地掌握了信息与计算科学专业的基础理论和专业知识，并能初步解决生活、社会中的一些问题。 本论文已经达到本科毕业论文的水平。 成绩：优秀 指导教师（签名）： 年 月 日指导教师意见注：成绩按优、良、中、合格、不合格五级分制计。评阅人意见 赵月同学的毕业论文主要研究了二维抛物方程的九点差分格式，在原坐标平面内

36、建立经典五点差分格式，坐标轴逆时针旋转45度后，再建立五点差分格式，并通过将其与经典的五点差分格式进行加权平均，建立了抛物方程的九点差分格式，分析了九点差分格式的稳定性，在稳定性、误差、精度、收敛阶方面与经典的五点差分格式作比较，给出了数值算例，误差图像，验证了九点差分格式的有效性。 本文选题意义有一定的实际意义，从论文可以看出学生在资料收集或实验方法、数据处理等方面的能力较强，实验合理，主要结果正确，在九点差分法方面有新的创新性。论文写作规范，逻辑严密，行文流畅，写作水平较高 。为使结果更好，该同学可在差分时考虑隐式差分格式。 从论文可以看出，赵月同学已经较好地掌握了信息与计算科学专业的基础

37、理论和专业知识，并能初步解决生活、社会中的一些问题。 本论文已经达到本科毕业论文的水平。 成绩：优秀 评阅人（签名）： 年 月 日注：成绩按优、良、中、合格、不合格五级分制计。答辩委员会意见 赵月同学的毕业论文主要研究了二维抛物方程的九点差分格式。在答辩时，赵月同学向答辩委员会讲解了论文内容， 而且在答辩过程中，能流利地回答答辩委员会提出的问题。指导教师和评阅人都对论文给出了较好的评论意见。答辩委员会一致认为，这是一篇优秀的本科毕业论文，赵月同学的毕业论文已经达到了本科论文的水平和要求，同意赵月同学通过答辩，并建议授予赵月同学学士学位。 成绩：优秀 答辩委员会主任（签名）： 年 月 日学院学位

38、分委员会意见 成绩：优秀 学位分委员会主任（签名）： （公章） 年 月 日注：成绩按优、良、中、合格、不合格五级分制计。表6（学院用）山东师范大学本科毕业论文（设计）答辩记录表学院：数学科学学院（章）系别：_信息与计算科学系_专业：_信息与计算科学论文（设计）题目： 二维抛物方程的九点差分格式的研究学生姓名赵月学 号200900820130指导教师吴亭亭职 称讲师答辩时间2013年5月23日答辩地点长清校区答辩委员会名单姓 名性别职 称职 务其它杨泽忠男教授答辩主任孙磊男副教授答辩委员李晓迪女教授答辩委员王剑男讲师答辩委员吴亭亭女讲师答辩秘书答辩记录： 问题1：之前有人研究旋转的九点差分格式吗？答：有。我们是把已有的旋转九点差分格式的思想来求解时间域中的二维抛物方程。问题2：该方法的优点是什么？ 答：在一定的情况下可以减小误差。问题3：你认为该方法还可以如何改进？ 答：可以考虑隐格式。 记录人（签名）： 答辩委员会主任（签名）：