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1、2等差数列2.1等差数列第1课时等差数列的定义和通项公式课后篇巩固探究1.若an是等差数列,则下列数列中也成等差数列的是()A.an2B.1anC.3anD.|an|解析:设an的公差为d,则3an+1-3an=3(an+1-an)=3d是常数,故3an一定成等差数列.an2,1an,|an|都不一定是等差数列,例如当an为3,1,-1,-3时.答案:C2.在等差数列an中,a1+a5=10,a4=7,则数列an的公差为()A.1B.2C.3D.4解析:a1+a5=10=a1+a1+4d=2(a1+2d)=2a3,a3=5.故d=a4-a3=7-5=2.答案:B3.已知an是首项a1=2,公差
2、为d=3的等差数列,若an=2 018,则序号n等于()A.670B.671C.672D.673解析:a1=2,d=3,an=2+3(n-1)=3n-1.令3n-1=2 018,解得n=673.答案:D4.等差数列an中,a1=8,a5=2,如果在每相邻两项间各插入一个数,使之成为新的等差数列,那么新的等差数列的公差是()A.34B.-34C.-67D.-1解析:设新数列a1,b1,a2,b2,a3,b3,a4,b4,a5,公差为d,则a5=a1+8d,所以d=a5-a18=2-88=-68=-34.故选B.答案:B5.已知点(n,an)(nN+)都在直线3x-y-24=0上,则在数列an中有
3、()A.a7+a90B.a7+a931,则公差d的取值范围是.解析:设此数列的首项为a1,公差为d,由已知得a1+4d=10,a1+11d31,-,得7d21,所以d3.答案:d38.在数列an中,a1=3,且对任意大于1的正整数n,点(an,an-1)在直线x-y-3=0上,则数列an的通项公式为an=.解析:由题意知an-an-1=3(n2),an是以a1为首项,以3为公差的等差数列,an=a1+(n-1)d=3+3(n-1)=3n.an=3n2.答案:3n29.已知数列an,bn满足1an+bn是等差数列,且bn=n2,a2=5,a8=8,则a9=.解析:由题意得1a2+b2=19,1a
4、8+b8=172,因为1an+bn是等差数列,所以可得该等差数列的公差d=-7726,所以1a9+b9=172-7726=-1432,所以a9=-513.答案:-51310.如果在等差数列3n-1的每相邻两项之间插入三项后使它们构成一个新的等差数列,那么新数列的第29项是原数列的第项.解析:设an=3n-1,公差为d1,新数列为bn,公差为d2,a1=2,b1=2,d1=an-an-1=3,d2=d14=34,则bn=2+34(n-1)=34n+54,b29=23,令an=23,即3n-1=23.故n=8.答案:811.若一个数列an满足an+an-1=h,其中h为常数,n2且nN+,则称数列
5、an为等和数列,h为公和.已知等和数列an中,a1=1,h=-3,则a2 016=.解析:易知an=1,n为奇数,-4,n为偶数,a2 016=-4.答案:-412.已知a,b,c成等差数列,且它们的和为33,又lg(a-1),lg(b-5),lg(c-6)也构成等差数列,求a,b,c的值.解由已知,得2b=a+c,a+b+c=33,2lg(b-5)=lg(a-1)+lg(c-6),b=11,a+c=22,(b-5)2=(a-1)(c-6),解得a=4,b=11,c=18或a=13,b=11,c=9.13.导学号33194005已知无穷等差数列an,首项a1=3,公差d=-5,依次取出项的序号
6、被4除余3的项组成数列bn.(1)求b1和b2;(2)求bn的通项公式;(3)bn中的第110项是an的第几项?解(1)a1=3,d=-5,an=3+(n-1)(-5)=8-5n.数列an中项的序号被4除余3的项依次是第3项,第7项,第11项,bn的首项b1=a3=-7,b2=a7=-27.(2)设an中的第m项是bn的第n项,即bn=am,则m=3+4(n-1)=4n-1,bn=am=a4n-1=8-5(4n-1)=13-20n(nN+).bn的通项公式为bn=13-20n(nN+).(3)b110=13-20110=-2 187,设它是an中的第m项,则8-5m=-2 187,则m=439
7、.14.导学号33194006已知数列an满足a1=15,且当n1,nN+时,有an-1an=2an-1+11-2an,设bn=1an,nN+.(1)求证:数列bn为等差数列.(2)试问a1a2是否是数列an中的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由.(1)证明当n1,nN+时,an-1an=2an-1+11-2an1-2anan=2an-1+1an-11an-2=2+1an-11an-1an-1=4bn-bn-1=4,且b1=1a1=5.bn是等差数列,且公差为4,首项为5.(2)解由(1)知bn=b1+(n-1)d=5+4(n-1)=4n+1.an=1bn=14n+1,nN+.a1=15,a2=19,a1a2=145.令an=14n+1=145,n=11,即a1a2=a11.a1a2是数列an中的项,是第11项.